向量的数量积【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件1

6.2.4向量的数量积1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念.3.会用向量的数量积判定两个平面向量的垂直关系,以及解决夹角、模等问题.6.2.4向量的数量积1

向量的夹角1.定义已知两个①非零

向量a,b,O是平面上的任意一点,作

=a,

=b(如图所示),则②∠AOB=θ

(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

2.平行与垂直当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;当θ=

时,a⊥b.向量的夹角2

平面向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量③|a||b|cosθ

叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=④|a||b|cosθ

.规定:零向量与任一向量的数量积为0.平面向量的数量积3

投影向量1.如图,设a,b是两个非零向量,

=a,

=b,考虑如下的变换:过

的起点A和终点B,分别作

所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到

,则称上述变换为向量a向向量b⑤投影

,

叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.

2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向

量是⑧|a|cosθ

e

.投影向量4

向量数量积的性质

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⑨⊥

b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=

.(4)|a·b|⑩

≤

|a||b|.向量数量积的性质 5

向量数量积的运算律对于向量a,b,c和实数λ,有(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=

a·(λb)

;(3)(a+b)·c=

a·c+b·c

.向量数量积的运算律61.两向量的数量积仍是一个向量.

(

✕)2.设非零向量a与b的夹角为θ,则cosθ>0⇔a·b>0.(√)提示：因为a·b=|a|·|b|·cosθ,|a|>0,|b|>0,所以若cosθ>0,则三者的积大于0,即a·b>0;若a·b>0,则必有cosθ>0,所以本题正确.3.对于任意向量a,b,总有(a·b)2=a2·b2.(

✕

)提示：设两向量的夹角为θ,则(a·b)2=(|a|·|b|·cosθ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,显然只有当cos2θ=1时,a2·b2=|a|2·|b|2成立,否则不成立.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1.两向量的数量积仍是一个向量. (

✕)判断正误，7根据已知条件判断出△ABC的形状,进而求出∠B;| |=| - |=,根据向量的运算律即可求解.数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹

角,两向量夹角的范围是[0,π].将①式变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹

角,两向量夹角的范围是[0,π].2.利用向量的数量积判断三角形的形状时,一般从角的方面来判断,即先利用两个向量的夹角公式求出夹角,再下结论.由题意得, + =2 , - = .同理,可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.≤ ,∴1≤ ≤2,故0≤ -1≤1,故 · 的取值范围是[0,1].提示：两个非零向量a,b满足a⊥b时,a+b和a-b是以a和b为邻边的矩形的两条对角线对应的向量,根据矩形的对角线相等,得|a+b|=|a-b|,故此题正确.(4)|a·b|⑩

≤

|a||b|.确定θ时要注意θ∈[0,π],当cosθ>0时,θ∈;当提示：设两向量的夹角为θ,则(a·b)2=(|a|·|b|·cosθ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,显然只有当cos2θ=又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴ ⊥ .对于任意向量a,b,总有(a·b)2=a2·b2.即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.两个向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角

时,a·b<0且a,b不共线.向量的夹角若两个非零向量a,b满足a⊥b,则|a+b|=|a-b|.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴ ⊥ .(

✕)利用 · = [( + )2-( - )2]求解.=-  +  =- + = ,故选C.即2 · =0,故AM⊥BC.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴ ⊥ .4.若a,b,c为非零向量,|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|.

(

✕

)提示：|a·c|=|a|·|c|·|cosθ|,其中θ是向量a和c的夹角,|b·c|=|b|·|c|·|cosα|,其中α是向量b和c的夹角,而|cosθ|和|cosα|不一定相等,故此题错误.5.若两个非零向量a,b满足a⊥b,则|a+b|=|a-b|.(√)提示：两个非零向量a,b满足a⊥b时,a+b和a-b是以a和b为邻边的矩形的两条对角线对应的向量,根据矩形的对角线相等,得|a+b|=|a-b|,故此题正确.根据已知条件判断出△ABC的形状,进而求出∠B;| |=| 8

向量数量积的运算及性质

1.两向量a与b的数量积是一个实数,不是向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时),其中θ为a与b的夹角.2.两个向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角

时,a·b<0且a,b不共线.3.数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹

角,两向量夹角的范围是[0,π].向量数量积的运算及性质9

4.向量数量积的性质:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,则(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2;(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;(3)cosθ=

.4.向量数量积的性质:10

在等腰直角△ABC中,AB=AC=1,

=3

,2

=

+

,则

·

=

(C)A.-

B.-

C.

D.

思路点拨用

,

表示

,

,然后利用平面向量的运算律及数量积的定义求解.  思路点拨11解析

∵

=3

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

.∵2

=

+

,∴

-

=

-

,即

=

,∴

=

=

+

,∴

=

-

=

-

.由题意得

⊥

,|

|=|

|=1,∴

·

=

·

=-

+

=-

+

=

,故选C.答案

C解析

∵ =3 ,∴ =  = ( - ),答案

12

向量数量积的应用

1.依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立

向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是出现向量的数量积及模等信息的常用手段.利用向量的数量积判断三角形的形状时,一般从角的方面来判断,即先利用两个向量的夹角公式求出夹角,再下结论.2.a·a=a2=|a|2和|a|=

是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积进而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.

此外,根据平面图形求向量的模时,注意利用图形的特征对向量的数量积或夹角等进行转化.向量数量积的应用13

3.求两个非零向量a,b的夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式cosθ=

,根据题中条件分别求出|a|,|b|和a·b.确定θ时要注意θ∈[0,π],当cosθ>0时,θ∈;当cosθ<0时,θ∈

;当cosθ=0时,θ=

.4.设a,b是两个平面向量,则a·b=

[(a+b)2-(a-b)2].该等式的主要作用在于它可以将向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”和“差向量”,再进行计算求解.3.求两个非零向量a,b的夹角θ或其余弦值一14

已知△ABC中,BC的中点为M,(

+

)⊥

,

-

-

=2

·

,

=

,|

|=3,则∠B=

,|

|=

.思路点拨根据已知条件判断出△ABC的形状,进而求出∠B;|

|=|

-

|=,根据向量的运算律即可求解.  思路点拨15,| |=3,则∠B=

,| |=

.解析

∵ + + + =a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),向量数量积的运算及性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则∴ = + =  +  .解析

∵ =3 ,∴ =  = ( - ),若a·b>0,则必有cosθ>0,所以本题正确.a·a=a2=|a|2和|a|= 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.向量数量积的应用理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.特别地,a·a=|a|2或|a|=

 .即4 = ,∴| |=2| |,已知正方形ABCD的边长为2,圆O内切于正方形ABCD,MN为圆O的一条动直径,点P为正方形ABCD边界上任一点,则 · 的取值范围是[0,1].若a,b,c为非零向量,|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|.终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,则称上述变换为向量a向向量b⑤投影

, 叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.∴ · = [( + )2-( - )2]已知△ABC中,BC的中点为M,( + )⊥ , - - =2 · , =又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,则称上述变换为向量a向向量b⑤投影

, 叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.解析

∵ + + + =a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),解析

∵ =3 ,∴ =  = ( - ),对于向量a,b,c和实数λ,有向量数量积的应用提示：两个非零向量a,b满足a⊥b时,a+b和a-b是以a和b为邻边的矩形的两条对角线对应的向量,根据矩形的对角线相等,得|a+b|=|a-b|,故此题正确.解析

由(

+

)⊥

,得(

+

)·

=0,即2

·

=0,故AM⊥BC.由

-

-

=2

·

,得(

+

)2=

,即4

=

,∴|

|=2|

|,∴△ABC为等腰直角三角形,如图所示,∴∠B=∠C=

.

,| |=3,则∠B=

,| |=

16∴|

|=|

|=3,|

|=

|

|=3

,|

|=

|

|=

,|

|=

|

|=1,∴|

|=|

-

|=

=

=

=

.答案

;

∴| |=| |=3,| |= | |=3 ,| |= | 17已知正方形ABCD的边长为2,圆O内切于正方形ABCD,MN为圆O的一条动直径,点P为正方形ABCD边界上任一点,则

·

的取值范围是

[0,1].

思路点拨利用

·

=

[(

+

)2-(

-

)2]求解.已知正方形ABCD的边长为2,圆O内切于正方形ABCD,MN18解析

如图所示.由题意得,

+

=2

,

-

=

.∵圆O为正方形ABCD的内切圆,∴MN=2,∴

·

=

[(

+

)2-(

-

)2]=

[(2

)2-

]=

-1.∵点P为正方形ABCD边界上任一点,O为正方形ABCD内切圆的圆心,∴1≤|

|≤

,∴1≤

≤2,故0≤

-1≤1,故

·

的取值范围是[0,1].答案[0,1]解析

如图所示.19已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量③|a||b|cosθ

叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=④|a||b|cosθ

.对于向量a,b,c和实数λ,有数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹

角,两向量夹角的范围是[0,π].由题意得, + =2 , - = .∵圆O为正方形ABCD的内切圆,∴MN=2,∵圆O为正方形ABCD的内切圆,∴MN=2,又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴ ⊥ .两向量a与b的数量积是一个实数,不是向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时),其中θ为a与b的夹角.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向

量是⑧|a|cosθe

.即4 = ,∴| |=2| |,如图,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和即4 = ,∴| |=2| |,(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;两个向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角

时,a·b<0且a,b不共线.∵点P为正方形ABCD边界上任一点,O为正方形ABCD内切圆的圆心,∴1≤| |∴ =  =  +  ,设非零向量a与b的夹角为θ,则cosθ>0⇔a·b>0.(

✕)根据已知条件判断出△ABC的形状,进而求出∠B;| |=| - |=,根据向量的运算律即可求解.∴ · = [( + )2-( - )2]又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴ ⊥ .两向量的数量积仍是一个向量.=-  +  =- + = ,故选C.解析

∵ + + + =a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴ ∥ ,∴a=-c.

在四边形ABCD中,

=a,

=b,

=c,

=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,a·c=b·d,试判断四边形ABCD的形状.思路点拨将题中的条件进行化简,利用a2=b2⇒|a|=|b|及a⊥b⇔a·b=0得出结论.已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量③|a|20解析

∵

+

+

+

=a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理,可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①-②,得|b|2=|d|2,将①式变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,∴|b|=|d|,|a|=|c|.同理,可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形,∴

∥

,∴a=-c.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴

⊥

.故四边形ABCD为正方形.解析

∵ + + + =a+b+c+d=0,∴a+b=216.2.4向量的数量积1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念.3.会用向量的数量积判定两个平面向量的垂直关系,以及解决夹角、模等问题.6.2.4向量的数量积22

向量的夹角1.定义已知两个①非零

向量a,b,O是平面上的任意一点,作

=a,

=b(如图所示),则②∠AOB=θ

(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

2.平行与垂直当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;当θ=

时,a⊥b.向量的夹角23

平面向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量③|a||b|cosθ

叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=④|a||b|cosθ

.规定:零向量与任一向量的数量积为0.平面向量的数量积24

投影向量1.如图,设a,b是两个非零向量,

=a,

=b,考虑如下的变换:过

的起点A和终点B,分别作

所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到

,则称上述变换为向量a向向量b⑤投影

,

叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.

2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向

量是⑧|a|cosθ

e

.投影向量25

向量数量积的性质

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⑨⊥

b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=

.(4)|a·b|⑩

≤

|a||b|.向量数量积的性质 26

向量数量积的运算律对于向量a,b,c和实数λ,有(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=

a·(λb)

;(3)(a+b)·c=

a·c+b·c

.向量数量积的运算律271.两向量的数量积仍是一个向量.

(

✕)2.设非零向量a与b的夹角为θ,则cosθ>0⇔a·b>0.(√)提示：因为a·b=|a|·|b|·cosθ,|a|>0,|b|>0,所以若cosθ>0,则三者的积大于0,即a·b>0;若a·b>0,则必有cosθ>0,所以本题正确.3.对于任意向量a,b,总有(a·b)2=a2·b2.(

✕

)提示：设两向量的夹角为θ,则(a·b)2=(|a|·|b|·cosθ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,显然只有当cos2θ=1时,a2·b2=|a|2·|b|2成立,否则不成立.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1.两向量的数量积仍是一个向量. (

✕)判断正误，28根据已知条件判断出△ABC的形状,进而求出∠B;| |=| - |=,根据向量的运算律即可求解.数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹

角,两向量夹角的范围是[0,π].将①式变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹

角,两向量夹角的范围是[0,π].2.利用向量的数量积判断三角形的形状时,一般从角的方面来判断,即先利用两个向量的夹角公式求出夹角,再下结论.由题意得, + =2 , - = .同理,可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.≤ ,∴1≤ ≤2,故0≤ -1≤1,故 · 的取值范围是[0,1].提示：两个非零向量a,b满足a⊥b时,a+b和a-b是以a和b为邻边的矩形的两条对角线对应的向量,根据矩形的对角线相等,得|a+b|=|a-b|,故此题正确.(4)|a·b|⑩

≤

|a||b|.确定θ时要注意θ∈[0,π],当cosθ>0时,θ∈;当提示：设两向量的夹角为θ,则(a·b)2=(|a|·|b|·cosθ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,显然只有当cos2θ=又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴ ⊥ .对于任意向量a,b,总有(a·b)2=a2·b2.即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.两个向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角

时,a·b<0且a,b不共线.向量的夹角若两个非零向量a,b满足a⊥b,则|a+b|=|a-b|.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴ ⊥ .(

✕)利用 · = [( + )2-( - )2]求解.=-  +  =- + = ,故选C.即2 · =0,故AM⊥BC.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴ ⊥ .4.若a,b,c为非零向量,|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|.

(

✕

)提示：|a·c|=|a|·|c|·|cosθ|,其中θ是向量a和c的夹角,|b·c|=|b|·|c|·|cosα|,其中α是向量b和c的夹角,而|cosθ|和|cosα|不一定相等,故此题错误.5.若两个非零向量a,b满足a⊥b,则|a+b|=|a-b|.(√)提示：两个非零向量a,b满足a⊥b时,a+b和a-b是以a和b为邻边的矩形的两条对角线对应的向量,根据矩形的对角线相等,得|a+b|=|a-b|,故此题正确.根据已知条件判断出△ABC的形状,进而求出∠B;| |=| 29

向量数量积的运算及性质

1.两向量a与b的数量积是一个实数,不是向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时),其中θ为a与b的夹角.2.两个向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角

时,a·b<0且a,b不共线.3.数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹

角,两向量夹角的范围是[0,π].向量数量积的运算及性质30

4.向量数量积的性质:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,则(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2;(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;(3)cosθ=

.4.向量数量积的性质:31

在等腰直角△ABC中,AB=AC=1,

=3

,2

=

+

,则

·

=

(C)A.-

B.-

C.

D.

思路点拨用

,

表示

,

,然后利用平面向量的运算律及数量积的定义求解.  思路点拨32解析

∵

=3

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

.∵2

=

+

,∴

-

=

-

,即

=

,∴

=

=

+

,∴

=

-

=

-

.由题意得

⊥

,|

|=|

|=1,∴

·

=

·

=-

+

=-

+

=

,故选C.答案

C解析

∵ =3 ,∴ =  = ( - ),答案

33

向量数量积的应用

1.依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立

向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是出现向量的数量积及模等信息的常用手段.利用向量的数量积判断三角形的形状时,一般从角的方面来判断,即先利用两个向量的夹角公式求出夹角,再下结论.2.a·a=a2=|a|2和|a|=

是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积进而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.

此外,根据平面图形求向量的模时,注意利用图形的特征对向量的数量积或夹角等进行转化.向量数量积的应用34

3.求两个非零向量a,b的夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式cosθ=

,根据题中条件分别求出|a|,|b|和a·b.确定θ时要注意θ∈[0,π],当cosθ>0时,θ∈;当cosθ<0时,θ∈

;当cosθ=0时,θ=

.4.设a,b是两个平面向量,则a·b=

[(a+b)2-(a-b)2].该等式的主要作用在于它可以将向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”和“差向量”,再进行计算求解.3.求两个非零向量a,b的夹角θ或其余弦值一35

已知△ABC中,BC的中点为M,(

+

)⊥

,

-

-

=2

·

,

=

,|

|=3,则∠B=

,|

|=

.思路点拨根据已知条件判断出△ABC的形状,进而求出∠B;|

|=|

-

|=,根据向量的运算律即可求解.  思路点拨36,| |=3,则∠B=

,| |=

.解析

∵ + + + =a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),向量数量积的运算及性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则∴ = + =  +  .解析

∵ =3 ,∴ =  = ( - ),若a·b>0,则必有cosθ>0,所以本题正确.a·a=a2=|a|2和|a|= 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.向量数量积的应用理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.特别地,a·a=|a|2或|a|=

 .即4 = ,∴| |=2| |,已知正方形ABCD的边长为2,圆O内切于正方形ABCD,MN为圆O的一条动直径,点P为正方形ABCD边界上任一点,则 · 的取值范围是[0,1].若a,b,c为非零向量,|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|.终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,则称上述变换为向量a向向量b⑤投影

, 叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.∴ · = [( + )2-( - )2]已知△ABC中,BC的中点为M,( + )⊥ , - - =2 · , =又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,则称上述变换为向量a向向量b⑤投影

, 叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.解析

∵ + + + =a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),解析

∵ =3 ,∴ =  = ( - ),对于向量a,b,c和实数λ,有向量数量积的应用提示：两个非零向量a,b满足a⊥b时,a+b和a-b是以a和b为邻边的矩形的两条对角线对应的向量,根据矩形的对角线相等,得|a+b|=|a-b|,故此题正确.解析

由(

+

)⊥

,得(

+

)·

=0,即2

·

=0,故AM⊥BC.由

-

-

=2

·

,得(

+

)2=

,即4

=

,∴|

|=2|

|,∴△ABC为等腰直角三角形,如图所示,∴∠B=∠C=

.

,| |=3,则∠B=

,| |=

37∴|

|=|

|=3,|

|=

|

|=3

,|

|=

|

|=

,|

|=

|

|=1,∴|

|=|

-

|=

=

=

=

.答案

;

∴| |=| |=3,| |= | |=3 ,| |= | 38已知正方形ABCD的边长为2,圆O内切于正方形ABCD,MN为圆O的一条动直径,点P为正方形ABCD边界上任一点,则

·

的取值范围是

[0,1].

思路点拨利用

·

=

[(

+

)2-(

-

)2]求解.已知正方形ABCD的边长为2,圆O内切于正方形ABCD,MN39解析

如图所示.由题意得,

+

=2

,

-

=

.∵圆O为正方形ABCD的内切圆,∴MN=2,∴

·

=

[(

+

)2-(

-

)2]=

[(2

)2-

]=

-1.∵点P为正方形ABCD边界上任一点,O为正方形ABCD内切圆的圆心,∴1≤|

|≤

,∴1≤

≤2,故0≤

-1≤1,故

·