函数零点课件人教版必修

2．4函数与方程2．4.1函数的零点学习目标学习导航重点难点重点：求函数的零点．难点：函数零点的个数的判断．新知初探思维启动如果函数y＝f(x)在实数α处的值________，即_________，则α叫做这个函数的零点．1.函数的零点等于零f(α)＝0想一想函数y＝f(x)的图象与x轴交点与函数y＝f(x)的零点有什么联系？提示：函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．做一做A．1

B．－1C．1，－1 D．(1，－1)答案：C(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值______．(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值___________．2.二次函数零点的性质变号保持同号典题例证技法归纳题型一求函数的零点

求下列函数的零点：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.题型探究例1【解】

(1)令y＝x－1＝0得x＝1，∴y＝x－1的零点为1.(2)令f(x)＝(x－3)(x＋2)＝0得x＝3或x＝－2,∴y＝f(x)的零点有两个：3或－2.互动探究1.若在本例(2)中，改为“若函数y＝x2－x＋m的零点为3，－2”，又如何求m的值呢？解：由于函数y＝x2－x＋m的零点为3，－2.所以3，－2即为方程x2－x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得：3×(－2)＝m，∴m＝－6.

分别判断下列函数零点的个数，并说明理由：题型二零点个数的判断例2【解】

(1)函数f(x)＝x2＋6x＋9的图象为开口向上的抛物线，且与x轴有唯一的公共点(－3，0)，所以函数f(x)＝x2＋6x＋9有一个零点．(2)法一：当x≥0时，令f(x)＝0得x＋1＝0，解得x＝－1，与x≥0矛盾；当x<0时，令f(x)＝0得x－1＝0，【名师点评】

(1)方程与不等式的解的问题通常可以转化为函数的图象与横轴的交点及其对应的区间来解决，而求函数的零点问题,常常转化为相应的方程的解的问题．(2)函数与方程之间的相互转化关系，本质上是图形的直观作用与数值的精确性之间的相互补充．变式训练2.判断下列函数是否有零点，若有，有几个零点？(1)f(x)＝x2＋2x＋3；(2)f(x)＝－x2＋2x－1；(3)f(x)＝x2－5x＋6.解：(1)令f(x)＝x2＋2x＋3＝0，所以Δ＝4－12＝－8<0，方程x2＋2x＋3＝0无实根，所以此函数没有零点．(2)令－x2＋2x－1＝0⇒－(x－1)2＝0⇒x1＝x2＝1，故此函数有一个二重零点1.(3)令x2－5x＋6＝0⇒(x－3)(x－2)＝0⇒x1＝2,x2＝3.故此函数有两个零点2，3.

(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－bx＋1.若b＝a＋2，且函数f(x)在(－2，1)上恰有一个零点，求a的取值范围．题型三函数零点性质的应用例3【思路点拨】函数f(x)在(－2，1)上恰有一个零点，借助二次函数的图象可知：f(－2)·f(1)<0.名师微博对a的分类讨论是本题的关键一步.函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点，(5分)又函数f(x)在(－2，1)上恰有一个零点，故f(－2)·f(1)<0，(6a＋5)×(－1)<0，(8分)∴6a＋5>0，【名师点评】方程的根与函数的零点之间紧密相连，要灵活处理它们之间的关系并能灵活应用．当二次函数解析式中含有参数时,要注意讨论各种情况，不要遗漏．变式训练3.(2012·临沂高一检测)已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2则x1x2<0，∴a－2<0，∴a<2.法二：因为函数f(x)的图象开口向上，零点分布在x＝0两边，所以f(0)<0，即a－2<0，∴a<2.答案：a<21.若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3,求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．解：由函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3可知，方程x2－ax－b＝0的两个实根是2和3，所以a＝2＋3＝5，－b＝2×3，备选例题2.讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．3.已知关于x

的函数

y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求

m

的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为

－4，求

m

的值．解：(1)当

m＋6＝0时，函数

y＝－14x－5显然有零点；当

m＋6≠0时，方法技巧1.正确理解函数的零点(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．方法感悟(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．3.关于判断函数零点个数的方法总结(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0