勾股定理达标训练(含答案)

18.1勾股定理达标训练、基础巩固1•若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n.2•直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm，求直角三角形的面积.若直角三角形两直角边的比是3:4，斜边长是20,求此直角三角形的面积一架云梯长25米，如图18-1-20斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?图18-1—20等边三角形的边长为2,求它的面积.二、综合应用6.6.如图18—1—21,6.如图18—1—216.如图18—1—21,螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为Al图18—1—21图18—图18—1—21图18—1—227.如图18—1—22,7.如图18—7.如图18—1—22,△ABC中，AB=15cm,AC=24cm,/A=60°,求BC的长.在锐角△ABC在锐角△ABC中，已知其两边a=1,b=3,求第三边的变化范围如图18—1—23,有一个高1.5米，半径是如图18如图18—1—23,有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长?图18—1—23已知：在Rt△ABC中，/C=90°/A、/B、/C的对边分别为a、b、°设△ABC的面积为S,周长为I.⑴填表：三边a、b、ca+b—cST3、4、525、12、1348、15、176S(2)如果a+b—c=m，观察上表猜想：—=(用含有m的代数式表示).证明⑵中的结论.11•如图18—1—24,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10•、7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？图18—1—24参考答案一、基础巩固1•若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n.思路分析：首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解.解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2,化简得：n2=4./•n=±2，但当n=—2时，n+1=—1<0,「•n=2.直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm，求直角三角形的面积.思路分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解.解：设此直角三角形两直角边分别是x,y,根据题意得：、+y+5=12,(1)：x2+y2=52,(2)由(1)得：x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49.(3)(3)—(2),得：xy=12.112直角三角形的面积是xy=X12=6(cm).22若直角三角形两直角边的比是3:4，斜边长是20,求此直角三角形的面积解：设此直角三角形两直角边分别是3x、4x，根据题意得：(3x)2+(4x)2=202,化简得x2=16；12直角三角形的面积=一X3x用x=6x2=96.2一架云梯长25米，如图18—1—20斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.图18—1—20这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？思路分析：(1)可设这个梯子的顶端距地面有x米高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度组成直角三角形，所以x2+72=252,解出x即可.(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了4米，应计算才能确定.解：(1)设这个梯子的顶端距地面有x米高，据题意得AB2+BC2=AC2,即卩x2+72=252,解得x=24.轻轻告诉你个人的绝对自由是疯狂，一个国家的绝对自由是混乱。一一罗曼罗兰即这个梯子的顶端距地面有24米高.(2)如果梯子的顶端下滑了4米，即AD=4米,BD=20米，设梯子底端离墙距离为y米,

据题意得BD2+BE2=DE2，即202+y2=252，解得y=15.此时CE=15-7=8.•••梯子的底部在水平方向滑动了8米.5•等边三角形的边长为2,求它的面积解：如图，等边△ABC中，作AD丄BC于D,则：BD=丄BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）2图18-1-21图18-图18-1-21图18-1-22思路分析：由勾股定理可知，第一个三角形的面积是丄；第二个三角形的面积是丄22第三个三角形的面积是;则第n个三角形的面积为■n2•••AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）•BD=1.在直角三角形△ABD中AB2=AD2+BD2,即卩AD2=AB2—BD2=4-仁3.，—1厂•AD=3.S^abc=BC-AD=3.2等边三角形的面积公式：若等边三角形边长为f3a,则其面积为——a2.4、综合应用nn个三角形的面积为n个三角形的面积为如图18-1-21n个三角形的面积为答案:如图18-1-22,^ABC中，AB=15cm,AC=24cm，/A=60°求BC的长.思路分析：因为/A是一个特殊角，可考虑过点B作BD丄AC,垂足为D，则/ABD=30,所以AD可求•在Rt△BCD中，由勾股定理可求出BC的长.解：过点B作BD丄AC,垂足为D.•••/A=60°,•••/ABD=30.TOC\o"1-5"\h\z11•-AD=—AB=—X15=7.5.2222222BD=AB—AD=15—7.5=168.75.在Rt△BCD中，由勾股定理得，2222BC=BD+CD=168.75+16.5=441.•BC=21.抓住特殊角，构造直角三角形是解决本题的关键.本题也可以这样作辅助线：过点C作CE丄AB,垂足为E,但过点A作AF丄BC,垂足为F,则是行不通的.请你想一想为什么？从中可以得到什么启发？在锐角厶ABC中，已知其两边a=1,b=3，求第三边的变化范围.思路分析：显然第三边b—a<c<b+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值.解：设第三边为c,并设△ABC是直角三角形.当第三边是斜边时，c2=b2+a2,•c=.10.当第三边不是斜边时，则斜边一定是b,b2=a2+c2,「・c=2：2（即••8）.•••△ABC为锐角三角形，所以点A应当绕着点B旋转，使/ABC成为锐角（如图），但是当点A从A1出发，移动到点A2位置时，在A2处，/ACB都成为直角，故点A应当在A1和A2间移动，此时22<AC<.10.注：此题易忽视①或②中的一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否为直角边，所以要分两种情况考虑.如图18—1—23,有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，

从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长?从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长?图18-1—23思路分析：题目中没有告诉铁棒如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.2222⑴x=1.5+2,x=6.25,x=2.5.所以最长是2.5+0.5=3（米）.（2）x=1.5，最短是1.5+0.5=2（米）.答：这根铁棒的长应在2—3米之间（包含2米和3米）.已知：在Rt△ABC中，/C=90°/A、/B、/C的对边分别为a、b、°设厶ABC的面积为S,周长为I.（1）填表：三边a、b、ca+b—cSI3、4、525、12、1348、15、176S⑵如果a+b—c=m，观察上表猜想：—=（用含有m的代数式表示）.（3）证明（2）中的结论.思路分析：（1）略；（2）根据（1）中结论得出猜想，S=□.l41⑶证明：TS=ab,l=a+b+c,.Sabl2（abc）.■/a+b—c=m,.a+b=m+c.2,22又-a+b=c,

m(m+2c).m(m+2c).m(m+2c).221m(m+2c).•••(a+b)=(m+c)，即ab=21S_ab_2m(m2C)l一2(ab飞厂2(m2c)22•如图18-1-24,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以207千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域•（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？思路分析：（1）A市是否会受到台风的影响，取决于距台风中心的距离，我们可首先计算A到BF的距离，若A市