哈尔滨工程大学试卷2004级《高等数学下》期末试题

哈尔滨工程大学试卷考试科目:高等数学（下）（04级2005年7月22日）题号一二三四五六总分分数评卷人：名一选择题(3分×5=15分)姓1.设函数u=xyz在点（1，1，2）的某邻域内可微分，则函数u在点（1，1，2）处的梯度为。(A)5(B)i2jk2装(C)3(D)i4jk42.设为z2(x2y2)在xoy面上方部分的曲面，则dS值为。订(A)2214r2dr(B)2d214r2rdrd0000(C)22(2r2)14r2rdr(D)2d214r2rdrd0000：线设L是椭圆22(xy)dx(xy)dy3.4x9y1，方向为逆时针方向，则的号L4x29y2学值为。(A)(B)6(C)3(D)364.设常数，且级数2收敛，则级数(1)nan。0ann2(A)发散n1(B)n1条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与相关5.设y1xexe2x,y2xexex是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为。（）：（A）yy2yxxyy2yx2xex级e2xeBe（C）yy2yex2xex（D）yy2yex2xex班

二填空题(3分×5=15分)1.若f(x,y)=ex+y，则f(x,y)在（0，1）处沿lij的方导游数是。1xy22.二重积分dx2dy=。0e03.设f(x)是周期为2的周期函数,它在[,)上的表达式为f(x)2x,将f(x)张开傅立叶级数a0(ancosnxbnsinnx)，其系数a5。2n14.微分方程x2yxyy0的通解为。5.设f(x)x1，x(1,3]，其傅立叶级数的和函数a0(ancosnxbnsinnx)，问S(7)=。s(x)2n1三计算题(8分×7=56分)1.设uf(x,xy,xyz)，此中f拥有连续二阶偏导数，试求2u，2u，2u。y2xzyz第1页共14页第2页共14页2.计算积分(x3z2)dydz(y3x2)dzdx(z3y2)dxdy，此中4.计算三重积分zx2y2dv,此中为圆锥面zx2y2和平面z1所是上半球面围成的闭地区。z1x2y2的上侧。：名姓装订：线5.f(x)=arctanx2张开为x的幂级数，并指出收敛范围。(xyz1)2dS，此中是球面x2y2z2R2。3.计算号学：级班第3页共14页第4页共14页7.设函数(x)连续，且知足(x)exxxxdyydxt(t)dtx(t)dt，求(x)。6.计算曲线积分，此中L是不自订交且可是原点的圆滑闭曲线，00L9x216y2方向为顺时针方向。：名姓装订线：号学：级班第5页共14页第6页共14页四应用题(10分)求原点到曲面(xy)2z21的最短距离。：名姓装订线：号学：级班

五证明题(4分)已知函数f(x)在[0,)上可导，f(0)1,f(x)知足等式f(x)f(x)1xf(t)dt0，求f(x)；并证明exf(x)1,(x0)。10x第7页共14页第8页共14页附带题（不计入期末总成绩，参加评比校长奖学金的同学必然作此附带题）1．求级数(1)n(2n1)(2n3)(2n5)31的和。：n12n(2n)(2n2)(2n4)421名姓装订线：号学：级班

2．设D{(x,y)x2y22,x0,y0}，[1x2y2]表示不超出1x2y2的最大整数.计算二重积分xy[1x2y2]dxdy.D第9页共14页第10页共14页高等数学（下）答案及评分标准（2005-7-22）一选择题(3分×5)。解答：D3.解答：。4.解答：C.5.解答：A。1.解答：B2.D二填空题(3分×5)1：1.解答：0。2．解答：e23.解答：0。名4.解答：yC25.姓解答：。x三计算题(8分×7)装1.解答：一阶导数’’’’’’’’(2分)2u=x2f2x2zfx2z2f’’’’’’’’(2分)

4.解答：zx22112zdz’’’’’’’’(5分)y2dvddrr00r12(12)dr2’’’’’’’’(3分)0rr。15解答：f(x)=2x=2x(1)nx4n,’’’’’’’’分x4(4)1n0f(x)=c+2x4n2,f(0)arctan0=0，’’’’’’’’(2分)n04n2f(x)=22x4n2,x(1,1)。端点条件收敛’’’’’’’’(2分)n04n6.解答：QP,’’’’’’’’(2分)xy（1）若原点不在L所围的闭地区内部，则由格林公式xdyydx0L9x216y2’’’’’’’’(2分)订y22223332u=xyf31xy2f32xy2zf33yf3’’’’’’’’(2分)线xz：2u=x2yf32x2yzf33xf3。’’’’’’’’(2分)号yz学2.解答：补面:z0，方向指向下侧，’’’’’’’’分1(2)(x3z2)dydz(y3x2)dzdx(z3y2)dxdy3(x2y2z2)dvy2dxdy’’’’’’’’(2分)x2y21

（2）若原点在L所围的闭地区内部，补椭圆时针方向，则xdyydx01xdyydxL9x216y22Llll7.解答：求导两次得(x)(x)ex，而且ex通解(x)C1sinxC2cosx2所求函数(x)1sinx1cosx1ex。222

l:9x216y22，l的方向为逆’’’’’’’’(2分)2d。’’’’’’’’(2分)2Dl61,(0)1’’’’’’’’(2分)’’’’’’(5分)’’’’’’’’(1分)2dsin1r4dr2sin2d13dr29’’’’’’’’(4分)32d0r0000203.(xyz1)2dS解答：：(x2y2z22xy2yz2zx2x2y2z1)dS’’’’’’’’(2分)级(R21)dS4R2(R21)。’’’’’’’’(6分)班

四应用题(10分)解答：问题可化为求d2=x2+y2+z2在条件（x-y）2-z2=1下的最小值’’’’’’’’(2分)作F（x,y,z,）=x22222+y+z+(xy)z1’’’’’’’’分(3)求得坚固点（11,0）’’’’’’’’(4分)22第11页共14页第12页共14页此时d=2。’’’’’’’’(1分)2五证明题(4分)1.证明：（1）由已知得(x1)(f(x)f(x))x0f(t)dt，0由于f(x)在[0,)上二阶导数存在，因此f(x)(11)f(x)0’’’’’’’’(1分)x1解得f(x)Cexf(0)1得C1x，由f(0)：1名故f(x)ex。’’’’’’’’(1分)姓x1x（2）当