17基础物理学第三版第17章量子力学基础讲解

量子力学是二十世纪初诞生并发展起来的探讨微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要探讨原子、分子、凝合态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学的发展史是物理学上最激烈人心的篇章之一，我们会看到物理大厦在狂风暴雨下轰然坍塌，却又在熊熊烈焰中得到了洗礼和重生。我们会看到最革命的思潮席卷大地，带来了让人惊骇的电闪雷鸣，同时却又呈现出震撼人心的美丽。第十七章量子力学基础★迈克尔逊-莫雷试验和黑体辐射探讨中的逆境。★1895年伦琴(WilhelmKonradRontgen)发觉了X射线。★1896年贝克勒尔(AntoineHerniBecquerel)发觉了铀元素的放射现象。★1897年居里夫妇(Marie&PierreCurie)探讨了放射性，并发觉了更多的放射性元素：钍、钋、镭。★1897年J.J.汤姆逊(JosephJohnThomson)在探讨了阴极射线后认为它是一种带负电的粒子流—电子被发觉。★1899年卢瑟福(ErnestRutherford)发觉元素嬗变现象。★19世纪末经典物理的无能为力——第十七章量子力学基础1.驾驭玻尔理论和对氢原子光谱的说明，理解玻尔理论假设2.驾驭德布罗意物质波的描述和物理思想，波函数的统计说明和不确定关系3.理解薛定谔方程和对氢原子结构的量子力学描述学习目标第十七章量子力学基础光谱学是探讨物质结构和组分的技术学科之一。处于聚集状态的物质，如灯泡中的灯丝或高压下的气体加热到白炽后其辐射光谱为连续谱。而灼热低压蒸气或气体中的原子或分子相隔甚远，相互作用弱，它们的放射谱是线状谱。第一节原子光谱的试验规律氢原子光谱(Hydrogenspectrum)HHHH656.3nm486.1434.1410.2氢原子光谱可见光区域内的一组光谱线。一、氢原子光谱1885年，瑞士中学老师巴耳末(Balmer)发觉了适合氢原子光谱一个线系的阅历公式：氢原子光谱的规律性其中为波数，R称为里德伯常量(Rydbergconstant)，其实验值为R=1.0967758×107/m，以瑞典数学家和物理学家里德伯名字命名。而这一组光谱线叫做巴耳末系。第一节原子光谱的试验规律而且后来还发觉有相同规律的其它线系，如红外部分的布拉开(Brackett)系(k=4)和普丰德(Pfund)系(k=5)。氢原子的光谱系还可进一步概括成简洁公式：即氢原子光谱各线系的波数为两光谱项T(k)和T(n)之差(n≥k+1)。而且其它原子光谱也有相同的一些规律。除此以外，在氢原子光谱的紫外和红外部分还有可表示为相同规律的莱曼(Lyman)系和帕邢(Paschen)系：第一节原子光谱的试验规律1908年，里兹(W.Ritz，1878～1909)发觉，氢原子光谱系的波数还可进一步概括为如下的简洁公式里兹组合原理(Ritzcombinationprinciple)表示把对应于随意两个不同整数的光谱项合起来，组成它们的差，就能得到一条氢原子光谱线的波数。总结为下列三条①光谱是线状的，而且是彼此分立的。②光谱线间有确定的关系，构成一个个谱线系。③每一光谱线的波数都可以表示为两光谱项之差。二、里兹组合原理第一节原子光谱的试验规律1.原子光谱具有哪些特点？2.氢原子核外只有一个电子，为什么氢原子光谱有很多线系包含很多光谱线？思考第一节原子光谱的试验规律原子发光，确定带有原子结构的信息。而上述光谱规律又如何说明呢，又带有了怎样的原子结构信息？当时关于原子结构的模型是由汤姆逊(J.J.Thomson)的“西瓜模型”发展而来的卢瑟福(EnerstRutherford)的核式模型。但卢瑟福的核式模型有致命缺陷：绕核运动的电子有加速度，依据经典理论它要不断地放射连续谱的能量；同时由于能量的丢失轨道收缩而落向原子核，最终导致原子崩溃。其寿命不到10-8s，即这样的原子模型不行能是一个稳定系统。其次节玻尔的氢原子理论原子结构模型1897年汤姆逊发觉电子，1904年提出了原子的“西瓜模型”，也可叫做“果冻葡萄干”模型。占原子绝大部分质量的、带正电荷的“果肉”占据了原子的体积，带负电的电子犹如镶嵌其中的“西瓜籽”。但这一模型无法说明卢瑟福散射——粒子的大角散射：(Alphaparticles=He++)其次节玻尔的氢原子理论1913年，丹麦物理学家玻尔（NielsBohr，1885—1962）在卢瑟福模型的基础上，抛弃了部分经典理论的概念，引入普朗克和爱因斯坦的量子概念，提出一个有关氢原子的模型。以下是玻尔的主要思想。在电子绕核作圆周运动的过程中，只有电子的角动量L

等于h/2的整数倍的轨道才是稳定的：1、量子条件（quantumcondition）一、玻尔理论的基本假设其次节玻尔的氢原子理论原子系统只能处于一系列不连续的能量状态，在这些状态中，虽然电子绕核作加速运动，但不辐射电磁波，相应的能量分别为E1，E2，E3，……2、定态假设当原子从一个能量为En的定态跃迁到另一个能量Ek为的定态时，就要放射或吸取一个频率为的光子:3、频率条件其次节玻尔的氢原子理论从基本假设作的半经典理论计算在上述基本假设的基础上，加上经典理论，定量地计算了氢原子的定态的轨道半径和能量，成功的说明白氢原子光谱的规律性。质量为m的电子在稳定轨道上以速度v绕核运动时，库仑力供应向心力：联立可求得电子运动轨道半径：同时，电子的角动量要满足量子条件：其次节玻尔的氢原子理论上式表示电子运动轨道不能是随意的，而是整数n的函数。当n=1时得到电子运动最小的轨道半径：a0通常叫作玻尔半径(Bohrradius)。这样，轨道半径可表示为：重要结论1：电子轨道是量子化的其次节玻尔的氢原子理论重要结论2：氢原子能量是量子化的原子总能量为电子的动能与势能之和：结合前面的库仑力表达式，运算可得：上式中n=1称为基态能级：n>1称为激发态：当n→∞时En→0，此时电子脱离原子核的束缚。使原子电离所需能量称为电离能。基态氢原子的电离能为13.6eV。其次节玻尔的氢原子理论氢原子光谱的说明依据玻尔的频率假设，原子从高能态n跃迁到低能态k时，放射光子的频率：表示成波数：因此，可计算出上式中里德伯常数的理论值：以上理论和试验的一样性表示玻尔理论在说明氢光谱时取得了巨大的成功。但它也有缺陷，玻尔理论无法说明多电子原子光谱，对谱线宽度、强度、偏振等问题也无法处理，但玻尔理论为建立更完善的原子结构供应了线索。其次节玻尔的氢原子理论赖曼系巴尔末系帕邢系n=1n=2n=3n=4r=9a0r=a0r=4a0r=16a0氢原子轨道的状态跃迁图-13.6-3.4-1.51-0.85-0.54n=12345∞赖曼系巴尔末系帕邢系布喇开系普芳德系连续区0氢原子能级图氢原子轨道与能级示意图其次节玻尔的氢原子理论

其它一些原子、分子的光谱与太阳光谱的比较：其次节玻尔的氢原子理论例若用能量为12.6eV的电子轰击基态氢原子，求可能产生的谱线的波长。……n=1-13.6eVn=2-3.39eVn=3-1.51eVn=4-0.85eV因此，基态氢原子被12.6eV的电子轰击后，不行能跃迁到n=4的激发态。所以，可能的发光跃迁为：31，32，21例解其次节玻尔的氢原子理论其次节玻尔的氢原子理论玻尔理论对于氢原子和类氢离子光谱的说明得到很大的成功，并从理论上算出了里德堡常数。但玻尔理论对于简洁程度仅次于氢原子的氦原子光谱和困难一点的碱金属谱线却无法说明。由于玻尔理论把微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，就不行避开的存在难以解决的内在冲突。其次，即使对氢原子，玻尔的量子论也不能供应处理光谱线相对强度的系统方法。不能处理非束缚态问题，例如散射等问题。再次，从理论体系上来看，玻尔提出的与经典力学不相容的概念，例如原子能量不连续和角动量量子化条件等，多少带有人为的性质而没有提出适当的理论说明。因此，玻尔在1929领诺贝尔奖时说：“这一理论还是特殊初步的，很多基本问题还有待解决”。二、玻尔理论的改进及其局限性其次节玻尔的氢原子理论1.莱曼线系的能级终态是基态，所以莱曼线系光谱线的能量比巴耳末线系的高，为何巴耳末线系是最早被发觉的？2.玻尔理论可以说明氢原子光谱外还可以用在哪些状况下？思考第三节实物粒子的波粒二象性整个世纪以来，在辐射理论上，相对于波动的探讨方法，我们过于忽视了粒子的探讨方法；而在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子的图象想得太多，而忽视了波的图象呢？deBroglie1924年博士论文《量子理论探讨》1929年诺贝尔奖波动性和粒子性是人们相识到的客观事物表现出来的两个特性，它们本身不具有“排他性”。1924年，德布罗意在光的波粒二象性的启示下，提出实物粒子也应具有波动性的假设。自然界是对称统一的。实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性(wave-corpuscleduality)。假如用能量E和动量p来描述实物粒子的粒子性，则可用频率和波长来表征实物粒子的波动性。这个与实物粒子联系着的波称为德布罗意波或物质波。依据E和p的表达式有：德布罗意关系式：一、德布罗意波第三节实物粒子的波粒二象性德布罗意波的数量级地球：子弹：结论：宏观物质的德波罗意波长均太小，难以视察其波动性。第三节实物粒子的波粒二象性电子质量m0

=9.110-31kg，经电压U加速后：电子的德布罗意波长因此，用150V的电压加速电子，电子的德布罗意波长为=0.1nm。经10kV电压加速后，波长为0.0122nm。第三节实物粒子的波粒二象性德布罗意波对玻尔氢原子轨道的说明电子绕核运动时，假如轨道长度恰好是德布罗意波长的整数倍时，则电子在轨道上可形成稳定的驻波，此时电子的运动才是稳定的。即稳定轨道满足：代入德布罗意关系式可得：r德布罗意波形成驻波即玻尔理论中的角动量量子化条件：第三节实物粒子的波粒二象性1927年，戴维孙(C.J.Davison)、革末(L.S.Germer)将电子枪射出的电子束投射到镍单晶表面，得到电子衍射的试验现象。计算证明德布罗意公式的正确性。KUS1S2BMG电子晶体衍射实验示意图阴极K电子经U加速后，通过光阑S1、S2成一很细的平行电子射线，以角投射到镍单晶体M上，反射后经B收集。电流强度I由G测出，调整U，可得U1/2~I曲线。二、电子衍射试验第三节实物粒子的波粒二象性图中当电势差等于特定值时，电子流才有极大值。IU1/20510152025电子衍射实验中电子流强度与电势差的关系设电子波的波长为，晶格常数为d时，只有满足布拉格公式：的那些射线才能在确定的角度视察到反射线。依据加速电压可以计算出电子的德布罗意波长，代入上式可得：电子衍射试验曲线理论计算与试验结果符合的很好，证明白德布罗意关系。第三节实物粒子的波粒二象性电子束透过多晶铝箔的衍射K双缝衍射图利用电子的波动性，1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜;1981年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜(STM)。电子波动性的其他试验例证第三节实物粒子的波粒二象性例计算：25℃时的慢中子的德布罗意波长。例解第三节实物粒子的波粒二象性先回顾以下基本概念：经典粒子：不被分割的整体，有确定位置和运动轨道；经典的波：某种实际的物理量的空间分布作周期性的变更，波可相干叠加；二象性：要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一客体上；或者，一客体同时具有这样两种属性。再看看电子在经过双缝时表现的行为：由此可见，试验揭示的电子波动性质，是很多电子在同一试验中的统计结果，具有统计意义。三、德布罗意波的统计说明第三节实物粒子的波粒二象性★1926年玻恩提出：德布罗意波是概率波。统计说明：在某处德布罗意波的强度与粒子在该处出现的概率成正比。德布罗意波（物质波）既不是机械波，也不是电磁波，而是具有统计分布规律的概率波（probabilitywave）。概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不行能精确地预知结果，只能预言某些可能结果的出现概率。再看光的衍射图样，各处的强度不同。从波动观点看，衍射图样最光明处光的振幅最大。从粒子观点看，光的强度最大处，光子的密度（单位体积里的光子数）也最大。发觉：空间某点光子的密度与该点光波振幅平方或强度成正比。第三节实物粒子的波粒二象性1.比较物质波的波函数和在一条拉紧绳子中的机械波波函数的相同点和不同点？2.怎样理解德布罗意波的统计说明？思考第三节实物粒子的波粒二象性第四节

不确定性原理在经典力学中，运动物体具有完全确定的位置、动量、能量和角动量。然而，在微观世界中，我们却不能通过试验来同时确定微观粒子的位置和动量。对于微观粒子，在某一位置上仅以确定的概率出现，例如对于一维状况，粒子出现在x上，称x为位置的不确定量。粒子的动量也是如此。这是因为实物粒子的波粒二象性使然。对于微观粒子位置和动量两者不确定量之间的关系，1927年海森伯提出“不确定关系”，也称“不确定原理”电子通过单缝为例dp电子过狭缝时的x坐标用狭缝位置来描写，则电子的x坐标不确定量x=d。电子到达观测屏时将传递动量给观测屏，通过测量电子的这一动量可得到电子过狭缝时动量的x方向的不确定量px。x为了尽可能地确定电子的x坐标，必需缩小狭缝宽度d，依据单缝衍射知道，这样必定增加中心明条纹宽度，即相应的px增加了——两者之间是相互制约的！一、坐标和动量的不确定关系式第四节

不确定性原理电子的单缝衍射dpx在x方向上电子位置的不确定量：x=d。电子以x=d的位置不确定量投射到单缝上，相应地具有最大的概率落在中心主极大之中。设中心主极大的半角宽为，则其中电子在x方向上的最大动量的不确定量为：px=psin。由单缝衍射sin=/d和德布罗意公式p=h/，则：xpx=dpsin=d(h/)(/d)=h第四节

不确定性原理假如将次级极大也考虑进来，则上式应为：xpx≥h同样，选择不同坐标y和z也可得：ypy≥hzpz≥h这就是存在于坐标和动量之间的不确定关系式(uncertaintyrelation)，它表明：坐标的不确定量和该坐标方向上的动量不确定量的乘积不能小于h。第四节

不确定性原理不确定关系应用的两个例子★威尔孙云室（Wilson

cloudchamber）中电子的径迹为10-5m数量级，由此估算电子速度的不确定量：vx≥h/(mx)=73m/s★依据玻尔理论原子中电子的轨道运动速度约为106m/s，原子的线度约10-10m，据此估算电子速度的不确定量：vx≥h/(mx)=7106m/s速度的不确定量与速度本身大小基本相同，波动性特殊显著，电子的运动用坐标、轨道等描述已经不合适了，必需用概率分布来描述。第四节

不确定性原理Discoveryofthepositronin1932byCarlD.Andersoninacloudchamber.Theimageshowsapathsimilartothatofanelectron,butcurvingtheoppositedirectioninanappliedmagneticfieldduetoitspositivecharge.威尔孙云室的正电子照片第四节

不确定性原理物质的总能量是动能、势能和固有能量的总和。动能是速度的函数，而势能是坐标的函数。由于微观粒子的坐标和动量都具有不确定性，因此粒子的能量也具有不确定性。原子发光的谱线不是几何线而具有确定的宽度就证明白这一点。而且，被激发电子能量的不确定性与电子在该能量状态停留的时间有关。以一维情形为例，粒子的相对论总能量为：E=m0c2+Ek+Ep=m0c2+px2/(2m)+Ep(x)上式对px求导：即：E=vxpx

，对该式两边乘以t

可得:Et

=pxvxt＝pxx≥hEt≥h二、能量和时间的不确定关系式第四节

不确定性原理光谱线的相对频宽设原子在某激发态能级的能量不确定量为E，则对从该能级跃迁时发出的光谱线相对频宽为：对可见光，1015Hz，原子在激发态停留的平均时间一般为108s，于是得到：因此，光谱线的宽度不小于频率的千万分之一。有些原子存在长寿命的激发态，叫做亚稳态。激光就是处于亚稳态的原子受激辐射的光，所以激光的单色性好。并且，也说明白在原子中。除基态外，激发态平均寿命越长，能级宽度就越小。第四节

不确定性原理海森堡(Heisenberg)不确定关系量子力学中关于不确定关系的严格推导结果为：也称为海森堡不确定关系。它表明微观现象具有根本区分于宏观现象的特殊性，而量子力学是阐述微观现象的普遍理论，反映了微观世界的规律。从不确定原理，我们可以应当明确以下几点相识：第四节

不确定性原理1、对于微观粒子，坐标的不确定度与该方向动量的不确定度相互制约。轨道概念失去意义。用经典概念描述微观粒子是不精确的。2、不确定性不是试验误差，而是量子系统的内禀性质。它通过与试验装置的相互作用而表现出来。3、不同的试验装置确定不同的可测量量，显示客体某方面的性质，而抑制其它方面的性质。4、作用量子h给出了宏观与微观的界限。第四节

不确定性原理例试比较电子和质量为10g的子弹的位置不确定量，假设它们在x方向都以200m/s的速度运动，速度的不确定度在0.01%以内。对电子：x≥3.710-2m，远大于电子线度电子位置不确定！对子弹：x≥3.310-30m，宏观物体的位置是完全确定的！例解第四节

不确定性原理例求原子中电子速度的不确定量。取原子的线度约10-10m。原子中电子的位置不确定量可取原子的线度10-10m，即：x10-10m例解第四节

不确定性原理1.依据不确定关系，对于一个篮球我们可以说它有确定的位置和速度，对于一个电子却不能这样说，为什么？思考第四节

不确定性原理波函数的引入由于物质具有波动性，为描述微观粒子的运动状态，1926年物理学家薛定谔(E.Schrödinger)提出用函数Ψ(r,t)来描写物质波，称物质波的波函数(wavefunction)。并建立了描述微观粒子运动状态的方程——薛定谔方程。第五节波函数薛定谔方程以光的衍射图样为例，某处较亮，是因为：波动观点：该处光振幅较大；粒子观点：入射到该处的光子数较多。结论：入射到空间某处的光子数与该处光振动振幅的平方成正比。一、波函数的意义和性质用波函数描述粒子运动某一时刻，在空间某处，粒子出现的概率正比于该时刻该处粒子波函数振幅的平方。——波恩(M.Born)对波函数的统计说明。表明：★波函数本身既不是机械波也不是电磁波，而是一种概率波；★波函数本身不是位移、场强等，其平方表示了粒子出现的概率。它反映了微观粒子运动的统计规律。一般状况下，波函数是复数，用(x,y,z,t)表示，而概率必需是正实数。所以波函数振幅的平方应为波函数与其本身共轭复数的乘积，即2=。因此：2=表示了粒子在t时刻在点(x,y,z)处单位体积内出现的概率密度。第五节波函数薛定谔方程用波函数表示粒子出现的概率粒子出现在空间某点(x,y,z,)旁边体积元dV=dxdydz内的概率为：2dV=dV正确的波函数必需具备的三个条件★波函数必需是单值函数；★波函数必需是连续函数；★波函数必需是有限的，因为在全空间发觉粒子的总概率应当等于一，可表示为以下归一化条件：第五节波函数薛定谔方程波函数的具体形式先看一维运动的自由粒子：德布罗意波的波长和频率不变，故可用平面简谐波的波函数来描述：利用欧拉公式，将其表达成复数形式：二、薛定谔方程第五节波函数薛定谔方程上述波函数也可写成：其中(x)只是坐标函数，与时间无关，它与微观粒子在空间定态(stationarystate)分布概率干脆相关，也称波函数。将定态波函数对x求导，并留意到p2=2mEk：假如微观粒子在势场中具有势能U，则E=U+Ek，因此：——一维运动粒子的定态薛定谔方程第五节波函数薛定谔方程定态薛定谔方程假如微观粒子在三维空间中运动，上式变为：引入拉普拉斯算符2：可得定态薛定谔方程：★留意，此处介绍的是方程建立的思路，非严格推导。薛定谔方程是量子力学的基本方程，其正确性只能由试验检验。第五节波函数薛定谔方程1.波函数应当满足哪些条件？思考第五节波函数薛定谔方程一维无限深势阱其势能函数：aOU(x)

x一、一维无限深方势阱第六节一维定态问题1、势阱外：x0和xa，U(x)=令：留意到U(x)=，即，而波函数必需有界，所以上式中的C、D必需为零。因此粒子在势阱外的波函数为：二、求解定态薛定谔方程第六节一维定态问题2、势阱内：

0xa，U(x)=0此时定态薛定谔方程为：同样令：，方程变为：该方程解的形式为：(x)=Asinkx+Bcoskx，其中有两个须待定的系数A和B。同样留意到波函数要满足在边界处的连续条件，即：(0)=0和(a)=0。在x=0处：(0)=Bcos0=0，可得：B=0在x=a处：(a)=Asinka=0，可得：ka=n,n=1,2,3或：

k=n/an=1,2,3第六节一维定态问题波函数必需满足归一化条件，留意到其中的k=n/a：求波函数(x)=Asinkx中的A得到定态波函数为：由k=n/a求粒子能量的E第六节一维定态问题由于波函数标准条件和边界条件的约束，E只取能某些特定值，即无限深势阱中粒子的能量是量子化的。EOaxn=1n=2n=3n=4存在零点能量，并且：★粒子能量量子化对解的探讨第六节一维定态问题★粒子的概率分布势阱中不同位置粒子出现的概率不相同，概率密度为：Oan=1n=2n=3n=4Oan=1n=2n=3n=4xx第六节一维定态问题对一维线性谐振子的量子力学探讨可得到类似的结果：其能量的可能取值是分立的，同样存在零点能量。谐振子的能级介绍假如在一维空间运动的粒子的势能为：那么，称粒子为一维线性谐振子。第六节一维定态问题U(x)U0EoaxⅠⅡⅢ入射反射透射如图的势能分布称为势垒。当入射粒子的能量E>U0时，无论是经典还是量子理论，粒子都可以穿过区域Ⅱ到达Ⅲ。当粒子的能量E<U0时，从经典理论看，粒子不行能进入Ⅱ区。但量子力学分析计算表明，粒子仍有确定的概率穿过Ⅱ区到达Ⅲ区：oaxⅠⅡⅢ隧道效应粒子可能穿透比其动能更高的势垒，称为隧道效应。三、势垒的穿透、隧道效应第六节一维定态问题1982年，宾尼希（G．Binnig）和罗雷尔（M．Rohrer）等人利用电子的隧道效应研制成功扫描隧道显微镜（STM）。金属的表面处存在着势垒，阻挡内部的电子向外逸出，但由于隧道效应，电子仍有确定的概率穿过势垒到达金属的外表面，并形成一层电子云。电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。将极细的探针与被探讨样品表面的距离特殊接近时，它们的表面电子云就可能重叠。若在两者之间加微小电压U。，电子就会穿过其间的势垒，形成隧道电流。隧道电流对针尖与表面间的距离极其敏感，当间距变更一个原子距离时，隧道电流可以有上千倍的变更。假如保持限制隧道电流恒定，限制针尖在样品上的扫描，则探针在垂直于样品方向上的凹凸变更，就反映出样品表面的起伏。利用扫描隧道显微镜可直接绘出表面的三维图象。目前其横向辨别率已达0.1nm,纵向辨别率达0.01nm。而电子显微镜为0.3~0.5nm。第六节一维定态问题扫描隧道显微镜（STM）原理图第六节一维定态问题STM照片——原子的“面貌”石墨样品表面：原子的规则排列最小的人形图案：5nm(IBM,1991)

第六节一维定态问题1.

从一维无限深方势阱的例子中我们怎样理解粒子出现的概率问题？2.

怎样理解势垒穿透和隧道效应？思考第六节一维定态问题第七节氢原子的量子力学处理方法应用薛定谔方程可以精确求解氢原子及类氢原子（离子）等简洁体系中的电子运动的能级和波函数。对于较为困难的体系则必需用近似方法求解。在求解过程中，可以自然地得到氢原子的一些量子化条件，而不是做一些人为的假设。氢原子中电子的势能函数原子核或原子实的质量远大于电子质量，可以将核看作不动而电子绕核运动，电子的势能函数为：代入薛定谔方程，在直角坐标系可得：一、氢原子的薛定谔方程然后利用分别变量法得到r、、各自满足的三个微分方程。依据波函数标准条件就自然地得出分立的能级和一些量子化条件。具体求解过程不做更高的要求。POx

yz球坐标与直角坐标rcosrsin由于势能的球对称性，接受球坐标求解更为便利，坐标变换为：第七节氢原子的量子力学处理方法氢原子的总能量只能取一系列分立值——量子化：其中n为主量子数，n越大电子离核越远，能量越高。对原子序数为Z的类氢离子，量子化的总能量为：1、能量量子化——主量子数n第七节氢原子的量子力学处理方法氢原子的电子轨道角动量只能取一系列分立值——角动量量子化：其中l为角量子数，它确定了角动量的数值大小。角动量数值不同，电子就处于不同的运动状态。同一能级（主量子数相同）的l=0，1，2，3运动状态分别称为s，p，d，f状态。2、角动量量子化——角量子数l第七节氢原子的量子力学处理方法电子角动量在空间某一特殊方向（例如外磁场方向）的重量Lx只能取一系列分立值——角动量空间量子化：其中ml为磁量子数。ml不同，电子就处于不同的运动状态。l相同时，电子的角动量相同，但可以有2l+1个不同的空间取向，因此有2l+1个运动状态。3、空间量子化——磁量子数m第七节氢原子的量子力学处理方法电子云：电子的概率分布电子出现在原子核四周的概率密度为(r,,)2，在体积dV内的概率就是(r,,)2dV。由概率密度就可以求得诸如电荷密度、电流等量。为了形象地表示，通常将概率密度大的区域用浓影表示，概率密度小的区域用淡影表示，称这样的阴影为电子云。量子力学中没有经典意义上的轨道概念，代之以电子出现的概率密度，即波函数的平方。虽然在探讨问题中为便利起，常常会运用“轨道”一词，但与经典物理中的概念完全不同了。第七节氢原子的量子力学处理方法20世纪30年头，人们发觉很多现象不能仅用n，l，ml三个量子数描述原子中的量子态，例如光谱的精细结构。由此提出了电子自旋及其量子化的假设，并得到了试验的干脆验证从而丰富了量子力学关于原子结构的理论，为建立原子的电子壳层理论奠定了基础。无磁场有磁场KNSPB银离子经过很强的非匀整磁场。二、电子自旋第七节氢原子的量子力学处理方法1921年，施特恩和格拉赫设计了干脆视察原子磁矩的试验。其试验思想是：假如原子磁矩在空间的取向是连续的，那么原于束经过不匀整磁场发生偏转，将在照相底板上得到连成一片的原子沉积；假如原子磁矩在空间取向是分立的，那么原子束经过不匀整偏转后，在底板上得到分立的原子沉积。依据空间量子化理论，当l确定时，ml有2l+1个取向，原子在上述试验中应有奇数个取向，而照相底版上只有两条沉积线。（试验中用银原子的s态l=0,ml=0,其轨道磁矩为零。）如何说明？第七节氢原子的量子力学处理方法1925年荷兰学者乌仑比克（Uhlenbeck）和哥德斯密特（Goudsmit）提出了电子自旋假设。后经量子力学进一步计算，对电子自旋的相识是：★电子除轨道运动外还存在一种自旋运动，具有自旋角动量Ls和自旋磁矩s。自旋角动量为：其中s取值只能是s=1/2，并且电子自旋角动量在空间的取向也是量子化的，在