河南省许昌市2022届高三上学期第一次质量检测(一模) 数学文科试卷

2021-2022（上（科）12560一项是符合题目要求的。1．已知集合M＝{x|lg（x﹣2）≤0}，N＝{x||x﹣1|＜2}，则M∪N＝（ ）A．∅2z在（ ）笫一象限3

B．（2，3） C．（﹣1，3] D．{0，1，2，3}，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点第二象限 C．第三象限 D．第四象限≤0”的否定是“∀x∈R，ex＞0”；命题q：“x＜2022”不必要条件是则下面命题为真命题的是（ ）p∧q4．若，则sin2α＝（ p∧￢q D．￢（p∧q）B． C． D．1对小兔子（一雄一雌），1对小兔子在它出生后的第三个月里，111对初生的小兔子开始，，，这就是著名的斐波那契数n n1 n2 1 2列，它的递推公式是a＝a +a （n≥3，n∈N*），其中a＝1，an n1 n2 1 2- ﹣前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）B． C． D．x，y满足约束条件：A．5

，则z＝﹣3x+y的最小值为（ ）C．-7 D．1将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移φ个单位长度得到了一个奇函数的图象则φ的最小值（ B． C． D．2021617922F载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v（单位：千/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式v＝ωln（1+ ）来表示，其中，单位千米/秒表示它的发动机的喷射速度单位吨表示它装载的燃料质量单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度/秒），则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M之比约为（ ）1A．e1.58 B．e0.58 C．e1.58﹣1 D．e0.58﹣19ABCD﹣A1B1C1D1中，E，PCC，B1D1AEPB所成1角的余弦值为（ ）B． C． D．0已知函数 ，若关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有两个不同的数解，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）11．已知双曲线

B．[1，3） C．（1，3）∪{0} D．[1，3）∪{0}1 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F，F1 于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的心率为（ ）B．2 C． D．312．已知a，b∈（0，e2），且2a＝e2lna，3b＝e3lnb，则（ ）A．1＜b＜a＜e B．1＜a＜b＜e C．e＜a＜b＜e2 D．1＜b＜e＜a＜e2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知＝（1，5），＝（2，m），若⊥，则m＝ ．请写出一个同时满足以下三个条件的函数f（x）：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减；的值域是则f（x）＝ ．已知点P是椭圆C： ＝1上任意一点，直线与两坐标轴分别交于M，N两点，则△PMN面积的最大值为．P﹣ABC4AB2O1，三棱锥P﹣ABC的外接球球心O到底面ABC的距离为2，则点P的轨迹长度为．7017～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第23（一）60分。2021年过去9单位：万元）之间的关系，如表：x123456789y200242270310343384412447479yxyx10附：参考数据：

精确到整数位）＝285．参考公式： ．n 1{an}nS，a＝n 1{an}的通项公式；1 k 若a，a，S 成等比数列1 k

，n∈N*．P﹣ABCDABCD＝ ，BC＝2 ，PDABCD，FC＝2PF．BDF；PD＝DCB﹣PDF的体积．y＝kx+1x2＝2py（p＞0）FA，B两点．求抛物线的方程；FCD以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点，若S ≥2，求kFCDf（x）＝ax2+lnx﹣（2+a）x．f（x）的单调性；f（x）≥﹣ax在区间（1，2）a的取值范围．（二）1022、23第一题计分。4-4]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程上的动点，且动点P满足 ．PC2的参数方程；O为极点，xAC2B[选修4-5：不等式选讲]

（α为参数C1C1异于极23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|2x+3|．a＝2f（x）≥0的解集；f（x）＜2a的取值范围．参考答案12560一项是符合题目要求的。1．已知集合M＝{x|lg（x﹣2）≤0}，N＝{x||x﹣1|＜2}，则M∪N＝（ ）A．∅ B．（2，3） C．（﹣1，3] D．{0，1，2，3}【分析】求出集合M，N，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{x|lg（x﹣2）≤0}＝{x|2＜x≤3}，N＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴M∪N＝{x|﹣1＜x≤3}＝（﹣1，3]．故选：C．已知复数z满在（ ）

，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点笫一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．解：∵ ，∴|2﹣i|＝z（1+i），∴ ＝ ，∴复数z在复平面内所对应的点故选：D．p：“

，位于第四象限．≤0”的否定是“∀x∈R，ex＞0”；命题q：“x＜2022”不必要条件是则下面命题为真命题的是（ ）p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∧q）【分析】根据已知条件判断p，q的真假性以及￢p，￢q的真假性，由逻辑连接词的真假判断规则即可判断所求的答案的正误．解：由题设可知，￢p，￢q为假命题，p，q为真命题，所以p∧q为真命题，故A正确；￢p∧qB不正确；p∧￢qC不正确；￢（p∧q）D若A．

，则sin2α＝（ ）C． D．【分析】由两角差余弦公式展开可得sinα+cosα，平方可求得sin2α．解：因为cos（

）＝ ，所以 （sinα+cosα）＝ ，两边平方，得：（1+sin2α）＝，解得：sin2α＝﹣．故选：D．1对小兔子（一雄一雌），1对小兔子在它出生后的第三个月里，111对初生的小兔子开始，，，这就是著名的斐波那契数n n1 n2 1 2列，它的递推公式是a＝a +a （n≥3，n∈N其中a＝1，an n1 n2 1 2﹣ ﹣前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）B． C． D．【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有有一个偶数，即可得出结论．解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得每三个数中有一个偶数（并且是最后一个），∴2021＝673×3+2，∴该数列的前2021项中有673个偶数，∴从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为P＝ 故选x，y满足约束条件：A．﹣5 B．﹣6

，则z＝﹣3x+y的最小值为（ ）C．﹣7 D．1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由题意实数x，y满足约束条件：的可行域如图的三角形区域，解得A（1，﹣3）当且仅当动直线z＝﹣3x+y经过点A（1，﹣3）时，z＝﹣3x+y将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移φ个单位长度得到了一个奇函数的图象则φ的最小值（ B． C． D．【分析】直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用和余弦型函数的性质的应用求出结果．图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到由于得到的函数为奇函数，所以3φ＝整理得：φ＝

，（k∈Z），当k＝0时，φ的最小值为 ；故选：C．2021617922F载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v（单位：千/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式v＝ωln（1+ ）来表示，其中，单位千米/秒表示它的发动机的喷射速度单位吨表示它装载的燃料质量单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度/秒），则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M之比约为（ ）A．e1.58【分析】由题设得B．e0.58C．e1.58﹣1 D．e0.58﹣1，应用将对数化为指数形式即可得．解：由题设，故选：C．，则 ．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，P分别为CC1，B1D1的中点，则直线AE与PB所成角的余弦值为（ ）B． C． D．0【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与BP所成角的余弦值解：以D为原点，DA，DC，DD1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），P（1，1，2）所以

＝（﹣2，2，1），， ＞＝

＝（﹣1，﹣1，2），∴直线AE与PB所成角的余弦值为 故选已知函数 ，若关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）A．（0，1） B．[1，3） C．（1，3）∪{0} D．[1，3）∪{0}【分析】作出函数f（x）的图像，数形结合即可求得答案．y＝f（x）y＝m如图：由图可得：m∈[1，3）∪{0}，故选：D．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的心率为（ ）B．2 C． D．31 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为y＝xAF2y＝（x﹣c），双曲线方程，解得A|AF|＝n1 （m+n+2c）＝•2c•形AF1F2中，nsinθ＝

，即m+n＝ （θAF2的倾斜角），由tanθ＝，sin2θ+cos2θ＝1，得n＝ ③，化简可得c2﹣ac﹣2a2＝0，即可得出答案．x，可得直线AF2的方程y＝（x﹣c），联立双曲线 ﹣ 可得A（ ， ），2设|AF1|＝m，|AF|＝n，2由三角形的面积的等积法可得，•（m+n+2c）＝•2c• ，化简可得m+n＝ ﹣3a﹣2c①，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a②，在三角形AF1F2中，nsinθ＝ ，（θ为直线AF2的倾斜角），由tanθ＝，sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝ ＝，可得n＝ ③，由①②③化简可得c2﹣ac﹣2a2＝0，（c+a）（c﹣2a）＝0，c＝﹣a（舍e＝＝2，故选：B．12．已知a，b∈（0，e2），且2a＝e2lna，3b＝e3lnb，则（ ）A．1＜b＜a＜e B．1＜a＜b＜e C．e＜a＜b＜e2 D．1＜b＜e＜a＜e2【分析】先构造函数设，则再利用导数判断单调性得到f（e）＜f（a）＜f（b），即可求解．解：∵2a＝e2lna，3b＝e3lnb，∴

＝ ， ＝ ，设f（x）＝

，则f（a）＝g（2），f（b）＝g（3），∵g′（x）＝ ，∴在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴g（1）＜g（2）＜g（3），即f（e）＜f（a）＜f（b），∵f′（x）＝ ，∴在区间（e，e2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在区间（0，e）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，∵a，b∈（0，e2），f（e）＜f（a）＜f（b），∴e＜a＜b＜e2，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知＝（1，5），＝（2，m），若⊥，则m＝﹣ ．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．解：∵＝（1，5），＝（2，m），⊥，∴ ＝2+5m＝0m＝﹣，故答案为：﹣．请写出一个同时满足以下三个条件的函数f（x）：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）f（x）的值域是（1，+∞）．f（x）＝x﹣2+1（答案不唯一）．【分析】利用基本初等函数的性质进行分析，即可得到答案．解：从具有奇偶性，单调性的角度进行分析，从基本初等函数进行考虑，则满足三个条件的函数f（x）可以为：f（x）＝x﹣2+1，f（x）＝x﹣4+1，f（x）＝ +1等．故答案为：x﹣2+1（答案不唯一）．已知点P是椭圆C： ＝1上任意一点，直线与两坐标轴分别交于M，N两点，则△PMN面积的最大值为 3 ．【分析】由直线l：x﹣y+1＝0与两坐标轴分别交于M，N两点，可得（﹣1，0），N（0，1），设椭圆上点P（3cosθ，4cosθ），再结合点到直线的距离公式和面积公式，即可求解．解：∵直线l：x﹣y+1＝0与两坐标轴分别交于M，N两点，∴M（﹣1，0），N（0，1），则点P 到l 的距离d＝ ＝ ＝故 ＝ × ≤ ＝3，当且仅当cos（θ+φ）＝1时，等号成立，故△PMN三棱锥P﹣ABC的体积为4 ，底面三角形AB是边长为2 的正三角形且其中心为O1，三棱锥P﹣ABC的外接球球心O到底面ABC的距离为2，则点P的轨迹长度为4π ．【分析】由已知条件求出三棱锥P﹣ABC的高，结合正三角形ABC的外接圆半径，求出外接球的半径，并判断出顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周，求解截面圆的半径及周长即可．P﹣ABCP﹣ABCh

，底面三角形ABC是边长为 的正三角形，所以 ，故h＝4，又正三角形ABC的外接圆半径为r，则 又三棱锥P﹣ABC的外接球球心O到底面ABC的距离为2，所以三棱锥P﹣ABC的外接球半径

，即 ，又因为顶点P到底面ABC的距离为4，P（ABC和截面圆之间O4﹣2＝2，所以截面圆的半径为 ，P7017～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第23（一）60分。2021年过去9单位：万元）之间的关系，如表：x123456789y200242270310343384412447479yxyx10附：参考数据：

精确到整数位）＝285．参考公式： ．【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．（2）将x＝10代入上式的线性回归方程中，即可求解．解：（1）∵∴

， ，＝17524﹣9×5×343＝2089，∵ ＝285﹣9×52＝60，∴ ，即 ，∴ ．（2）当x＝10时， ，所以预测该公司10月份销售额为518万元．n 1{an}nS，a＝n 1{an}的通项公式；1 k 若a，a，S 成等比数列1 k

，n∈N*．【分析】（1）直接利用利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．n n 1解：（1）{anS，a＝n n 1

，①，当n≥2时，①﹣②得： ，

，②，nna＝n（首项符合通项a＝n．nnn（2）由于a＝n，所以 ，n故 ，k 由于a，a，S k 1 +2所以 ，解得k＝6或﹣1（负值舍去），，所 以 ＝．P﹣ABCDABCD＝ ，BC＝2 ，PDABCD，FC＝2PF．BDF；PD＝DCB﹣PDF的体积．【分析】（1）连接AC交BD于点E，连接EF，证明EF//AP即可；（2）

BDF＝VF

ABD，即可得到三棱锥B﹣PDF的体积．﹣ ﹣ ﹣ ﹣【解答】证明：∵AB//CD，∴ ，∵AD＝BD，∴△DAB为等边三角形在△BDC中，DB＝2， ，即 ，∴CD＝4如图，连接AC交BD于点E，连接EF，∵AB//CD，∴△ABE∽△CDE，∴AE：EC＝AB：CD＝1：2，∵PF：FC＝1：2，∴EF//AP，又AP⊄平面BDF，EF⊂平面BDF，∴AP//平面BDF

＝VB﹣PDFV

＝VA﹣BDFV

＝ ，VF﹣ABDVABCD∴点F到平面ABD的距离为 ，∵ ，∴ ，∴ ．y＝kx+1x2＝2py（p＞0）FA，B两点．求抛物线的方程；FCD以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点，若S ≥2，求k的取值范围．FCD【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点在y轴上，再由直线l过抛物线的焦点，可求焦点坐标，即可求解抛物线方程．（2）由 ＝ ，可得|CD|≥4，联立直线与抛物线程可得，x2﹣4kx﹣4＝0，再结合韦达定理和圆的性质，即可求解．解：（1）F（0，），∵直线y＝kx+1过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F，∴ p＝2，故所求抛物线的方程为x2＝4y．（2）∵ ＝ ，∴|CD|≥4，1 1 2 ∵A（x，y），B（x，y1 1 2 联立直线与抛物线方程 ，化简整理可得，x2﹣4kx﹣4＝0，2 1 2 1 2 1 由韦达定理可得，x1+x＝4k，y+y＝kx+1+kx+1＝k（x+x）+2＝4k2+22 1 2 1 2 1 ∵AB过抛物线的焦点，∴故以AB为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，∴|CD|＝ ＝ ，∴ ，解得k 或k ，故k的取值范围为（﹣∞， ]∪[ ．f（x）＝ax2+lnx﹣（2+a）x．f（x）的单调性；f（x）≥﹣ax在区间（1，2）a的取值范围．性；（2）根据题意，a解：（1）因为

在区间（1，2）上恒成立，构造函数求得其最大值，即可，x＞0，令g（x）＝2ax2﹣（2+a）x+1，当a＝0，f′（x）＜0

，由f′（x）＞0，解得 ，，令g（x）＝0，得 ， ，当a＜0时，f′（x）＞0，解得 ；f′（x）＜0，解得 ，当由当

0＜a＜2．a＝2时，f′（x）≥0恒成立；a＞2

，由＜0，解得 ．a≤0f（x）0＜a＜2在

上单调递增，在， 上单调递增，在

上单调递减；上单调递减；当a＝2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞2时，函数在 ， 上单调递增，在 上单调递减；（2）因为f（x）＝ax2+lnx﹣（2+a）x，f（x）≥﹣ax在区