山东大学高等数学上试题及答案

PAGEPAGE5ft东大学(南新区、软件学院)2009～2010年度第一学期高等数学(本科)课程试卷一、填空题(每小题4分，共20分)limx0

.8sinx8sinxx2cos1x3ln(1x)设yesinxsin ,则y' 1x122lim[ke2

exsinx]存在，则常数k .x0

ex1

|x|设f(x)是连续函数，且满足f(x)3x20

f(x)dx2,则f(x) .(5)设函数yy(x)由方程xef(y)eyln2009确定，其中f具有二阶导数，且d2ydx2fd2ydx2二、选择题(每小题4分，共20分)(6)(,内函数y

x 的可去间断点的个数( tanx(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3函数yln(1x2单调增加且其图形为凹的区间是( )(A)(1) (B)(1,0) (C)(0,1) (D)(1)设函数zf(xy)(xy0 0

)处存在对x,y的偏导数，则f'f(f(x,y)f(xx,y)0 0x00

(x,y0

)( )(A) limx0(C) limx0

f(xxfxf(xx,yy)f(x,y)0 0x0 0

2x,y0

)f(x,y)0 0

(B) limf(x,yf(x,y)f(x,y)0 0xx0(D) limxx0曲线xtnt在(0,1处的法线方程( )ytst(A)y2x10 (B)y2x10 (C)y2x10 (D)y2x20曲线y1ln(1渐近线的条数( )x(A)0 (B)1 (C)2 (D)3三、计算、证明题(每小题10分，共60分))求极限lim(exx...1其中是给定的正整)x0 nln(1ax3)，x0xarcsinx(12)设函数f(x) 6 ，x0eaxx2ax1，x0 xsinx 4问为何值时，f(x在x连续；为何值时，x是f(x.13)z3axyx3y3(a0)的极值.(14)求函数y2x36x218x7在1,4上的最大值和最小值.(15)设f(x)在(0,)上有定义，f(x)在x1处可导且f'(1)4,若对所有的x1

0,x有fxxxf(xxfx).2 12 1 2 2 1试证：f(x)在(0,)上可导，并求f'(x).设抛物线yx2BxC与轴有两个交点xaxb(a又f(x)在b上有二阶导数，且f(af(b若曲线yf(x)与yx2BxC在（a内有一个交点，求证：在（a内存在一点f(2.答案（请各位老师在阅卷前先演算一遍，发现错误及时反馈。谢谢！）8 一、填空题(每小题4分，共20分8 (1) (2)y'cosxesinxsin 3 x

11x2esinx1x2x

(3)k2103f''(y)(1f103f''(y)(1f'(y))2x2(1f'(y))3二、选择题(每小题4分，共20分)(6) (D) (7) (C) (8) (B) (9) (A) (10) (D)三、计算、证明题(每小题10分，共60分)(11)令y(exx1， 分)x 2n则lny

1ln(exx). 分x nn12nlimlnylim1ln(exn12nx0 x0limx0

n1

n1 分xx所以原极限e2 分13ax211x2ax3xarcsinx(12)limf(13ax211x2ax3xarcsinxx0 x0 x02xa2xeaxx2ax1x2limf2xa2xeaxx2ax1x2x0 x0 x0limf(x)limf(x)，有2a24a或a2.x0 x0当amf(x6f(0，即f(x在x.x0当a时mf(x)12f(0，则x是f(x的可去间断 1分x0zx

3ay3x20

(13)解方程组z3ax3y2y

3分2zx2又 2zx2

2z

2z

6y 分y2于是在点处有AB29a20.故0,0不是函数的极值点.又在点aa处有AB227a20.又A6a，故所给函数在aa处有极大值

max

a3 分(由于y(x在4上连续，因此必要最大值M和最小值m 分y'6x212x18,令y'得x3,. 6分因为不在区间3是y(x)在x 4 1 因为不在区间3是y(x)在12 12M＝max f(1),f(3),f(4) max29,61,47 29mminf(1),f(3),f61. 10分解令xx由条件fxxxf(xxfx知1 2 12 1 2 2 1f(1)1f(1)1f(1)2f即有f(1)0. 分在x0,xx利用题设条件有f(xx)f(x)x1x ff(xx)f(x)x1x x 1x (1x)f(x)xf(1x)f(x)1xx x 1x 1x

f(xxf(1x) 分f(x)xf(1x)f(x)xf(1x)f(1)xxx，，f(1x)f(1)xf(1x)f(1)xxxf(xx)f(x)xf(x)xf(xx)f(x)xf(x)xf(x)xf(x)xx0 x0f(x)x由导数定义知f(x)在x处可导且有f'(x) f(x)x(16)令辅助函(x)f(x)(x2xC 5分由题设条件可知(x)在b上也有二阶导数且(a)