13章-有导体和电介质存在时的静电场

第十三章有导体和电介质存在时的静电场前面两章讲解并描述了真空中静电场的基本概念和规律，而在实际的应用中，常利用导体带电形成电场，而且还运用绝缘体（或电介质）来变更空间的电场和电荷的分布。本章即将探讨静电场对导体和电介质的作用，及导体和电介质对静电场的影响。1导体(conductor):存在大量的自由电子。绝缘体(dielectric)

:理论上认为一个自由移动的电荷也没有，称为电介质。

半导体(semiconductor):

介于上述两者之间。

静电场中的物质按其导电特性可分为三类：2内容§13-1静电场中的金属导体§13-3静电场中的电介质§13-4电介质对电容的影响及电容器的能量§13-2电容和电容器3一、金属导体的静电平衡1.金属键晶体的电结构++++++金属导体是由大量带正电的原子实和带负电的自由电子组成；自有电子处于不停的热运动中；若导体无外加电荷或外加电场；自由电子分布匀整，整个导体对外不显电性§13-1静电场中的金属导体4++++++++++++++++E0EE2.静电感应若施以外电场自有电子定向漂移电荷重新分布导体两段出现等量异号电荷，称为静电感应+EE0EEEE静电感应所产生的电荷产生一个附加电场导体内合电场为：5自有电子不断漂移，附加电场不断增加。当时，自由电子停止定向漂移；EEE0EE+EE0EE0导体内合电场导体达到静电平衡++++++++++E0EE++++++E03.静电平衡注意静电平衡是在瞬间完成的，几乎不需要时间.64.静电平衡下的导体性质(1)静电平衡时导体中自由电荷没有定向运动(或宏观运动)的状态，而实现这一状态的必要条件，是导体内部的电场强度为零。

导体内E0(2)导体表面旁边的电场强度到处与表面垂直，否则电场强度沿表面的重量将使自由电子沿表面作定向运动。

(3)

整个导体是等势体，导体的表面是等势面。在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为7由于外部电场的作用，使某一导体的两端出现异号电荷，试问空间的电场线应当如何画？思索题

电场线的走向代表了它所经过的空间各点上电场强度的方向，而电场强度的方向总是由高电势指向低电势；另外，处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。＋-由这两点看，由导体正端发出的电场线是确定不会终止于自身的负端的。8二、静电平衡的导体上的电荷分布及表面的电场

1、导体内部不存在净电荷，电荷只能分布在导体表面。因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零，所以导体内部必定不存在净电荷。在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理，应有9在带电导体表面任取一面元S，可认为其电荷面密度为匀整分布。包围S作一圆柱状闭合面，使其上、下底面与导体表面平行。通过整个圆柱状闭合面的电通量等于通过圆柱上底面的电通量。上式表示，处于静电平衡的导体，其表面旁边的电场强度大小与该处面电荷密度成正比。DS根据高斯定理，有

2.带电导体表面旁边的电场10r1r2lq2q1等势体代入上式一导线相连的两导体球3.孤立的导体处于静电平衡时，其面电荷密度分布的特点11说明：大球的电荷密度小，小球的电荷密度大推论：由于随意形态导体的表面都可视为很多半径不同的球面连接而成，因此表面尖锐的地方，对应球面半径小（或曲率大），面电荷密度大，反之面电荷密度小。注意表面凹陷处，电荷面密度很小，几乎为零。12尖端放电：导体表面越尖锐，其电荷面密度越大。凸起越利害的地方，其旁边的场强越大，而强的电场又可以将空气分子电离，从而使空气中电荷移动。例：金属针上的电荷形成的“电风”会将蜡烛的火焰吹向一边，这就是尖端放电现象。13三、处于静电平衡的空腔导体，其电荷与电场分布特点1.腔内无电荷的空腔导体s面表内面表外efEdss0则qiS0因静电平衡时E0导体内处处故作高斯面s在导体内包围空腔s面上处处E0得可能可能内表面无电荷内表面有等量异号电荷腔内无电荷的空腔导体其电荷只能分布在导体的外表面成立()s+++与静电平衡时导体为等势体相矛盾排除此可能性()空腔内部电场强度为零，即它们是等势体。142.腔内有电荷的空腔导体Q设导体原已带有电量q空腔内电荷的电量efEdss0则因静电平衡时E0导体内处处作高斯面s在导体内包围空腔故s面上处处E0qiS0得空腔内电荷电量q导体内表面分布的电量q加因本系统的导体中电荷守恒导体外表面分布的电量为+Qq+qsqq++++++++++++++++++QqQ15利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为静电屏蔽。无线电技术中有广泛应用，例如，常把测量仪器或整个试验室用金属壳或金属网罩起来，使测量免受外部电场的影响。

四、导体静电平衡性质的应用1.静电屏蔽

(electrostaticshielding)16封闭导体壳不论是否接地，内部电场不受壳外电荷影响接地封闭导体壳外部电场，不受壳内电荷的影响++++++q腔内位置变化无影响q腔内电量变化有影响若不接地++++17

2.库仑平方反比律的精确证明4.范德格拉夫静电高压起电机3.场致放射显微镜18

五、有导体存在时静电场的分析与计算导体放入静电场中时，电场会影响导体上电荷的分布；而同时，导体上的电荷分布也会影响电场的分布。这种相互影响将一干脆着到导体达到静电平衡时为止，这时，导体上的电荷分布及四周的电场分布就不再变更了。1、静电场的基本规律2、电荷守恒定律3、导体静电平衡条件19例1：两块导体平板平行并相对放置，所带电量分别为Q和Q，假如两块导体板的面积都是S，且视为无限大平板，试求这四个面上的面电荷密度。解：设四个面的面电荷密度分别为1、2、3和4，空间任一点的场强都是由四个面的电荷共同供应的。由高斯定理，各面上的电荷所供应的场强都是i/20。另外，由于导体内部的合场强为零。若取向右为正方向，则处于导体内部的点A和点B的场强可以表示为20依据已知条件S(12)=QS(34)=Q.可解得：上式表明两块无限大的导体平板，相对的内侧表面上面电荷密度大小相等、符号相反，相反的外侧表面上面电荷密度大小相等、符号相同。假如Q=Q，可以求出：S21例题2:一半径为R的接地导体球，旁边有一电量为q的点电荷。点电荷距离球心为r，求，导风光 上的感应电荷的电量q’.

qrR解：依据电势的叠加原理球心:点电荷在球心O产生的电势感应电荷在球心处产生的电势为解得：22例3：2324

结论：无论导体空腔是否接地，小球与球壳之间的电势差恒定25R1R2R3S1S2例题4：场26R1R2R3S3S42728一、孤立导体的电容所谓“孤立”导体，就是说在这导体的旁边没有其它导体和带电体。设想一个孤立导体带电量为q，它将具有确定的电势V，理论与试验表明：随着q的增加，V将按比例地增加，关系式：C与导体的形态和尺寸有关，与q和V无关，称之为孤立导体的电容。§13-2电容和电容器29孤立导体电容的物理意义为：使导体每上升单位电势所需的电量。为了理解电容的意义，可比方为：我们向几个不同容器灌水时，为了使它们的水面都增加一个单位的高度，须要灌入的水量是不相同的。这是由容器本身的性质（即它的截面积）所确定的。例如，半径为R，带电量为Q的孤立导体球，其电势表示为孤立导体球的电容为某孤立导体球R030电容的单位：称作F~(法拉)或记为(C/V

)。由此可见，电容C确定于导体的几何因素。地球可看成一个导体球，它的半径约6400千米，它的电容C约为7.110-4F。二、电容器：孤立导体作为供应电容的器件，是没有实际意义的。这是因为，首先它的电容太小，没有实际应用价值，其电简洁受四周导体的影响。31用一个封闭的导体壳B将导体A包围起来，并将B接地。使VB＝0，这样壳外的导体就不在影响B的电势。若使导体A带电qA，导体壳B的内表面将带电-qA。随着qA的增加，VA将按比例增加,仍可定义它的电容为32

当然这时C已与导体壳B有关了,(此时之所以用孤立导体的电容来定义带电体A的电容,是因为B接地,屏蔽了外来场的干扰,A在此仍可看成一个孤立的带电导体).其实,导体壳B也可不接地,则它的电势VB0,虽然这时VA，VB都与外界的导体有关，但电势差：

仍不受外界的影响，且正比于qA，比值不变。这种由导体壳B和其腔内的导体A组成的导体系，叫做电容器。比值叫做它的电容。33电容器的电容与两导体的尺寸﹑形态和相对位置有关，与qA和UAB无关。组成电容器的两个导体A，B叫做电容器的极板。孤立导体也可以看成是一个电容器，不过它的另一极板在无限远处。这两个极板的电势差，即等于孤立导体的电势。若使A的外表面和B的内表面之间的距离减小，则在A带同样电量的状况下，A，B之间的电势差减小，即电容增大。341.平行板电容器平行板电容器面积为S，板间距为d,且三、电容的计算平行板电容器的电容与极板的面积S成正比，与两极板之间的距离d成反比。缩小板间的距离d；增大板上的面积。352.

同心球形电容器两个同心金属球壳带有等量异号电荷,电量为Q，两球壳之间的场强为＋Q-QRARB两球壳间的电势差为36探讨假设RA，RB都很大时，且两球壳间的距离很小，因而近似地有，此时球形电容器的电容为:以球面积代入，即相当于平行电容器的电容假设，则，则半径为RA的孤立导体球的电容。373.

圆柱形电容器（同轴电缆）两个长为

l

的圆柱体，圆柱面上带有等量异号的电荷，其间距离RBRA<<l，线电荷密度为l

=Q/l。38探讨1.当RA=RB时，2.当RARB时，RB＝RA+将展开，得39计算电容的步骤为：设电容器两极上分别带电荷±q，计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极板间的电势差VAB所得的VAB与q成正比，利用电容的定义式求出电容C，它一定与q无关，完全由电容器本身性质决定。40例1:两根距离为d的平行无限长直导线带等量异号电荷,构成电容器，设导线半径a<<d，求单位长度的电容。xdoxa

解:如图建立坐标系，坐标轴上x处的场强可由高斯定理求出方向沿x轴正方向。式中是正电导线单位长度所带电量。两导线间的电势差为由此可算得单位长度的电容为41四、电容器的用途1.用来产生用于各种目的的电场电子束的加速和偏转；电介质的极化；离子加速器2.储存能量3.用于电子线路、滤波器、振荡、延迟，使电子时代的到来成为可能42五、电容器的联接恒量一个实际的电容器的性能有两个主要的指标：一个是电容的大小；另一个是它的耐压实力。在实际应用中，所加的电压不能超过电容器本身规定的耐压值，否则在电介质中就会产生过大得场强，而使它有被击穿的紧急。在实际电路中，当遇到单独的一个电容器的电容或耐压实力不能满足要求时，就把几个电容器联接起来运用。电容器联接的基本方式有并联和串联两种。431.并联电容器的电容令等效442.串联电容器的电容等效令45留意：电容器的并联和串联比较如下1、并联时，总电容虽然增大了，但因每个电容器都干脆联到电源上，所以电容器组的耐压实力受到耐压实力最低的电容器的限制；2、串联时，由于总电压支配到各个电容器上，所以电容器组的耐压实力比每个电容器都提高了，但是，总电容比每个电容器都减小了。46例2正方形平行板电容器，由于制作的原因，两板之间有一小的夹角，求C（设板的边长为a，最小间距为d.)dodx对于x处的平行板电容器的电容为解：由于的存在，两板处处间距不等，因此可将其视为许多电容器的并联。47注意：很小，很小将展开，得当，平行板电容器48§13-3静电场中的电介质导体:含有很多可以自由移动的电子或离子金属导体电场感应电荷静电平衡导体内场强为零电介质:不存在自有电子，其电子被束缚在自身所属的原子核四周，在电场的作用下，电介质分子中的电子和原子核只能作相对移动，但不能超出分子范围。电介质电场极化电荷平衡电介质内场强不为零49

一、电介质的种类由于电介质的种类很多，极化的状况也比较困难，我们的探讨只限于以下状况。a)各向同性的电介质，就是沿各不同的方向，物理性质都相同。

b)匀整的电介质，即物理性能各处一样。对于匀整电介质，极化电荷只出现在电介质表面上;对于不匀整电介质，极化电荷不仅出现在介质表面上，也出现在体内。50无外场作用下，从分子的线度看电介质的电结构，可将其分为两类：无极分子电介质+如氢、聚丙乙烯、石蜡分子的正、负电荷重心重合有极分子电介质+如水、环氧树脂、陶瓷分子的正、负电荷重心不重合在外电场作用下，电介质的表面出现宏观电荷的现象，称为电介质极化。

二、电介质的极化51

位移极化+无极分子Elqqlp电矩qll外场使正、负电荷中心发生E等效于一个电偶极子相对位移，E无外电场时，无极分子介质宏观上不呈电性介质中各无极分子的正、负电荷中心发生相对位移，导致介质与外场垂直的两端面出现正、负束缚电荷，称为电介质的位移极化。位移极化电场越强，极化越强，表面极化电荷越多1.极化的微观机制（无极分子）52取向极化

（有极分子）外场对有极分子的电矩产生E力矩，使有极分子转向。E+qql电矩qlqqEFqEF转向力矩MlFEM有极分子等效于llqq电矩ql+一个电偶极子ppp使得无极分子介质宏观上不呈电性无外电场时，分子热运动E介质中各有极分子受转动力矩作用，其电矩端面出现正、负束缚电荷，称为电介质的转向极化。趋向方向，导致介质与外场垂直的两E取向极化Mp53留意一般状况下，有极分子在外场的作用下，除了发生取向极化外，还发生位移极化，只是取向极化比位移极化强的多，因而以取向极化为主；对于无极分子，位移极化则是唯一的极化机制。两种极化的微观机制过程是不同的，但宏观的结果却是一样的。54三、电极化强度

(polarization)为了定量描写电介质的极化程度，我们在电介质内取一物理无限小体积元Δ（看成一个宏观点），在没有外电场时，电介质未被极化，内部宏观小体积元中各分子的电偶极矩的矢量和为零（∑p=0）；当有外电场时，电介质被极化，此小体积元中的电偶极矩的矢量和将不为零（∑p≠0）。外电场越强，分子的电偶极矩的矢量和越大。用单位体积中分子的电偶极矩的矢量和表示电介质的极化程度1.引入552.电极化强度的定义为表征电介质的极化状态，定义极化强度矢量：在单位体积的电介质中分子电矩的矢量和，以P表示，即式中是在电介质体元内分子电偶极矩的矢量和,极化强度的单位是[C/m2]、[库仑/米2]。假如电介质内各处极化强度的大小和方向都相同，就称为匀整极化。我们只探讨匀整极化的电介质。56四、极化强度与极化电荷的关系对于匀整极化的电介质，极化电荷只出现在介质的表面上。在电介质内切出一个长度为l、底面积为S的斜柱体，使极化强度P的方向与斜柱体的轴线相平行，而与底面的外法线n的方向成角。若把整个斜柱体看为一个“大电偶极子”，它的电矩的大小为Sl，所以，斜柱体内分子电矩的矢量和的大小可以表示为斜柱体的体积为极化强度的大小为57由此得到

=Pcos=Pn,或表示极化电荷面密度等于极化强度沿该面法线方向的分量。

右：左：探讨58为了得到极化强度与极化电荷更一般的关系,在闭合曲面S上取面元dS，以dS点乘上式等号两边，积分：等号右端是闭合曲面S上极化电荷的总量，而这些极化电荷都处于S上，用表示。无论电介质是否极化，介质都是电中性的。因此在S面内必定存在的极化电荷。59上式表示，极化强度沿随意闭合曲面的面积分(即P对该闭合曲面的通量)，等于该闭合曲面所包围的极化电荷的负值。留意对于匀整电介质，极化电荷只出现在电介质的表面上；闭合曲面S完全处于均匀电介质的内部，而S内部不可能存在极化电荷，即该闭合曲面极化强度通量为零60例题1

半径为R的均匀介质球，沿水平方向均匀极化，设极化强度，求：a)介质表面极化电荷的分布，b)左右半球面上的电荷的电量。解：a.以球心为坐标原点，建立坐标系。由于球对称，球面上任一点的极化电荷面密度‘与有关。角为任一点外法线与的夹角。E1Rqy61dE1Rqy极化电荷面密度b.沿垂直P的方向将球面分割成许多环形的球带，过任一点球带的宽度为，周长为右半球：左半球：当时，最大；在时，为零62足够小，故ds上可视为均匀，其极化电荷为：积分：左半球：63五、极化电荷对电介质内部场强的影响无限均匀电介质OE真空真空EOEEE束缚电荷产生的附加场强E（与反向）OE介质内的合场强EOEE比真空时弱，但不为零。与导体静电平衡截然不同。64–0+0+’–'E'E0则两板之间的电场强度的大小为E0=s/e0。在电容器内充溢匀整电介质时E'=s’/e0。总电场强度E的大小可以表示为以平行板电容器为例,假如极板电容器上所带自由电荷面密度分别为和，试验表明，对于各向同性的电介质，极化强度P与作用于电介质内部的实际电场E成正比，并且两者方向相同，可以表示为65式中e是电介质的极化率。引入电介质的相对电容率，定义为

r

=1+e电介质的相对电容率

(相对介电常数)66说明在均匀介质中，内部场强的大小等于外加电场的真空中的电容率电介质的相对电容率（无量纲）电介质的绝对电容率（量纲同）67若电介质所处的电场非常强，介质中的电子有可能脱离原子核的束缚，并碰击分子，使其电离，引起自由电子倍增效应，介质失去极化特性，变成导电体，称为电介质的击穿。电介质的击穿电介质击穿的场强，称为击穿场强。击穿场强电介质相对电容率击穿场强1Vkmm()er1.00053.54.55.76.83.77.55.07.65.010316146208020010201015空气（标准状态）纸变压器油陶瓷云母电木玻璃电介质的相对介电常数（电容率）：68六、电介质存在时的高斯定理自由电荷束缚电荷依据真空中的高斯定理在电场中有电介质，高斯面内可能同时包含自由电荷和极化电荷这两种电荷，高斯定理应表示为69自由电荷对于任一闭合曲面电感应强度的通量，等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和。物理意义对于各向同性的电介质定义电感应强度矢量electricdisplacement（电位移矢量）70思索题：从看，电感应强度矢量仅与自由电荷有关，而与极化电荷无关，对否？该式只表明对任何闭合面的D通量决定于自由电荷，而与极化电荷无关，并不表示D本身只决定于自由电荷，与极化电荷无关。在一般情况下，D是与极化电荷有关的，这可以从公式

中看到。71七、边界条件在两种不同的电介质分界面两侧，D和E一般要发生突变，但必需遵循确定的边界条件。在两种相对电容率分别为

r1和

r2的电介质分界面处，作一扁平的柱状高斯面,使其上、下底面(S)分别处于两种介质中，并与界面平行，柱面的高很小,运用高斯定理，得即或D1n=D2n

上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，电感应强度的法向重量不变。n72取法线重量，则结论：场强的法线重量在电介质介面上是突变的73在上述两种介质分界面处作一矩形回路ABCDA，使两长边(长度为l)分别处于两种介质中，并与界面平行，短边很小，取界面的切向单位矢量t的方向沿界面对上。由静电场的环路定理得上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，电场强度的切向重量不变。即

或E1t=E2t

74取切线重量，则结论：电感应强度的切线重量在电介质介面上是突变的。75例1：半径为R的金属球带电量Q，球外同心的放置相对电容率为

r的电介质球壳，球壳的内、外半径分别为R1和R2。求空间各点的电感应强度D、电场强度E以及电介质球壳表面的极化电荷密度

。解：以球心为中心、以大于R的随意长r为半径作球形高斯面，由高斯定理可求得高斯面在R<r<R1和r>R2的区域，不存在电介质，

r=1，有在R1<r<R2

的区域，存在电介质，所以76电介质的极化强度P

只存在于极化了的电介质球壳中，并且P

的方向与E

相同。P

的大小为也可以根据公式D=

0E+P

来求P，得极化电荷出现在电介质球壳的内、外表面上。在内表面，r=R1

，n指向球心，所以在外表面，r=R2

，n沿径向向外，所以77在内表面上的负极化电荷总量为在外表面上的正极化电荷的总量为可见，由于电介质整体是电中性的，所以电介质球壳内、外表面上的负、正极化电荷量必定相等。78求极化电荷的方法：79+–d1d2S1S2例2：平行板电容器充溢两层厚度为d1和d2的电介质(d=d1+d2)，相对电容率分别为er1和er2。求：1.电介质中的电场；2.电容量。解：设两介质中的电感应强度为D1

和D2，由高斯定理知：介质中的场强：同理得到80板间电势差：以上两个例题的求解，都是绕过了极化电荷的影响，通过电感应强度矢量D进行的，使问题大为简化了。电容器的电容：81探讨：极化电荷与自由电荷的区分a.电介质极化而出现在电介质表面上(或体内)的宏观电荷，就是极化电荷；在外电场的作用下可以自由运动的宏观电荷，称为自由电荷。b.极化电荷是束缚在分子中的电子作微小位移，它的活动范围不能超出分子的线度。而自由电荷是由于原子或分子的电离或金属中的自由电子重新分布引起的，它的活动范围可以是整个物体，也可以在不同的物体之间；

c.极化电荷不能转移到其他物体，而自由电荷可以转移到其他物体。

82§13-4电介质对电容器的影响及电容器的能量一.电介质对电容器的影响1、电量确定电容器极板间的电势差U12相应减小了，为电介质不存