2018年全国2卷理科数学试卷及答案

201 201 8 年普通高等学校招生全国统一考试201 201 8 年普通高等学校招生全国统一考试、选择题:本题共题目要求的。,12i1. 1-2i3.i52.已知集合6.在^ABC中,全国2卷数学（理科）12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合3i5C.-354.-i

5D.-34i55i2 2一x+v<3,C.5B.8D.43.函数fx=Ab满足，4.已知向量aC.2B.3D.B.D.2b>0）的离心力为后，则其渐近线方程为ab=-1,则a(2a-b)=(y=.3xywZ},则A中元素的个数为（A.y=2x25.双曲线—axwZ,24=1a>0b2C.y」x2x ,xe-0一一2—的图象大致是xA=《x,C5cos—二——2 5'BC=1,AC=5,则AB=()、30C. 29D.2.511 111 111 111 1117.为计算S=1——+-99100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入（8.A.B.C.D.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如3)73.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是（ ）B-114C.B-114C.15D-1189.在长方体ABCD—ABC19.在长方体ABCD—ABC1D1中，AB=BC=1,AA1=43,则异面直线Ad与DB1所成角的余弦值为A.bT6C.D.10.若f(x)=cosx-sinx在I-a,a］是减函数，则a的最大值是（JiB.—2C.D.A.bT6C.D.10.若f(x)=cosx-sinx在I-a,a］是减函数，则a的最大值是（JiB.—2C.D.11.已知f（x）是定义域为（㈤，+8）的奇函数，满足f(1-x尸f(1+x).若f(1)+f(2)+f{3户…+f(50)=()-500C.D.502 212.已知F1,右焦点交点， A是C的左顶点，点P在过A且F12.已知F1,右焦点交点， A是C的左顶点，点P在过A且斜率为立的直线上，△PF1F2为等腰三角形， /F1F2P=120口，则C的离心率为（ ）61B.一2二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分..曲线y=2ln(x+1作点(0,0)处的切线方程为.x2y-5>0.若x,y满足约束条件以一2y+3>0,则2=*+丫的最大值为x-5<0已知sina+cosp=1,cosot+sinp=0,则sin(u+P)=已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为7,SA与圆锥底面所成角为45°,若4SAB8的面积为5尺,则该圆锥的侧面积为.17~21题为必考题。每个试题三、解答题：共7017~21题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(12分)记Sn为等差数列｛4｝的前n项和，已知&=，，S3=—15.(1)求K｝的通项公式；(2)求&,并求&的最小值.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.投资额*20022^320022^3FUTM2007即hS201^2(1102u]I20122O132O142OI5201ft：「；上240220200180160140120%案1为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年数据(时间变量t的值依次为1,2, 7)建立模型①：y=邙0.4+13.5t:根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,，，，,7)建立模型②：y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.(12分)设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点。AB=8.(1)求l的方程；(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.(12分)如图，在三棱锥P_ABC中，AB=BC=2、?2,PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.(1)证明：PO_L平面ABC；(2)若点M在^葭BC上，且二面角M_PA_C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(12分)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明：当x>0时，f(x户1;(2)若f(x取(0,+a尸有一个零点，求a.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一部分计分。【选修4-4:坐标系与参数方程】（10分）,一， x=2cos x=1+lcosa在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为14s.:（9为参数），直线l的参数方程为| *s-na（l为参数）.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2）,求l的斜率.23.【选修4-5:不等式选讲】（10分）设函数fx=5-|x-a|-|x-2|.（1）当a=1时，求不等式f（x户0的解集;（2）若f（x尸1,求a的取值范围.xx〔 x2参考答案部分、选择题123456789101112DABBAABCCACD12.解：：pF2=2c,攻=^3^,,e=l6a2c4二、填空题1TOC\o"1-5"\h\z13.y=2x14. 9 15.- 16. 402二216.设母线长为a，S&BS=：a2sin/ASB=5芯=a2=80,所以OA=(2a1 2：,.12Sfi0=-aC=——a=402二2 2三、填空题17.解：(1)由&=—15可得：3a1+3d=—15,所以d=2,所以4=2n—9(2)S=(a1+an)n=n2_8n,当n=4时,S0取最小值-16n2 n18.解：(1)①y=20.4+13.5*19=226.1,y=99+17.5*9=256.5a(2)对于模型①，当年份为 2016年时，y=-30.4+13.5*17=199.1a对于模型②，当年份为2016年时，y=99+17.5*7=221.5比较而言，②的准确度高，误差较小，所以选择②2=419.解：(1).F(1,0),设直线y=k(x—1),联立」y—x=k2x2—(2k2+4)x+k2=0j=k(x-1)'+2k2+4*'X2 k2 ，=AB|=必+m+2=8,「.k=1,所以直线方程x—y—1=0x1x2=1(2)设AB的中点为N(xN,yN),设圆心为M(a,b),所以圆的半径r=a+1因为所以即:xnyNMN-3,所以MN的方程为y=_1(x—3)+2,即=%/(a-3)2+(b-2)2=v2(x-a)2,由垂径定理：r2(a+12=16+2(a—3)2因为所以即:xnyNMN-3,所以MN的方程为y=_1(x—3)+2,即=%/(a-3)2+(b-2)2=v2(x-a)2,由垂径定理：r2(a+12=16+2(a—3)2解得：a=3或a=11xy一5二0所以圆的方程为：(x—3)2+(y—2)2=16和(x—11)2+(y+6)2=14420.证明：连接BQ因为AB=BC贝UBOLAC,所以BO=2又因为在^PAC中，PA=PC=4所以POhAC,且PO=2j3,因为PO2+OB2=PB2,所以POLBO,从而PO_L平面ABC；(2)以OB为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，设BM=，“BC,B(2,0,0)C(0,2,0)A(0,-2,0)P(0,0,273),设M(x,y,0)，所以BM=(x-2,y,0)，前=(—2,2,0),所以M(2-2-,2',0)设平面pac的法向量为n1=(1,0,0)设平面MPA的法向量为n2=(x1,y1,z1),PAn2=0PA=(0,-2,-2j3),MA=(2%-2,-2-2儿0)所以《„MAn2=0x2_1-九y2Z2--3=.3 p-因为二面角M—PA—C为30：所以cos300=」产3=—得九=2设PC与平面PAM所成角为9,所以sine=PCn2PC〕n221解：(1)当a=1,f(x)=ex—x2,f(x)=ex—2x,f(x)=ex—2x<ln2,f'(x)单调递减，x>ln2,f'(x)单调递增，所以f'(x)之f'(ln2)=2—2ln2a0ex(x-2)所以f(x)在［0,y)是单调递增，所以f(x)之f(0)=1ex(x-2). ，、一e一.e⑶令f(x)=0=下一a=。，令g(x)==一a,g(x)=x x当x<2时，g(x)<0,g(x)单调递减，x>2时，g(x)>0,g(x)单调递增2e所以g(x)=g(2)min=一-a4e2「①当a时，g(X)minA0,g(X)无布点2②当a=J时，g(X)min=0,g(X)只有一个零点42-e③aA一时，g(X)min<042 2(1)曲线C的直角坐标方程： —+-y-=14 16直线L直角坐标方程：y=tanot(X—1)+2⑵联立X2+J=1与⑵联立X2+J=1与『T+lcosa4 16y=2，lsina2 .2 2(4cosa+sina)t+(8cosa+4sina)t—8=0所以t1t2所以t1t2