2023学年人教A版高中数学选修同步圆锥曲线与方程 名师获奖

圆锥曲线与方程第二章2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业平面内与两个定点F1，F2的距离的__________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的____________，两焦点间的距离叫做双曲线的____________.课前教材预案要点一双曲线的定义差的绝对值

焦点

焦距

思考：双曲线的定义中，为什么要求动点到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值小于|F1F2|?提示

当动点到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时，轨迹为两条射线(以F1，F2为端点)，当动点到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时，轨迹不存在．特别地，当动点到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线．要点二双曲线的标准方程(－c,0)

(c,0)

(0，－c)

(0，c)提示

当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．双曲线的定义有两个方面的应用：其一，用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题；其二，用于确定动点与两定点距离差的轨迹是否是双曲线．课堂深度拓展考点一双曲线定义的应用【例题1】(1)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为____________.(2)已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程．思维导引：(1)解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于|PF1|，|PF2|的方程，进而求解．(2)先根据椭圆的定义得出动点F满足的等式，再根据三定点间的关系，探究出动点F与两定点A，B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程．【变式1】已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是(

)A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0解析

对于选项A，因为|F1F2|＝6，所以||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是以F1和F2为端点的两条射线(含端点)；对于选项C，因为||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，所以动点P的轨迹不存在；对于选项D，因为||PF1|－|PF2||＝0，所以|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质可知，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．A求双曲线标准方程的步骤①确定双曲线的类型并设出标准方程；②求出a2，b2的值．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解．考点二求双曲线的标准方程思维导引：求双曲线标准方程时，应当先“定位”后“定量”，即首先要确定焦点的位置，然后求出相关几何量的大小．动点轨迹方程的求法涉及动点轨迹问题时，首先设出动点的坐标或与该动点有关的变量，然后写出该点或该变量满足的条件，再进行必要的化简，从而得到待求的轨迹方程．考点三求动点的轨迹方程【例题3】已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．思维导引：利用两圆内切、外切的条件找出M点所满足的几何条件，结合双曲线的定义求解．双曲线上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形，其中|PF1|，|PF2|，|F1F2|为该三角形的三条边的长．与该三角形相关的问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理求解．考点四双曲线中的焦点三角形问题思维导引：由双曲线定