物流管理定量方法

物流管理定量分析方法主讲：詹益钊第一章物资调运方案的表上作业法考核知识点：不平衡运输问题化为平衡运输问题，初始调运方案的编制，物资调运方案的优化。考核要求：掌握将不平衡运输问题转化为平衡运输问题的方法。熟练掌握编制初始调运方案的最小元素法。理解闭回路、检验数等概念。熟练掌握求最优调运方案的优化方法。

1.1物资调运的表上作业法

物资调运问题例1现有三个产地A、B、C供应某种商品，供应量分别为50吨、30吨、70吨；有四个销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，需求量分别为30吨、60吨、20吨、40吨。产地A到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为15元、18元、19元、13元；产地B到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为20元、14元、15元、17元；产地C到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为25元、16元、17元、22元。如下表所示。如何求出最优调运方案？

运输平衡表与运价表销地产地ABC需求量ⅠⅡⅢⅣ供应量ⅠⅡⅢⅣ30602040150503070151819132014151725161722

我们将直接在运输平衡表与运价表上编制运输方案并进行计算、调整，以确定最优调运方案的方法称为表上作业法。

最小元素法编制初始调运方案

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最小元素法编制初始调运方案

最小元素法编制初始调运方案

最小元素法编制初始调运方案

最小元素法编制初始调运方案

最小元素法编制初始调运运方案

最小元素法编制初始调运运方案

最小元素法编制初始调运运方案

最小元素法编制初始调运运方案

最小元素法编制初始调运运方案

最小元素法编制初始调运运方案

最小元素法编制初始调运运方案

最小元素法编制初始调运运方案

最小元素法编制初始调运运方案

运输调运方案案的优化－－闭回路、检验验数

闭回路：只有有一个空格，，其他拐弯处处都有数字

运输调运方案案的优化－－闭回路、检验验数

运输调运方案案的优化－－闭回路、检验验数

运输调运方案案的优化－－闭回路、检验验数

运输调运方案案的优化－－闭回路、检验验数

运输调运方案案的优化－－闭回路、检验验数

1.3.2检检验数及及调运方案调调整的原则检验数的概念念对于某调运方方案，若某空空格增加单位位运量，则此此空格的闭回回路的奇数号号拐弯处均须须增加单位运运量，偶数号号拐弯处均须须减少单位运运量，总运费费的改变量为为奇数号拐弯弯处的运价和和与偶数号拐拐弯处的运价价和的差。称称此总运费的的改变量为检检验数。当且且仅当检验数数为负数时，，在此空格增增加运量能使使总运费减少少。如果检验数为为大于等于零零，则不需做做调整。检验数＝第1个拐弯处的的单位运价－－第2个拐弯弯处的单位运运价＋第3个拐弯弯处的单位运运价－第4个个拐弯处的单单位运价＋…

若某个空格检检验数为正数数时，该空格格增加运输量量将会增加运运输总费用，，所以不能在在此处安排运运输量若某某空格检验数数为负数时，，在该空格安安排运输量，，就会降低运运输总费用，，所以应在此此空格调入运运输量，而且且安排运输量量越多，运输输总费用下降降越多。但最最多只能安排排该空格闭回回路上偶数号号拐弯处运量量的最小值（（即偶数号拐拐弯处能调出出的最大运量量）。最优调运方案案的判别标准准若某一物资调调运方案的所所有空格的检检验数均非负负，则该物资资调运方案最最优，此时的的运输总费用用最低。小结：检验数实际上上就是所有奇奇数号拐弯处处单位运价总总和减去所有有偶数号拐弯弯处单位运价总和。。调运方案调整整的原则。最优调运方案案的判别标准准。调整运输方案案的原则1.3.3调调运方案案的优化物资调运方案案优化的思路路(1)按行列列顺序的空格格找闭回路，，计算检验数数。(2)若检验验数非负，则则对下一个空空格继续找闭闭回路，计算算检验数。依依此类推。若若所有检验数数均非负，则则该方案为最最优调运方案案，此时的运运输总费用最最低。(3)若出现某检检验数小于于0，则开开始在该空空格安排运运输量（其其它空格不不必再考虑虑了）。该该运输量取取闭回路中中偶数号拐拐弯处运输输量的最小小值（称为为调整量）。(4)进行行优化调整整：调整在在闭回路中中进行，所所有奇数号号拐弯处的的运输量均均加上调整整量，所有有偶数号拐拐弯处的运运输量均减减去调整量量，并取差差值为0的的一个拐弯弯处作为空空格（差值值为0的拐拐弯处不只只一个时，，称为退化情形，此时时，可任取取一个拐弯弯处作为空空格，其他他拐弯处的的差值0应应看作运输输量），得得到一个新新的调运方方案。(5)对新新调运方案案，重复(1)～(4)。注意：对于于退化情形形，若所有有检验数为为负的空格格的闭回路路的偶数号号拐弯处都都包含有运运量为0的的格，则对对应的闭回回路无运量量调出，此此方案即为为最优。例如例1中初初始始调调运运方方案案的的优优化化表1-25运输输平平衡衡表表与与运运价价表表调整整量量：：q＝min(30，，20)＝＝20初始始调调运运方方案案的的检检验验数数：：λ12＝＝18－－16＋＋25－－15＝＝12λ13＝＝19－－17＋＋25－－15＝＝12λ21＝＝20－－14＋＋16－－25＝＝－－3＜＜0物资资调调运运方方案案的的优优化化表1-26运输输平平衡衡表表与与运运价价表表例1中中第第二二调调运运方方案案的的优优化化表1-27运输输平平衡衡表表与与运运价价表表调整整量量：：q＝min(20，，40)＝＝20第二二个个方方案案的的检检验验数数：：l12＝18－14＋20－15＝9l13＝19－17＋16－14＋20－15＝9l23＝15－17＋16－14＝0l24＝17－20＋15－13＝－1＜0物资调运运方案的的优化表1-27运输平衡衡表与运运价表调整量：：q＝min(20，40)＝20物资调运运方案的的优化表1-28运输平衡衡表与运运价表第三个方方案的检检验数：：l12＝18－13＋17－14＝8l13＝19－17＋16－14＋17－13＝8l21＝20－15＋13－17＝1l23＝15－17＋16－14＝0l31＝25－15＋13－17＋14－16＝4l34＝22－16＋14－17＝3例1中最最优方案案与最低低运输总总费用minS＝30××15＋＋20××13＋＋10××14＋20××17＋＋50××16＋＋20××17＝＝2330（（元）结论：：任何何平衡衡运输输问题题必有有最优优调运运方案案物资调调运问问题不平衡衡运输输问题题平衡运运输问问题本章知知识小小结用最小小元素素法编编制初初始调调运方方案按顺序序的空空格找找闭回回路，，求检检验数数所有检检验数数非负负出现负负检验验数最有调调运方方案，，计算算最低低运输输费用用优化调调整，，得新新方案案物流管管理定定量分分析方方法第二章章资资源源合理理利用用的线线性规规划法法2.1资资源源合理理利用用的线线性规规划模模型物资调运问问题例1现有三个产产地A，B，C供应某种商商品，供应应量分别为为50吨、30吨、70吨；有四个个销地Ⅰ，，Ⅱ，Ⅲ，，Ⅳ，需求求量分别为为30吨、60吨、20吨、40吨。产地地A到销地ⅠⅠ，Ⅱ，，Ⅲ，ⅣⅣ的每吨吨商品运运价分别别为15元、18元、19元、13元；产地地B到销地ⅠⅠ，Ⅱ，，Ⅲ，ⅣⅣ的每吨吨商品运运价分别别为20元、14元、15元、17元；产地地C到销地ⅠⅠ，Ⅱ，，Ⅲ，ⅣⅣ的每吨吨商品运运价分别别为25元、16元、17元、22元。如如何求出出最优调调运方案案？试建建立线性性规划模模型。列表分析析题意上页<<>>下页页2.1资资源源合合理理利利用用的的线线性性规规划划模模型型(2)确确定定目目标标函函数数:目标标函函数数就就是是使使问问题题达达到到最最大大值值或或最最小小值值的的函函数数。。设运运输输总总费费用用为为S，故故目目标标函函数数为为：：minS＝15x11＋18x12＋19x13＋13x14＋20x21＋14x22＋15x23＋17x24＋25x31＋16x32＋17x33＋22x34其中中minS表示示使使运运输输总总费费用用S最小小。。(3)考考虑虑约约束束条条件件:约束束条条件件就就是是各各种种资资源源的的限限制制条条件件及及变变量量非非负负限限制制。。建立立例例1的的线线性性规规划划模模型型(1)引进变变量设产地A运往往销地Ⅰ，ⅡⅡ，Ⅲ，Ⅳ的的运输量分别别为x11，x12，x13，x14；产地B运往往销地Ⅰ，ⅡⅡ，Ⅲ，Ⅳ的的运输量分别别为x21，x22，x23，x24；产地C运往往销地Ⅰ，ⅡⅡ，Ⅲ，Ⅳ的的运输量分别别为x31，x32，x33，x34。

产地A的总运出量应应等于其供应应量，即x11＋x12＋x13＋x14＝50同理，对产地地B和C，有x21＋x22＋x23＋x24＝30x31＋x32＋x33＋x34＝70运进销地Ⅰ的的运输量应等等于其需求量量，即x11＋x21＋x31＝30同理，对销地地Ⅱ，Ⅲ，ⅣⅣ，有x12＋x22＋x32＝60x13＋x23＋x33＝20x14＋x24＋x34＝40运输量应非负负，故约束条件为：：(4)写出线线性规划问题题。

物流管理中的的线性规划问问题例2某物流企业计计划生产A，B两种产品，已已知生产A产品1公斤需要劳动动力7工时，原料甲甲3公斤，电力2度；生产B产品1公斤需要劳动动力10工时，原料甲甲2公斤，电力5度。在一个个生产周期内内，企业能够够使用的劳动动力最多6300工时，原料甲甲2124公斤，电力2700度。又已知生生产1公斤A，B产品的利润分分别为10元和9元。试建立能能获得最大利利润的线性规规模型。建立例2的的线性规划模模型解(1)设置变变量：设生产产A产品x1公斤，，生产产B产产品x2公斤。。(2)确定定目标标函数数：maxS＝10x1＋9x2(3)考虑虑约束束条件件：生生产A产品x1公斤需需要劳劳动力力7x1工时，，生产产B产品x2公斤需需要劳劳动力力10x2工时，，生产产A，B产品所所需劳劳动力力总和和不能能超过过企业业现有有劳动动力，，即有有7x1＋10x2≤6300同理，，对原原料甲甲及电电力，，有3x1＋2x2≤21242x1＋5x2≤2700产品产产量应应非负负，故故约束条条件为为：(4)写出线线性规规划模模型。。变量，，就是是待确确定的的未知知数，，也称称决策策变量量。变量一一般要要求非非负。目标函函数:某个函函数要要达到到最大大值或或最小小值，，也即即问题题要实实现的的目标标，就就是目目标函函数。。目标是是求最最大值值的，，用max；求求最小小值的的，用用min。。约束条条件，，就是变量所所要满足的的各项限制制，包括变变量的非负负限制。它是一组包包含若干未未知数的线线性不等式式或线性等等式。资源源包括人力力、资金、、设备、原原材料、电电力等。要要根据各种种资源的限限制，确定定取等式或或不等式。。将目标函数数与约束条条件写在一一起，就是是线性规划划模型。我们通常将将目标函数数写在前面面，约束条条件写在目目标函数的的后面。•设置变量量；•确定目标标函数；；•考虑约束束条件；；•写出线性性规划模模型。2.2矩矩阵的的概念整存整取取定期储储蓄存期三个月六个月一年二年年利率(%)2.884.145.675.94项

目1月份2月份3月份天然气m3252426电(kw·h)135125130水m3889北京市居民超超表纪录卡

学生成绩表

xyO姓名数学语文英语张建中808280林

勇758475王建明858083崔

也869090王

宾919095上面这些长方方形表，抽象象出来就是我我们要讲的矩矩阵.Y=ax

这里对矩阵作作一些说明：矩阵一般用大大写英文字母母表示：如等横向称行，竖竖向称列.——每一个位置上上的数都是A的元素5是矩阵定义请看教材第2章定义2.1.

矩阵，如1是的第2行第2列的元素，，记为：的第1行第4列的元素，，记为：补充内容：特别地，当时，矩阵只有有一行，即时，矩阵只有有一列，即时，矩阵的行行列数相同，，即当称为行矩阵称为列矩阵当称为阶矩阵（或阶方阵）在n阶矩阵中中，从左上角角到右下角的的对角线称为为主对角线，，从右上角到到左下角的对对角线称为次次对角线.行列数相同的的矩阵称为同同型矩阵.即即：两个矩矩阵的行数相相等、列数也也相等时。中各个元素的的前面都添加加一个负号得得到的矩阵称称为负矩阵，在矩阵记为例如，这里是的负矩阵零矩阵所有元素都都为零的矩矩阵。例如如单位矩阵：主对角线上上的元素全全是1，其其余元素全全是0的阶矩阵称为单位或特殊矩阵矩阵，记作作数量矩阵：：主对角线上上的元素为为同一个数数，其余元元素全是0的阶矩阵称为数量矩矩阵，记作作对角矩阵：：主对角线以以外的元素素全为零的的方阵称为为对角矩阵阵，即有时也记作作或三角矩阵：：主对角线上上方的元素素全为零的的方阵称为为下三角矩阵阵，它形如主对角线下下方的元素素全为零的的方阵称为为上三角矩阵阵，它形如上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.对称矩阵：若矩阵A＝(aij)是n阶方阵，且且满足aij＝aji，对任意i和j均成立，则则称A为对称矩阵阵。矩阵加法用记为的和，即规定如下同形，于是是同形.（1）(2)对对应元素分分别相加.例：A=2-14136B=053-211求A+BA+B=2+0-1+54+31-23+16+1=247-147矩阵的数量量乘法，则同形，即中每个素都都乘以特别地：注意：中定义为，，等式左边边是数0与与矩阵的乘积，而而右边是零零矩阵.(1)和(2)

其中={，1．仅当时，才能做做乘法2．若，则——3．若，则

(矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义2.5)

}(行乘列法法则)设将第一行元素素写在第一列处，，第二行元素素写在第二列处，，的转置矩阵阵.矩阵的转置置这样就可得得到逆矩阵可表为可逆矩阵，如果存在在一个矩阵阵，使得则称是可逆矩阵阵，称是的逆矩阵，，记为（1）设矩阵例2.1某公公司司准准备备投投资资200万元元兴兴办办A，B两种种第第三三产产业业，，以以解解决决公公司司800名剩剩余余劳劳动动力力的的工工作作安安排排问问题题；；经经调调查查分分析析后后得得知知，，上上述述A种第第三三产产业业每每万万元元产产值值需需要要劳劳动动力力5人、、资资金金2.50万元元，，可可得得利利润润0.50万元元；；B种第第三三产产业业每每万万元元产产值值需需要要劳劳动动力力7.5人、、资资金金1.25万元元，，可可得得利利润润0.65万元元.问问如如何何分分配配资资金金给给这这两两种种第第三三产产业业，，使使公公司司既既能能解解决决800名剩剩余余劳劳动动力力的的安安排排问问题题，，又又能能使使投投资资所所得得的的利利润润最最大大？？试试写写出出线线性性规规划划模模型型（（不不要要求求求求解解））.【分分析析】】解：：(1)确定定变变量量：：设投资A种第三三产业x1万元产值值，投资资B种第第三产业业x2万元产值值.显然，x1≥0，x2≥0.(2)确定目标标函数：：设利润润为S，则目标标函数为为：maxS＝0.50x1＋0.65x2(3)列出各种种资源的的限制：：劳动力限限制：A种第三三产业每每万元产产值需要要劳动力力5人，，故A种种第三产产业共需需要劳动力力5x1人；同理理，B种种第三产产业共需需要劳动动力7.5x2人.800名名剩余劳劳动力都都需要安排，，故5x1＋7.5x2＝800资金限制制：A种种第三产产业共需需要资金金2.50x1万元，B种第三三产业共共需要资资金1.25x2万元，故故2.50x1＋1.25x2≤200(4)写出线性性规划模模型：例2.2设求：(1)2BT－A；(2)AB解：2BT2BT－AAB例2.3写出用MATLAB软件求矩矩阵A＝的逆矩阵阵的命令令语句.解：用MATLAB软件件求A的逆矩矩阵的的命令令语句句为：：>>A=[3-45;2-31;3-5-1];>>inv(A)例2.4写出用用MATLAB软件将将线性性方程程组的增广广矩阵阵化为为行简简化阶阶梯形形矩阵阵的命命令语语句.解：用MATLAB软件件将增增广矩矩阵化化为行行简化化阶梯梯形矩矩阵的的命令令语句句为：：>>A=[12-14;2-111;17-411];>>B=[2;1;5];>>D=[AB];>>rref(D)例2.5写出出用用MATLAB软件件解解下下列列线线性性规规划划问问题题的的命命令令语语句句：：

解：用MATLAB软件解上述问题的命令语句为：>>C=-[3

2

0.5];>>A=[2

1

0;

0

2

4];>>B=[30

50];>>LB=[0

0

0];>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

物流流管管理理定定量量分分析析方方法法第三三章章经济济批批量量问问题题相相关关的的概概念念库存存：指处处于于储储存存状状态态的的物物品品或或商商品品。。经济济批批量量模模型型：通过过平平衡衡进进货货采采购购成成本本和和库库存存保保管管成成本本，，确确定定一一个个最最佳佳的的订订货货数数量量来来实实现现最最低低总总成成本本的的方方法法。。经济济批批量量（或或最优优订订货货批批量量）：：是使使年年库库存存成成本本与与订订货货成成本本之之和和最最小小的的订订货货批批量量。。经济济批批量量问问题题例1设某某公公司司按按年年度度计计划划需需要要某某种种物物资资D单位位，，已已知知该该物物资资每每单单位位每每年年库库存存费费为为a元，，每每次次订订货货费费为为b元，，为为了了节节省省总总成成本本，，分分批批订订货货，，假假定定公公司司对对这这种种物物资资的的使使用用是是均均匀匀的的，，如如何何求求订订货货与与库库存存总总成成本本最最小小的的订订货货批批量量。。年平平均均库库存存量量设订订货货批批量量为为q单位位，，由由假假定定，，平平均均库库存存量量为为q/2，因为每每单位该物资资每年库存费费为a元，则：年库存成本＝(q/2)×a。可见，库存存成本与订货货批量成正比比，如图1。。年库存成本年订货成本该公司每年需需要该物资D单位，即年订订货次数为D/q，因为每次订订货费为b元，则：年订货成本＝(D/q)×b。可见，订货货成本与订货货批量成反比比，如图2。。年订货与库存存总成本年订货与库存总成本C(q)由年库存成本本与年订货成成本组成，即即如图3。其中中q*为经济批量。。小结：年库存成本；；年订货成本；；年订货与库存存总成本。常量——只取取固定值的量量这门课程中讨讨论的量在研研究问题的过过程中不是保保持不变的．．如圆的面积积与半径的关关系：S=π考虑半径r可以变化的过过程．面积和和半径叫做变变量．变量——可取取不同值的量量变域——变量量的取值范围围函数我们考虑问题题的过程中，，不仅是一个个变量，可能能有几个变量量．比如两个个变量，要研研究的是两个个变量之间有有什么关系，，什么性质．．函数就是变变量之间确定定的对应关系系．比如股市市中的股指曲曲线，就是时时间与股票指指数之间的对对应关系．又又如银行中的的利率表存期六个月一年二年三年五年年利率(%)5.407.477.928.289.00函数定义设x,y是两个变量，，x的变域为D，如果存在一一个对应规则则f，使得对D内的每一个值值x都有唯一的y值与x对应，则这个个对应规则f称为定义在集集合D上的一个函数，并将由对应应规则f所确定的x与y之间的对应关关系，记为称x为自变量，y为因变量或函函数值，D为定义域．我们要研究的的是如何发现现和确定变量量之间的对应应关系．集合称为函数的值域．1.常数函数：y=c．这个函数在在它的定义域域中的取值始始终是一个常常数，它在直直角坐标系中中的图形就是是一条水平线线．2.幂函数：y=xα，(α∈R)．以x为底，指数是是一个常数．．当α=1时就是是y=x，它的图形是是过原点且平平分一、三象象限的直线；；当α=2时就是y=x2，它的图形是是过原点且开开口向上的抛抛物线；当α=3时就是y=x3，它的图形是是过原点的立立方曲线．3.指数函数：y=ax，(a>0，a≠1)．底数数是常数，指指数是变量．．例如y=ex，y=()x．所有指数数函数的图形形都过(0,1)点，当a>1时，函数数单调增加，，当a<1基本初等函数数时，函数单调调减少．4.对数函数：y=logax，(a>0，a≠1)．以a为底的x的对数．例如如y=lnx，y=log2x，y=．所所有对数函函数的图形都都过(1,0)点，当a>1时，函数数单调增加；；当a<1时，函数数单调减少．．5.三角函数：正弦函数：y=sinx．余弦函数：y=cosx．例1设国际航空信信件的邮资与重量的关系是求解：用3替代，由由第一个关系系式表示，得得到同样可以得到到．用20替代，，由第二个关关系式表示，，得到分段函数经济分析中常常见的三种函函数：第一种种叫做成本函数，第二种叫做做收入函数，第三种叫做做利润函数．我们先介绍绍成本函数．．一种产品的成成本可以分为为两部分：固固定成成本,比比如，生产过过程中的设备备投资，或使使用的工具，，不管生产产产品与否，这这些费用都是是要有的，它它是不随产量量而变化的，，这种成本称称为固定成本．变动成本，，比如每每一件产品的的原材料，这这些费用依赖赖于产品的数数量，这种成成本称为变动成本．总成本就是固定成本本加上变动成成本C=+经济函数成本应与产品品的产量有关关，这种函数数表示为C(q)=c0+C１(q)这就是成本函函数．其中总总成本C(q)是产量q的函数数，c0与产量量无关关，变变动成成本C１(q)也是是产量量q的函数数．我们引引入平均成成本的概念念总成本本除以以产量量q，就是是产量量为q时的平平均成成本，，用来表表示示．．1、、总总成成本本函函数数2、利润润函数对于运输输企业：：利润=运输收收入-总总成本设运输某某商品q单位的的价格为为p，则则收入函函数为R(q)=pq我们将需需求量q表示为为p的函函数，称称为需求函数数设成本函函数为C(q)，则则利润函数数为：L(q)=R(q)-C(q)设某物流流公司运运输q件件某商品品的固定定成本为为1000元，，单位变变动成本本为20元/件，该该商品的的需求函函数为q=200-5p，求求利润函函数。解：成本本函数为为：C(q)=1000+20q收入函数数为：R(q)=pq=q(40-0.2q)则利润函函数为:L(q)=R(q)-C(q)=q(40-0.2q)-(1000+20q)=极限的概概念研究函数数是利用用极限的的方法来来进行；；极限是是一个变变量在变变化过程程中的变变化趋势势.例例1圆的的周长的的求法.早在公公元263年，，古代数数学家刘刘徽用圆圆内接正正四边形形、正五五边形、、正八边边形、正正十六边边形………等的边边长近似似圆的周周长，显显然随着着边数的的增加，，正多边边形的边边长将无无限趋近近圆的周周长.例2讨讨论当时，的变化趋趋势.导数例3讨讨论一个个定长的的棒，每每天截去去一半，，随着天天数的增增加，棒棒长的变变化趋势势.“一尺之之棰，日日截其半半，万世世不竭””——庄庄子•天天下函数极限限概念：：（P151定定义3.7）或记为：导数概念念三个引例例边际成本本问题瞬时速率率问题曲线切线线问题引例1：边际成本本问题—总产量量（当自变变量产生生改变量量，相应应的函数数也产生生改变量量）已知C—总成本本，导数（成本平平均变化化率）（边际成本）导数的定定义：（P158定定义3.10））导数公式式*导数的加加法法则则在点处可导，，则在点处可导亦亦可（为常数））设导，且导数的乘乘法法则则导数的除除法法则则边际概念导数在经济济分析中的的应用1.边际际成本在引进导数数概念时，，我们已经经接触过边边际成本概概念，譬如如说在连续续化生产的的工厂中，，可以知道道总成本与与总产量之之间的函数数关系，由由此可以求求出平均成成本，即总总成本除总总产量就是是平均成本本．同时又又引进了边边际成本的的概念，就就是总产量量达到一定定时刻，再再增加生产产一个单位位产量时，，单位成本本增加量（（成本函数数的导数就就是边际成成本）。——产量——成本函数数——平均成本本函数——产量为时的边际成本本函数，用MC表示时，再生产一一个单位产品品所增加的成成本.经济意义：产产量为2、边际收入入q运输量量R(q)收入函函数收入的的平均均变化化率边际收收入（（边际际收入入是收收入函函数关关于运运输量量q的的导数数）。。用MR表表示3、边边际利利润q运输量量L(q)利润函函数边际利利润，，用ML表表示因为利利润函函数等等于收收入函函数减减去总总成本本函数数，即即L(q)=R(q)-C(q),两两边边求求导导得得:ML(q)=MR(q)-MC(q)

单调性判别

什么叫函数的单调性？函数的单调性:一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．

先考察y=，，它的图图形是抛抛物线线线在x>0处处，函函数单调调上升；；在x<0处处，函函数单调调下降．．当在x>0这一边的的每一点点处都有有切线时时，切线线的特征征是：切切线与x轴正向的的夹角一一定小于于90°．当在x<0这一边的的每一点点处都有有切线时时，切线线的特征征是：切线线与x轴正向的的夹角一一定大于于90°．定理设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，，在区间间(a,b)内可导.(1)如果x(a,b)时，(x)>0，则f(x)在(a,b)上单调增增加；(2)如果x(a,b)时，(x)<0，则f(x)在(a,b)上单调减减少．意义：：利用用导数数的符符号判判别函函数的的单调调性．．说明：闭区间(a,b)换成其它区区间，如，(-,b)，(a,+使定理结论论成立的区区间，称为为y=f(x)的单调区间．)．极值概念3.2函函数极值3.2.1函数极极值及其求求法首先要明确确什么叫函函数极值，，先看定义义：定义3.1设函数f(x)在点x0的某邻域内内有定义．．如果对该该邻域内的任任意一点x(xx0)，恒有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的极大(小)值，称x0为函数函数的极大大值与极小小值统称为为函数的极值，极大值点点与极小值值点统称为为极值点．大家看下面面这个图形形：的极大(小)值点．哪些点是极极大值点呢呢？可以看到x1是极大值值点，x4也是极大大值点．端点b是不是极大大值点呢？？极大值点是是指它的函函数值要比比周围的值值都大，而端点b的右边是没没有函数值值，所以它它不是极大大值点．极值点即导导数等于零零或导数不不存在的点点极大值点：：x1,x4；极小小值点：x2,x5再找找一一找找哪哪些些是是极极小小值值点点？？x2是一个极小小值点，x5也是一个极极小值点．x3是极大值点点还是极小值值点呢？不是是，它不是极极值点，因为为找不到一个小范围，，使它的函数数值成为最大大或最小．最大值、最小小值及其求法法极值与最值的的区别：·

极值是是在其左右小小范围内比较较·

最值是是在指定的范范围内比较所以，说到最最大（小）值值，要使问题题提得明确，，就必须明确确指定考虑的的范围．如果果在指定的范范围内函数值值达到最大，，它就是最大大值．这个函数在区区间[a，f]内的极大值值点是，b,d；极小值点是是c,e．现在要问这这个函数在闭闭区间[a，f]上最大值点点是哪一个，，那么应该是是整个指定区区间上曲线最最高处的点就就是最大值点点．从图中可可以看出，端端点f处的函数值最最大，所以点点f就是该函数在在区间[a，f]上的最大值值点．同样，，从图中可以以看出c是区间[a，f]上最小值点点．yx0abcdef明确了最值点点与极值点的的区别后，最最值点的求法法也就较容易易得到了．函数f(x)在[a，b]上的最值点点一定在端点点、驻点和不不可导点中．．端点：a，b驻点：使(x)=0的的点,不可导点：(x)不存在的点点求经济批量的的实例例1设某公司平均均每年需要某某材料80000件件，该材料单单价为20元/件，每件件该材料每年年的库存费为为材料单价的的20％。为减减少库存费，，分期分批进进货，每次订订货费为400元，假假定该材料的的使用是均匀匀的，求该材材料的经济批批量。解设订货批量为为q件，则平均库库存量为q/2件，该材料每每件每年库存存费为20×20％％元，年库存成本＝(q/2)×20×20％；；年订货次数数为80000/q，每次订货费费为400元，年订货成本＝(80000/q)×400。。故年订货与与库存总成本本函数为：对年库存总成成本函数求导导得：得q＞0内的惟一驻点点：q＝4000（（件）即即经济批量为为4000件。(80000/q)×400C(q)=(q/2)×20×20％+小结：列出库存总成成本函数；求导，求驻点点，得到经济济批批量。令求最小平均成本本的实例[例56]设某公司运输输某物资q个单位位时的的总成成本(单位位：万万元)函数数是：：C(q)＝q2/4＋＋6q＋100，，问运运输量量为多多少时时，平平均成成本最最小？？解平平均均成本本函数数为：：求导数数，得得令＝０得得惟一一驻点点q＝20（运运输量量不能能为负负值））故，当当运输输量q＝20单位位时平平均成成本最最小。。求最大大利润润的实实例[例57]设物流流市场场的运运价p（单位位：百百元/吨））与运运输量量q（单位位：吨吨）的的关系系是q＝50－5p，运输输总成成本函函数C(q)＝2＋4q，求最最大利利润时时的运运输量量及最最大利利润。。解由由运运输需需求函函数q＝50－5p得价格格p＝-q/5＋10收入函函数为为：R(q)＝pq＝(-q/5＋10)q＝-q2/5＋＋10q利润函函数为为：L(q)＝R(q)－C(q)＝-q2/5＋＋6q－2求导数数，得得令所以，，获最最大利利润时时的运运输量量是q＝15吨，，最大大利润润为：：L(15)＝＝-1/5×152＋6××15－2＝43(百元元)＝0得得惟惟一驻驻点q＝15（吨吨）例3.1已知某某厂生生产某某种产产品的的成本本函数数C(q)＝500＋2q，其中中q为该产产品的的产量量，如如果该该产品品的售售价定定为每每件6元，试试求：：(1)生产该该产品品的固固定成成本；；(2)利润函函数；；(3)当产量量q为250件时的的平均均成本本.解：(1)固定成成本就就是当当产量量为零零时的的总成成本，，设为为C0，有C0＝C(0)＝500(元)(2)由题意知知，收入入函数R(q)＝6q，因此，，利润函函数L(q)＝R(q)－C(q)＝6q－(500＋2q)＝4q－500(3)平平均成成本函数数当产量q＝250件时，平均成成本（元/件）

例3.2求下列函数的的导数：(1)设(2)设解：(1)(2)例3.3写出用MATLAB软件求函数的导数的命令令语句.解：用MATLAB软件求导导数的命令语语句为：>>clear;>>symsx

y;>>y=log(x+sqrt(1+x^2));>>diff(y)例3.4写出用MATLAB软件求函数的二阶导数的的命令语句.解：用MATLAB软件求导导数的命令语语句为：>>clear;>>symsx

y;>>y=exp(-3*x)/(x-3^x);>>diff(y,2)例3.5

某企业运输某物品q吨时的总成本（单位：元）为C(q)＝400＋0.05q2，求运输100吨物品时的边际成本.解：边际成本函数为：MC(q)＝0.1q运输100吨物品时的边际成本为：MC(100)＝10（元/吨）

边际成本函数数就是成本函函数的导数，，确定运输量量时的边际成成本就是相应的导数数值．例3.6某工厂生产某某种商品，年年产量为q（单位：百台台），成本为为C（单位：万万元），其其中固定成成本为2万元，而每每生产1百台，成本本增加1万元．市场场上每年可可以销售此此种商品4百台，其销销售收入R是q的函数R(q)＝4q－0.5q2q[0，4]问年产量为为多少时，，其利润最最大？解：因为固定成成本为2万元，生产产q单位商品的的变动成本本为1×q万元．所以成本函函数C(q)＝q+2由此可得利利润函数L(q)＝R(q)－C(q)＝3q－0.5q2－2又因为＝3－q令＝0，得驻点q＝3.这里，q＝3是利润函数数L(q)在定义域内内的唯一驻驻点．所以，q＝3是利润函数数L(q)的极大值点点，而且也也是L(q)的最大值点点．即当年产量为3百台时，其其利润最大大．例3.7设某企业平平均每年需需要某材料料20000件，该材料料单价为20元/件，每件该该材料每年年的库存费费为材料单单价的20％.为减减少库存费费，分期分分批进货，，每次订货货费为400元，假定该该材料的使使用是均匀匀的，求该该材料的经经济批量.解：设订货批量量为q，则库存总总成本为令得q＞0内的唯一驻驻点q＝2000（件）.故，经济批批量为2000件4.1由由边际成本本确定成本本的微元变变化-微分分引例：成本函数的导数又称为边际际成本，记记为MC(Q)，表示示成本函数数在Q处的变化率。当很小时，成成本函数在的微小变化化可表示为为。当时，记为表示成本函函数在Q处的微元变变化，称为成本函函数在Q处的微分。。对于一般般函数y＝f(x)，引进微微分概念如如下：定义4.1设函数y＝f(x)在点x0处可导，Dx为x的改变量，，则称为函数y＝f(x)在点x0处的微分，，记作并称函数y＝f(x)在点x0处是可微的。如果函数y＝f(x)在区间间(a，b)内的每每一点都都可微，则则称函数y＝f(x)在区间间(a，b)内可微微，记作dy或df(x)，即即当y＝f(x)＝x时，有，即自变量量x的微分dx即为自变量量增量∆x，于是函数数的微分可可写成由微微分分式式，可得得可得得，,故故导导数数又又称称为为微商商。。计算算函函数数y＝f(x)的的微微分分，，实实际际上上可可归归结结为为计计算算导导数数。。y0xx0X0+∆xABC∆Xdy∆y[例例1]设运运输输某某物物品品q个单单位位时时的的边边际际成成本本为为，求运输输量从从a单位增增加到到b单位时时成本本的增增量。。解运运输量量从a单位增增加到到b单位时时成