北京大学量子力学期末试题

量子力学习题（三年级用）北京大学物理学院二OO三年第一章绪论1、计算下列情况的（1）能量为波长，指出那种情况要用量子力学处理：；被铀吸收；的慢中子（2）能量为粒子穿过原子；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。第二章波函数与波动力学1、设（1）求归一化常数（2）2、求的几率流密度。3、若求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中为实数）4、一维运动的粒子处于的状态，其中求归一化系数A和粒子动量的几率分布函数。5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证其中6、一维自由运动粒子，在时，波函数为求：第三章一维定态问题1、粒子处于位场中，求：E＞时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场中运动。（1）求粒子的能级和对应的波函数；（2）若粒子处于态，证明：3、若在x轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：这表明S是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数5、求粒子在下列位场中运动的能级6、粒子以动能E入射，受到双势垒作用求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。7、质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态，（1）若弹性系数突然变为，即势场变为随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场基态几率；（2）势场突然变成后，不进行测量，经过一段时间后，势场又恢复成，问取什么值时，粒子仍恢复到原来场的基态。8、设一维谐振子处于基态，求它的，并验证测不准关系。第四章量子力学中的力学量1、若证明：2、设（1）的可微函数，证明（2）3、证明4、如果，（1）证明是厄密算符是厄密算符；（2）求出5、证明：是厄密算符的条件。6、如果与它们的对易子都对易，证明（提示，考虑证明然后积分）7、设是一小量，算符存在，求证8、如是能量的本征函数（），证明从而证明：9、一维谐振子处在基态求：（1）势能的平均值（2）动能的平均值（3）动量的几率分布函数其中10、若(1)(2)(3)11、设粒子处于状态，利用上题结果求12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的随时间的变化为：（注：自由粒子与时间无关）。第五章变量可分离型的波动方程1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。2、对于球方位势试给出有的束缚态条件。3、设氢原子处于状态求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。4、证明5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域6、设的几率。，求粒子的能量本征值。7、设粒子在半径为，高为的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：其中，表示原子实的电荷，，证明，电子在原子实电场中的能量为而为的函数，讨论何时较小，求出小时，公式，并讨论能级的简并度。9、粒子作一维运动，其哈密顿量的能级为的能级，试用定理，求。10、设有两个一维势阱若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为（1）证明（提示：令（2）若粒子的势场中运动，试估计其束缚能总数的上、下限11、证明在规范变换下不变。12、计算氢原子中的三条塞曼线的波长。13．带电粒子在外磁场中运动，如选或试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E及均匀磁场B中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z轴方向，电场方向为X轴方向）。第六章量子力学的矩阵形式及表象理论1、列出下列波函数在动量表象中的表示（1）一维谐振子基态：（2）氢原子基态：2、求一维无限深位阱（0≤≤a）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。3、求在动量表象中角动量的矩阵表示。的空间中的4、在（）表象中，求的可能值及相应几率。5、设，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则（提示：求然后求矩阵元）6、若矩阵A，B，C满足（1）证明：；（2）在A表象中，求B和C矩阵表示。7、设分别写出表象和表象中及的矩阵表示。8、在正交基矢和展开的态空间中，某力学量求在态中测量A的可能值，几率和平均值。第七章自旋1、设为常数，证明。2、若证明3、在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。4、证明恒等式：其中都与对易。5、已知原子的电子填布为，试给出（1）简并度；（2）给出耦合的组态形式；（3）给出耦合的组态形式；6、电子的磁矩算符，电子处于的本征态中，求磁矩。7、对于自旋为的体系，求的本征值和本征态，在具有较小的本征值所相应的态中，测量的几率是多大？8、自旋为的体系，在时处于本征值为的的本征态，将其置于的磁场中，时，求时刻，测量取的几率。9、某个自旋为的体系，磁矩时，处于均匀磁场中，指向方向，再加上一个旋转磁场，其方向和轴垂直。其中已知时，体系处于的本征态，求时，体系的自旋波函数，以及自旋反向所需要的时间。10、有三个全同粒子，可以处于三个单粒子态上，当三种情形下的对称或反对称波函数如何写？11、两个全同费米子体系处于一个二维方势阱中，假设两粒子间无相互作用，求体系最低两上能级的能量和波函数。12、设有两个全同粒子，处于一维谐振子势中，彼此间还有与相互距