人教版数学八年级上册同步教学课件份15

八年级上册13.4

课题学习最短路径问题八年级上册13.4课题学习最短路径问题课件说明本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．课件说明本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．课件说明学习目标：课件说明

引言：

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．引入新知引言：引入新知问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久探索新知BA精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的探索新知B追问1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；探索新知追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；探索新知探索新知追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，

AC与CB的和最小（如图）．BAlC探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，（3追问1

对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·追问1对于问题2，如何探索新知问题2如图，点A追问2

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）追问2你能利用轴对称的探索新知问题2如图，点A作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）作法：探索新知问题2如图，点A，B在直线l的探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不探索新知探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）若直线l上任意一点（与点探索新知B·lA·B′CC′探索新知追问2

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的B

1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

A·BMNE人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）

1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。A·BMNECD人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，A·BM运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山运用新知基本思路：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）运用新知基本思路：ABCPQ山河岸大桥人教版数学八年级上归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？人教版数学八谢谢人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）谢谢人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀八年级上册13.4

课题学习最短路径问题八年级上册13.4课题学习最短路径问题课件说明本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．课件说明本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．课件说明学习目标：课件说明

引言：

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．引入新知引言：引入新知问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久探索新知BA精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的探索新知B追问1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；探索新知追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；探索新知探索新知追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，

AC与CB的和最小（如图）．BAlC探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，（3追问1

对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·追问1对于问题2，如何探索新知问题2如图，点A追问2

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）追问2你能利用轴对称的探索新知问题2如图，点A作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）作法：探索新知问题2如图，点A，B在直线l的探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不探索新知探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）若直线l上任意一点（与点探索新知B·lA·B′CC′探索新知追问2

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的B

1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

A·BMNE人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）人教版数学八年级上册同步教学课件份ppt15（PPT优秀课件）

1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC