考点34 数列的递推关系与通项（解析版）

考点34数列的递推关系与通项正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．(2)对于递推关系式可转化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．1、已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2))【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))2、数列满足，则________．【答案】【解析】由得，=，∵，∴==，∴==-1，∴==2，∴==，∴==-1，∴==2，==．3、（2020年全国2卷）数列中，，，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.4、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】已知数列的前项和为，满足，且.（1）求数列的通项公式；【解析】（1），即，，因为，，所以，，则数列是以为首项、为公比的等比数列，，.考向一由Sn与an的递推关系求通项公式例1、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an．(1)Sn＝3n－1；(2)Sn＝n2＋3n＋1．【解析】：(1)n＝1时，a1＝S1＝2．n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1．当n＝1时，an＝1符合上式．∴an＝2·3n－1．n＝1时，a1＝S1＝5．n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2．当n＝1时a1＝5不符合上式．∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n＋2，n≥2.))变式1、记为数列的前项和．若，则．【答案】【解析】为数列的前项和，，①，当时，，解得，当时，，②，由①②可得，，是以为首项，以2为公比的等比数列，．变式2、若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______．【答案】【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．方法总结：an与Sn关系的应用(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”。考向二运用累计与叠乘法求数列的通项例2、(1)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2nan＋1)(n∈N*)，求{an}的通项公式；(2)在数列{an}中，已知a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－2)an(n∈N*)，an≠0，求an.【解析】(1)对an＋1＝eq\f(an,2nan＋1)两边“取倒数”，得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2nan＋1,an)，即eq\f(1,an＋1)＝2n＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2n.∴n≥2时，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝2n－1，eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－2)＝2n－2，…，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2)＝22，eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝2，将以上各式累加得，得eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＝eq\f(2（1－2n－1）,1－2)＝2n－2，∴eq\f(1,an)＝2n－1，∴an＝eq\f(1,2n－1)，当n＝1也满足，∴an＝eq\f(1,2n－1).(2)因an≠0，由(3n＋2)an＋1＝(3n－2)an，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，∴n≥2时，eq\f(an,an－1)＝eq\f(3n－4,3n－1)，eq\f(an－1,an－2)＝eq\f(3n－7,3n－4)，…，eq\f(a3,a2)＝eq\f(5,8)，eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,5)，逐项累乘，得eq\f(an,a1)＝eq\f(2,3n－1)，∴an＝eq\f(6,3n－1)，当n＝1也满足，∴an＝eq\f(6,3n－1).变式1、数列满足，且（），则数列前10项的和为．【答案】【解析】由题意得：，所以．变式2、(2019南京学情调研）在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,n（n＋1）)(n∈N*)，则a10的值为________．【答案】eq\f(19,10)【解析】解法1(裂项法)由an＋1＝an＋eq\f(1,n（n＋1）)得an＋1－an＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故a2－a1＝1－eq\f(1,2)，a3－a2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，a4－a3＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，a10－a9＝eq\f(1,9)－eq\f(1,10)，所以a10＝eq\f(19,10).解法2(常数列)由an＋1＝an＋eq\f(1,n（n＋1）)，得an＋1＋eq\f(1,n＋1)＝an＋eq\f(1,n)，故a10＋eq\f(1,10)＝a1＋1＝2，即a10＝eq\f(19,10).方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数列，迭加即可；变形为eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我们的观察、变形和转化的能力，需要牢固掌握．考向三构造等差、等比数列研究通项例3、【2022·广东省梅江市梅州中学10月月考】已知数列前n项和为，且.（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；【解析】：（1）当时，因为，所以，两式相减得，.所以.当时，因为，所以，又，故，于是，所以是以4为首项2为公比的等比数列.所以，两边除以得，.又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.所以，即.变式1、（2021·四川宜宾市·高三二模（文））已知数列的前项和为，且满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，而当时，，即，则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，即有，而，∴，故选：A.变式2、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式；【解析】两边同除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)·eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3)，bn＝eq\f(an,3n)，则原式变为bn＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(1,3)，设bn＋1＋x＝eq\f(2,3)(bn＋x)，与原式待定系数，得－eq\f(1,3)x＝eq\f(1,3)，得x＝－1，an＋3n，eq\f(bn＋1－1,bn－1)＝eq\f(2,3)，∴数列{bn－1}是一个公比为eq\f(2,3)的等比数列，首项为bn－1＝eq\f(1,3)－1＝－eq\f(2,3)，∴bn－1＝－eq\f(2,3)(eq\f(2,3))n－1，bn＝1－(eq\f(2,3))n，∴an＝3n(1－(eq\f(2,3))n)＝3n－2n.方法总结：构造等差、等比数列求通项，常见形式一：an＋1＝pan＋q(p，q为常数，p≠0，p≠1)，常利用待定系数构造，可化为an＋1＋x＝p(an＋x)，从而解出x＝eq\f(q,p－1).常见形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q为常数，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通过两边同时除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，换元bn＝eq\f(an,qn)，即转化形式一．当然，1、【2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，依次构成的数列的第n项，则的值为__________．【答案】【解析】设第个数为，则，，，，…，，叠加可得，∴．故答案为：2、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列中，，其前项和满足，则__________；__________.【答案】【解析】（1）由题：，令，，得：，所以；（2）由题，，化简得：，，是一个以2为首项，1为公差的等差数列，，，故答案为：(1).(2).3、设数列的前项和为．若，，，则=，=．【答案】．【解析】由于，解得，由，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以．4、【2022·广东省深圳市育才中学10月月考】已知数列的前项和为，且对任意正整数，成立．（1），求数列通项公式；【解析】在中令得．因为对任