课件一轮复习上导数应用之含参分类讨论

关于大大家的孩子迫切关 预 均将上传至每一节课课程2：暑假班（大大家所有福利（价值五位 均将上传至毕3：大大系统班将免费获取大大系统班期间专题课（手写笔记系统班代金券-暑1凭高三一轮复习（下）秋季系统班报名凭寄宿类学生 大家一定要利用好猿辅导这 利用每一次回家的机会听课来学 来学习！哪怕是一周回家一次！两周回家一次！一个月回家一次也要好好利用猿辅导优质的教学资源！大家一临摹丶浮华笑华小盒今天做题吗在逃避无限空间之二腔得未曾三有四水下啊噗溥姑五无罗月满西六刘子莫德雷柒七摘八桥本环祖祖who抄第七讲导数应用之含参分类讨【目标985知识本讲知识导数与函数的单调性一般地，设函数y=fx在某个区间上可导如果f′(x)>0，则函数为严格增函如果f′(x)<0，则函数为严格减函数 有f′(x)=0，则函数为常数函数．可导函数y=f(x)在某个区间内，f′(x)>0恒成立是函数y=fx在该区间单调递增f(x)=x3f′(x)⩾0恒成立是函数y=fx在该区间单调递增函数

（考（考虑常f′(x)⩾0恒成立且方程f′(x)=0有离散解是函数y=fx在该区间单调递增充要条单调递减的情形完全类（1）确定函数y=fx的定义域 求fx)，令fx)=0，解此方程3把函数f(x)的间断点的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后利这些点把函数fx)的定义域分为若干开区间 由 ′(x)的符号判断函数f(x)在各个相应开区间的单调性已知含参的可导函数fx在区间(ab)内单调递增，求参数的取值范围．此时，根据导函数f′x的符号与函数fx的单调性之间的关系，令f′x0对任意xab)恒成注意：检验参数取值范围的边界值能否使f′x)=0有离散解例例已知函数f(x)=lnxax22a1)x讨论f(x)的单调性当a<0时，证明f(x)⩽32例例已知函数f(x)=ex(exaa2x讨论f(x)的单调性若f(x)⩾0，求a的取值范围例例已知函数f(x)=lnxa(1x)讨论f(x)的单调性当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范例例（本小题满分2已知函数f(x)=ln(1x)x+kx2（k⩾0）2当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程求f(x)的单调区间例例（本小题满分12分2设函数f(x)=alnx+1−ax2bx(a≠1)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的2线斜率为0（1）求b（2）若存在x0⩾1，使得f(x0)<

aa a的取值范例例已知函数f(x)=ax2bxk(k>0在x=0处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x+2y+1=0。求a，b的值f(x)若函数g(x) f(x)

，讨论g(x)的单调性例例（本小题满分13设函数f(x)=xeax+bx，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程ye1)x4求a，b的值求f(x)的单调区间例例（本小题13分已知函数f(x)=excosxx求曲线y=f(x)在点(0f(0))处的切线方程2求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小2例例已知函数fx)=(x1lnxax1a4时，求曲线yfx)在点(1f(1))处的切线方程x1时，fx)>0a的取值范围知识高考例例10已知函数f(x)=aexlnx1设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间e证明：当a⩾1时，f(x)⩾0e暑大大独家专课堂补7（高三一轮复习 xkRf(x)

1 F(x)f(x)kx,xR

x1,x试讨论函数F(x)的单调性 x kxf(x)

1 F(x)f(xkx1

,xRxx

x1,x

kxx<1时，1-x>0F(x)

k,(x1)(1x)2 xkRf(x)

1 F(x)f(x)kx,xR

x1,x试讨论函数F(x)的单调性②当k0F(x)

(1

k0,(x1)，解得x1 kkkx1kF(x)0；当1kx1F(x)kkkk

k kk xkRf(x)

1 F(x)f(x)kx,xR

x1,x试讨论函数F(x)的单调性 x当x>1时，x-1>0，F(x) x

k,(x①当k0时，F(x)0在(1,F(x)在区间(1, xkRf(x)

1 F(x)f(x)kx,xR

x1,x试讨论函数F(x)的单调性 x1②当k0时，令F(x) x1

k0,(x1x1

，4k且当1x1

4k

F(x)0x1

4k

F(x)故F(x)在区间(1,1

)上单调递减,在区间(1 ,)上单调递增4k 4k综上得1①当k=0，F(x)在区间(,1)上单调递增，F(x)在区间(1,)上单调递减1②当k<0时，F(x)在区间(,1)上单调递增，在区间(1,1 )上单调递减4k1在区间(1

4k

,)上单调递增k0时，F(x)在区间(,1k上单调递减,在区间(1k,1上单调递增 在区间(1,)上单调递减课堂补充第7（高三一轮复习上 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性 ,

kx 1 f 1

,xRx x1,x xx<1时，1-x>0F

k,(x (1①当k0时，F(x)0在(,1上恒成立F(x)在区间(,1上单调递增 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xRxxk试讨论函F(x的单调性k

x②当②当k0F1(1 1)，解得 k， k0；当k F(x)在区间(k)上单调递减,在区间kk,1k , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性 当x>1时，x-1>0，F

k,(x①当k0时 0在(1,)上恒成立故F(x)在区间(1,)上单调递减 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性②当 0时，令F

0,(x1)，解得

，4k且当

x4 x

0；当x

4k

F(x故F(x)在区间

1)上单调递减,在区间 ,)上单调递增4k 4k综上得①当k=0时，F(x)在区间(,1)上单调递增，F(x)在区间(1,)上单调递减②当k<0时，F(x)在区间(,1)上单调递增，在区间

4k1

)上单调递减在区间

4k

,③当k0时，F(x)在区间(,1 k)上单调递减,在区间(1 k,1)上单调递增, 在区间(1,)上单调递减感谢各位好孩子的好评记课堂补充第7（高三一轮复习上 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性 ,

kx 1 f 1

,xRx x1,x xx<1时，1-x>0F

k,(x (1①当k0时，F(x)0在(,1上恒成立F(x)在区间(,1上单调递增 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xRxxk试讨论函F(x的单调性k

x②当②当k0F1(1 1)，解得 k， k0；当k F(x)在区间(k)上单调递减,在区间kk,1k , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性 当x>1时，x-1>0，F

k,(x①当k0时 0在(1,)上恒成立故F(x)在区间(1,)上单调递减 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性②当 0时，令F

0,(x1)，解得

，4k且当

x4 x

0；当x

4k

F(x故F(x)在区间

1)上单调递减,在区间 ,)上单调递增4k 4k综上得①当k=0时，F(x)在区间(,1)上单调递增，F(x)在区间(1,)上单调递减②当k<0时，F(x)在区间(,1)上单调递增，在区间

4k1

)上单调递减在区间

4k

,③当k0时，F(x)在区间(,1 k)上单调递减,在区间(1 k,1)上单调递增, 在区间(1,)上单调递减感谢各位好孩子的好评记课堂补充第7（高三一轮复习上 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性 ,

kx 1 f 1

,xRx x1,x xx<1时，1-x>0F

k,(x (1①当k0时，F(x)0在(,1上恒成立F(x)在区间(,1上单调递增 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xRxxk试讨论函F(x的单调性k

x②当②当k0F1(1 1)，解得 k， k0；当k F(x)在区间(k)上单调递减,在区间kk,1k , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性 当x>1时，x-1>0，F

k,(x①当k0时 0在(1,)上恒成立故F(x)在区间(1,)上单调递减 , 设kR,函数f(x) 1 F(x) f(x) kx,xR x1,x试讨论函F(x的单调性②当 0时，令F

0,(x1)，解得

，4k且当

x4 x

0；当x

4k

F(x故F(x)在区间

1)上单调递减,在区间 ,)上单调递增4k 4k综上得①当k=0时，F(x)在区间(,1)上单调递增，F(x)在区间(1,)上单调递减②当k<0时，F(x)在区间(,1)上单调递增，在区间

4k1

)上单调递减在区间

4k

,③当k0时，F(x)在区间(,1 k)上单调递减,在区间(1 k,1)上单调递增, 在区间(1,)上单调递减感谢各位好孩子的好评记测验题曲线y=xlnx在x=e处的切线方程为（） y=x− y=2x− y= y=x+𝑦𝑓(𝑥)在某个区间上可导，如果𝑓(𝑥)>0，则函数为严格增函数；𝑓(𝑥0 有𝑓′(𝑥)=0，则函数为常数函数𝑦𝑓(𝑥) 𝑓𝑥0𝑦=𝑓(𝑥)在该区间单调递增的充分不必要条件（𝑓(𝑥)=𝑥32𝑓(𝑥0𝑦𝑓(𝑥)在该区间单调递增的必要不充分条件（考虑常值函数3𝑓(𝑥0𝑓(𝑥)=0𝑦=𝑓(𝑥)（1）𝑦=𝑓(𝑥) 𝑓𝑥)𝑓𝑥)=0)这些点把函数𝑓(𝑥)的定义域分为若干开区间； 𝑓𝑥)𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)(𝑎,𝑏)内单调递增，求参数的取值范围．此时，根据导𝑓𝑥)𝑓(𝑥)𝑓𝑥)⩾0𝑥∈(𝑎,𝑏)恒𝑓𝑥)=0𝑦𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)>0𝑓(𝑥)<0 有𝑓′(𝑥)=0，则函数为常数函数注意：𝑦=𝑓(𝑥) 𝑓𝑥0𝑦=𝑓(𝑥)在该区间单调递增的充分不必要条件（𝑓(𝑥)=𝑥32𝑓(𝑥0𝑦𝑓(𝑥)在该区间单调递增的必要不充分条件（考虑常值函数3𝑓(𝑥0𝑓(𝑥)=0𝑦=𝑓(𝑥)（1）𝑦=𝑓(𝑥) 𝑓𝑥)𝑓𝑥)=0)𝑓(𝑥) 𝑓𝑥)𝑓(𝑥)含参讨论的方法与步骤：“三看注：只看导数导函数的形式，比如：一次型、指数型、对数型（以上三种型均为单调型二次型、类次型（比如乘积的形式）等，所以要学会画函数图象（在函数的单调性的那一节已经把函数图象给出．①“一看”最高项系数是否含参，含参要把参数为零的情况进行讨论；（“一看”系数是否为 一次型fxaxb，讨论a0，令fx0求根；讨论a0，令fx0求根．二次fxax2bxca0，先令0fx在定义域内单调递增0fx0根；讨论a0，先令0fx在定义域内单调递减，先令0，fx00根．指数fxkaxbfx0axbb0，方程无根，即函fx单调（增 k③“三看”根（极值点）的大小先比较根与根的大小（两根以上时，一般分成三种情况，一根左边，相等，右边知识导数一次函数型讨例例已知函数f(x)=(xk)ex求f(x)的单调区间f(x)在区[01上的最小值答答（1）f′(x)=(xk1)ex，令f′(x)=0，得x=k1。f(x)与f′(x)的情况如f(x)的单调递减区间是(−∞,k1；单调递增区间是(k1（2）k10k1时，函数f(x)[01上单调递增，所以f(x)在区[01上的最小值为f(0)=−k1k<2时，由（1）知f(x)在[0k1上单调递减，在(k11上单调递f(x)在区间[01上的最小值为fk1)=−ek−1k11，即k2时，函数f(x)[01上单调递减，所以f(x)在区间[01上的最小值为f(1)=(1−k)e。例例已知函数f(x)=lnxax22a1)x讨论f(x)的单调性当a<0时，证明f(x)⩽32答答（1）f′(x)=1+2ax+(2a+1)

=(x+1)(2ax+1)（x>0 a⩾0，则fx0在(0上恒成立，fx)在(0上单调递增 a0，令fx0，解得x1x01时，fx0，f 调递x1时，fx0，fx)单调递（2）由（1）知，当a0时，fx)在x01上单调递增，x1上单调递减 所以fx)有最大值f1，即fx)⩽f g(a)=f132)=ln1a1 =1+1−ln(−2a)（a<0g′(a1−−2=−2a−1，当a1时，g′(a)>0，g(a)单调 2增；当a10时，g′(a)<0，g(a)单调递减，所22 g(a)maxg11100g(a⩽0在a0时恒成立，即f132a0时恒成立，所以fxf1)⩽3−2（a<0），即fx)⩽32（a2 例例已知函数f(x)=lnxa(1x)讨论f(x)的单调性当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范答x（1）f(x)的定义域为(0，f′(x)=1−axa⩽0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0上单调递增当a>0时，若f′(x)>0，则x<1，若f′(x)<0，则x>1，所以f(x) (01上单调递增，在1上单调递 （2）根据（1）可知，当a⩽0时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，f(x)无最大值，所以a>0。aa>0时，f(x)在(0,1上单调递增，在1上单调递减af(x

max

=f(1)=−lna+a(1−1)=−lna

a1，最大值大于2a2lnaa12a2，化简为lnaa10。设g(alnaa−1ag′(a)=1+ 0，即g(a)在(0上单调递增，g(10，所以a0a1时g(alnaa10；当a1时g(a0故a的取值范围为(01。知识导数二次函数型讨例例（本小题满分x已知函数f(x)=lnx−ax+1−a−1（a ）xa1时，求曲线yfx)在点(2f(2))处的切线方程2当a⩽1时，讨论fx)的单调性2xx答答（1）当a1时fxlnxx+21x0，所2fx)=x+x−2x0，因此f′(21即曲yfx)在点(2f(2))处的切线斜率为f(2ln22，所以曲线yfx)在点(2f(2))处的切线方程xyln20x（2）因为fx)=lnxax+1−a1x2 所以fx)=1a+a−1ax−x+1−a hxax2x1ax0①当a0时hxx1x0，所以，当x01时hx0f′x)<0，函数fx)单调递减x1时，hx)<0，此时fx0，函数fx)单调递a②当a0时，由fx0，得x11，x2=11a2a=1时，x1x2，hx)≥0恒成立，此时fx)≤0，函数fx)单调递22③当0a<12x01时，hx0，此时fx0，函数fx)单调递减ax111时，hx0，此时f′x0，函数fx)单调递增aax11时，hx0，此时fx0，函数fx)单调递减a④当a0当x01时，hx)>0，此时fx)<0，函数fx)单调递减，x1时，hx0，此时fx0，函数fx)单调递增。a0时，函数fx)在(01单调递减，函数fx)在(1单调递增0a<1时，函数fx)在(01单调递减，在(1,11单调递增， a11单调递减。a2a=1时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)单调递减2例例（本小题满分12分2设函数f(x)=alnx+1−ax2bx(a1，曲线yf(x)在点(1，f(1处的2线斜率为0（1）求b（2）若存在x0⩾1，使得f(x0)<

aa a的取值范答答（Ⅰ）f′(x)=a1axb，由题设知f′(1)0，解得b1x2（Ⅱ）fx)的定义域为(0，由（Ⅰ）知，fxalnx+1−ax2x2f′(x)=a+(1−a)x−1=1−a(x−a)(x− （i）若a⩽1，则a⩽1，故当x1时，f′(x0，fx)在 单调递增，所以，存在x0⩾1，使得f(x0)<a的充要条件为f(1)<a 1−a1a，解得−√21a√21 （ii）若1a1，则a1，故当x1,a时，f′(x0 xa时，f′(x0，fx)在(1,a单调递减，在a上单调 增，所以存在x0⩾1，使得f(x0)<a的充要条件为fa f(a)=alna

+ >a，所以不合题（iii）若a1，则f(1)=1−a1−a−1< 是例例（本小题满分设a>0，讨论函数f(x)=lnxa(1a)x22(1a)x的单调性答答f(x)的定义域为(0。

′(x)

2a(1−a)x2−2(1−a)x+1，当a≠1时，方x32a(1a)x22(1a)x1的判别式Δ=12(a1)(a−1x3①当0a<1时，Δ>0，f′(x)有两个零点，x1=1−√(a−1)(3a−1)>03x2=1+√(a−1)(3a−1)

且当0x<x1或x>x2时，f′(x)>0f(x)在(0x1与(x2为增函数当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)在(x1x2内为减函数3②当1≤a<1时，Δ≤0，f′(x)≥0，所以f(x)在(0内为增函数3x③当a=1时，f′(x)=1>0(x>0，f(x)在(0内为增函数x④当a>1时，Δ>0，x1=1−√(a−1)(3a−1)>0 =1+√(a−1)(3a−1)<0，所以f′(x)在定义域内有唯一零点 2(1− 2(1−21且当0x<x1时，f′(x)>0f(x)在(0x1内为增函数x>x1时，f′(x)<0，f(x)在(x1内为减函数f(x)的单调区间如下表（其中x1

√，– ，–

=1+√(a−1)(3a−1)2 2知识二次求导型讨例例（本小题13分已知函数f(x)=excosxx求曲线y=f(x)在点(0f(0))处的切线方程2求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小2答答（1）f′(x)=ex(cosxsinx1，令x=0，得f′(0)=e0(cos0sin00，f(0)=e0cos001，所以曲线y=f(x)在点(0f(0))处的切线方程y=12（2）令g(x)=f′(x)=ex(cosx−sinx)− (0⩽x⩽π)，22g′(x)=−2exsinx，当0⩽x⩽π时，ex>0，sinx⩾0，所以g′(x)⩽02g(x)在[0,π上单调递减，所以当0⩽x⩽π时，f′(x)⩽f′(00，所以f(x) [0π上单调递减，因此函数f(x)在区间[0,π上的最大值为f(0)=1，最小 f(2)=e2cos2−2=−2例例已知函数f(x)=ex−2x+2a，a 求fx)的单调区间与极值求证aln21且x0时，exx22ax1答答fx)=ex2x2a，x∈R知fxex2xRfx)=0，得xln2。于是当x变化时，fx)的变化情况如下fx)的单调递减区间是ln