概率与数理统计复习题及答案

★编号：重科院()考字第(★编号：重科院()考字第()号第7页复习题一一、选择题1．设随机变量x的概率密度f(X)t；-2x>1，则9=(x<1)。2．1B・2掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现1．设随机变量x的概率密度f(X)t；-2x>1，则9=(x<1)。2．1B・2掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为(12A.B.-23A．1C.-13D・2)。C.1D・33．设*〜X2W)，X厂X2(n一)，罟,X；独立，则咒127-()。4．A.X2+X2~X2(n)12C・X2+X2〜t(n)12若随机变量Y二X+X,12B・X2+X2〜X2(n-1)12D・X2+X2〜X2(n+n)1212且X,X相互独立。X〜N(0,1)(i=1,2),贝y(12i)。A．Y~N(0,1)B.Y〜N(0,2)C・Y不服从正态分布D・Y〜N(1,1)5．设X~N(1,4)，则P{0<X<1.6}=()。A.0.3094B・0.1457C・0.3541D・0.2543二、填空题1•设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为.设A,B为互不相容的随机事件，P(A)=0.1,P(B)=0.7,则P(AB)=.设D(X)=5,D(Y)二&X,Y相互独立。则D(X+Y)=U4.设随机变量X的概率密度f(x)計0其它则P{X>0.2}=三、计算题1.设某种灯泡的寿命是随机变量X,其概率密度函数为f(x)=|Be®'X>0〔0,x<0确定常数B(2)求P{X>0.2}(3)求分布函数F(x)。甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％，25％，这三个厂的次品率分别为0.02,0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取

一件，求恰好取到次品的概率是多少？0<x<1，求E(X),D(X)。其它30<x<1，求E(X),D(X)。其它04.设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度f(x,y)=[0歹其它。wl分别求随机变量X和随机变量Y的边缘密度函数。证明题设X,X,X,X,X是来自正态总体的一个样本，总体均值为卩(卩为未知参数)。1234532证明：T=—(X+X+X)+—(X+X)是r的无偏估计量。131231345一、选择题1)A(2)D(3)D(4)B(5)A二、填空题(1)0.4(2)0.8(3)13(4)0.8三、计算题(本大题共6小题，每小题10分，总计60分)1、⑴卜8申(x)dx=f00dx+J+8Be—5xdx=—B=1s—g05故B=5o⑵P(X>0.2)二J+g5e-5xdx二e-1沁0.3679.0.2(3)当x〈0时,F(x)=O;当x>0当x>0时,F(x)=Jx申(x)dx=dx+Jx5e—5xdx—g—g0=1—e—5x故F(x)故F(x)=1—e—5x,x>00,x<0P(A)P(A)=工P(B)P(A|B)=iii=12、全概率公式255354402X+X+X—100100100100100100=0.0345★编号：重科院()考字第(★编号：重科院()考字第()号第7页★编号：重科院()考字第(★编号：重科院()考字第()号第7页★编号：重科院（）考字第（★编号：重科院（）考字第（）号第7页3、EX-J°x(1+x)dx+f1x(1-x)dx=0TOC\o"1-5"\h\z-ioEX2-f01x2(1+x)dx+f1x2(1-x)dx-10DX-EX2-(EX)2--64、f(x)-卜f(x,y)dyxsfx6dy-6(x一x2),0<x<1x20其它—g0<y<1其它fSy6dx-0<y<1其它y0四．证明题证明：因为E(X.)=卩,i=1,2,3,4,532所以E(T)-E[百(X+X+X)+(X+X)[E(X)+E(X)+E(X)]+[E(X)+E(X)](5分)131231345-卩一、选择题1一、选择题1．如（成立，则事件A与B互为逆事件。（其中Q为样本空间）A.AB=0B.AB=0C・AB=0且AB=0D・A与B互为对立事件2•袋中有5个黑球，，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）A.B・A.B・(8)3(1)31C・C4计计5D.——C48k153•设随机变量X的分布律为P{X-k}-―,k-1,2,3,4,5,则P{-<X<—}-(1522A.3/5B・1/5C・2/5D・4/54.设随机变量（X,Y）只取下列数组中的值：（0，0）、（-1，1）、（-1，1/3）、（2，0），且相应的概率依次为丄丄,丄,2•则c的值为()2cc4c4cTOC\o"1-5"\h\zA・2B.3C・4D.55•设X,Y相互独立，XN(2,5),YN(3,1)，则E(XY)=()A・6B.2c・5D.15二、填空题1．从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2•设X兀(九),(泊松分布且九〉0),P{X=1}=P{X=2}・则P{X=4}=3.XN(卩Q2)，则兰二上(填分布)o三、计算题1•甲、〜乙、丙三人向同一架飞机射击，设甲、乙、丙射中的概率分别为)・4,0.5,0.7。若只有一个人射中，飞机坠毁的概率为0・2,若两人射中，飞机坠毁的概率为0・6，若三人射中，飞机必坠毁。求飞机坠毁的概率。2•设随机变量X在区间［0,1］上服从均匀分布，求：(1)Y=eX的概率密度函数；(2)Z=-2lnX的概率密度函数一袋中装有12只球。其中2只红球,10只白球。从中取球两次,每次任取一只,考虑两种取球方式：(1)放回抽样(2)不放回抽样。X表示第一次取出的白球数,Y表示第二次取出的白球数•试分别就(1)、(2)两种情况，写出(X,Y)的联合分布律。4•把数字1,2,,n任意排成一排，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个匹配。求匹配数的期望值。四•证明题•••设随机变量X,Y相互独立，方差D(X),D(Y)存在证明：D(XY)二D(X)D(Y)+E2(X)D(Y)+E2(Y)D(X),并由此证明D(XY)>D(X)D(Y)一、选择题(1)C(2)D(3)B(4)B(5)A二、填空题★编号：重科院（）考字第（★编号：重科院（）考字第（）号第7页★编号：重科院（）考字第（★编号：重科院（）考字第（）号第7页2(1)0.4(2)3e-2(3)N(0,1)三、计算题(本大题共计62分)(1)解：设A表示有i个人射中，i=1,2,31P(A)=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7-0.361P(A)=0.4x0.5x0.3+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.412P(A)二0.4x0.5x0.7二0.143P(B)=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458解：F(y)二P{Y<y}二P{X<Iny}二F(Iny)YX⑴=fx(ln斗=|1<y<eF(z)二P{Z<z}=P{X>e-2}二1-F(e-；)ZX0<zz1-z0<zfz(z)=fx(e-2)2e-2=2e-23)01042014414402010014414401022013213212090132132（4）设X表示n个数字的匹配数，X表示第i个数字的匹配数。即:iXi01Pn一11nnE(X.)=1,E(X)二E(gX)二nE(X)二1

iniii=1四．证明题D(XY)=E(X2)E(Y2)-(E(X)E(Y))2,D(X)D(Y)=E(X2)E(Y2)-E(X2)(E(Y))2-E(Y2)(E(X))2+(E(X)E(Y))2(2分)D(XY)-D(X)D(Y)=(E(X2)-(E(X))2)(E(Y))2+(E(X))2(E(Y2)-(E(Y))2)=D(X)(E(Y))2+(E(X))2D(Y)>0故D(XY)>D(X)D(Y)。复习题三一、选择题1•设AuB,且P(A)丰0,贝“)成立A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(B|A)=1D.P(A-B)=P(A)-P(B)TOC\o"1-5"\h\z2•设XN(0,1)，若常数c满足P{X>c}=P{X<c}。则c=()A.3B.2C.1D.以上都不对3•设X服从泊松分布P{X=k}=3ke-3,k=0,1,2,=()k!E(X)A.4B.3C.2D.1二、填空题1.有甲、乙、丙三人,每个人都可能的被分配到四个房间中的任一间去,则三个人被分配到同一间中的概率为•设事件A,B互不相容，且P(B)主0，则P(A|B)=•若随机变量X的分布律为P{X=m}=pm,m=1,2,,则p=★编号：重科院()考字第()号第7页4.设X,Y为随机变量，且p二0.5,D(X)=2,D(Y)=8，则D(X+Y)=XY三、计算题1．两批相同产品中各有12件和10件，在每批产品中都有一个废品，今从第一批产品12件中任意的抽取两件放入第二批中，再从第二批中任取一件，求从第二批中取出的是废品的概率。2•箱中有8个编号分别为1,2,……,8的同样的球，从中任取3球，以X表示取出的3球中的最小号码，求X的分布律。3•设随机变量XN(0,1),求：令Y=1+-X，求E(2Y-1),D(2Y-1)2求Y=1+-X的密度函数24．某地区夏天刮台风的概率为0.3，不刮台风的概率为0.7，一家工厂若开工生产，不遇台风，可获利240万元，若开工后遇到台风，则亏损120万元，若不开工，则必定损失60万元，问这个夏季该厂是否应该开工?第20页5・箱中装有12只开关，其中10只正品,2只次品，从中不放回的抽取两次,每次抽一只，用X表示第一次取出的次品数，Y表示第二次取出的次品数，求：⑴（X,Y）的联合分布律（2）分别关于X,Y的边缘分布律一、选择题（1）C一、选择题（1）C（2）二、填空题1⑴16三、计算题D（3）2)01（3）24)141）C11）C11次：茁122正：呂甘；1正12C21C1C17p=—HX+—X2=-C2C1C2C172121212122)X345678P1/563/566/5610/5615/5621/56E(Y)二E(l+-X)二1+-E(X)二122D(Y)二D(1+-X)二1D(X)二-244E(2Y-1)二2E(Y)-1二1(D(2Y-1)二4D(Y)二1.・.YN(1厶)nf(y)=J?e-2(y-d2科兀4)〜X240—120P0.70.3E(X)二132>60，开工5)第20第20页第20第20页*01P{Y=j}090/13220/132110/132120/1322/13222/132P{X=i}110/13222/132复习题四一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1・设A,B满足P(A|B)=1，且P(A)>0,P(B)>0,则有()A.A是必然事件B.B是必然事件C・ABD.P(B)<P(A)2•设X〜N(2,2)，且P{0<X<4}=0.6，则PX=0}()A.0.3B.0.4C.0.2D.0.53•设X〜N(0®Y〜N6,2)X,Y相互独立，令Z=Y—2X，则Z〜()A.N(—2,5)B.N(1,5)C.N(1,6)D.N(2,9)4•设随机变量X〜B(100,0.1)，贝I」方差D(X)().A.10B.100・1C・9D.3二、填空题1.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于2•设随机变量X服从参数九=3的泊松分布，则P{X>2}=3.独立地掷一枚均匀的骰子100次，则点数之和的数学期望为，方差为三、计算题1.设某地区成年居民中肥胖者占10%,不胖不瘦者占82%,瘦者占8%,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10%,瘦者患高血压病的概率为5%,试求：(1)该地区居民患高血压病的概率;(2)若知某人患高血压,则他属于肥胖者的概率有多大？2•设随机变量X的概率密度函数为：求：(1)X的分布函数，(2)P{—5<X<10}3.设X,X相互独立，同在区间］0,1］上服从均匀分布，求Z二min(X,X)的1212概率密度函数4.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=］Ax,10,0<x<1,0<y<x其他求：⑴A；(2)P{X>Y<1}；(3)E(X+Y)22四．证明题设随机变量X和Y相互独立，且方差D(X),D(Y),D(XY)均存在。证明：D(XY)>D(X)D(Y)参考答案一、选择题1、D；2、C；3、C；4、C；二、填空题1、0.3024；2、1-4e-3；3、350,875/3；三、计算题1、(1)10%X20%+82%X10%+8%X5%=0.106;10%x20%’=18.87%0.1062、(1)F(x)=Jx2e-Hdt=<—872、(1)F(x)=Jx2e-Hdt=<—8711Jx—etdt=—ex-822Jetdt+Je-tdt=1-—e-x-82022x<0x>0(2)P{-5<X<10}=F(10)-F(-5)=1-1e-10-1e-522110<x<13、f(x)=<0其他nF(x)=<xx<0x>1x<0Z=1—[1—F(x)]2=<12-2x0<x<1nf(x)=<Z10x>10<x<1其他4、(1)-8-8J+sJ+8f(x,y)dxdy=1,J1(JxAxdy)dx=1,A=3；0011(2)P{X>-,Y<11(2)P{X>-,Y<-}=2916J1(Jx3x(x+y)dy)dx=—008E(X+J1(Jx3x(x+y)dy)dx=—008—g—g四．证明题D(XY)=E(X2)E(Y2)—(E(X)E(Y))2D(X)D(Y)=E(X2)E(Y2)—E(X2)(E(Y))2—E(Y2)(E(X))2+(E(X)E(Y))2D(XY)—D(X)D(Y)=(E(X2)—(E(X))2)(E(Y))2+(E(X))2(E(Y2)—(E(Y))2)=D(X)(E(Y))2+(E(X))2D(Y)>0故D(XY)>D(X)D(Y)。复习题五一、选择题1•设P(A)>0,P(B)>0,P(A|B)=P(A)，则下列说法不正确的是()A.P(B|A)=P(B)B.P(A|B)=P(A)C・AB=0D.ABA设离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=一,k=1,2,3kk!则常数A应为()1—1A.e3B.e—3C.e—3D.e3D(X)=0是P{X=C}=1(C是常数)的()A.充分条件，但不是必要条件B.必要条件，但不是充分条件C.充分条件又是必要条件D.既非充分条件又非必要条件设两个独立的随机变量D(X)=4,D(Y)=2，则D(3X—2Y)=()A.8B.16C.28D.44二、填空题1.某地区成年人患结核病的概率为0.015，患高血压病的概率为0.08，设这两种病的发生是相互独立的，则该地区内任一成年人同时患有这两种病的概率为___第20页2•设XN(5,4)，若d满足P{X>d}二①(1),则d=3设X和Y的相关系数为0・5,且E(X)=E(Y)=0,E(X2)=E(Y2)=2,则E[(X+Y)2]=。三、计算题1．设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件。求：(1)这件产品为正品的概率。(2)若取出的产品为正品,它是甲厂生产的概率是多少？2•离散型随机变量X的取值为一1,1,3,P{X二3}二0.20x<-1且它的分布函数为F(x)J0.3—1'X°1,a1<x<3a+bx>3求：(1)a,b；(2)X的分布律；(3)P{-1<X<2}3•设某批鸡蛋每只的重量X(以克计)服从N(50,52)分布，从该批鸡蛋中任取一只,求其重量不足45克的概率从该批鸡蛋中任取5只,求至少有2只鸡蛋其重量不足45克的概率。4•设二维随机变量(X,Y)的概率密度为—、】(x+y)0<x<2,0<y<2f(x,y)=]8、0其它求：(1)数学期望E(X)；(2)方差D(X)；(3)协方差Cov(X,Y)。四．证明题证明：当X~N(0,。2)时，有E(X|)=\：'|心参考答案一、选择题1、C；2、B；3、C；4、D；第20第20页第20第20页二、填空题1、0.0012；2、3；3、6；三、计算题(本大题共计62分)1、(1)0.5*0.9+0.3*0.8+0.2*0.7=0.83(2)(0.5*0.9)/0.83=54.22%2、(1)a=0.8,b=0.2；X-113p0.30.50.2(3)P{-1<X<2}=0.8.45-503、(1)P{X<45}=O(—5)=1-①⑴=1-0.8413=0.1587(2)p=£Ck(0.1587)k(0.84135-k=1-6(0.1587X0.84135-0(0.15801(0.84134=0.181TOC\o"1-5"\h\z555k=24、(1)E(X)=J2J2x—(x+y)dxdy=—00861511⑵E(X2)=J2J2x2(x+y)dxdy=,D(X)=-1360083136⑶E(XY)=J2J2xy1(x+y)dxdy=4,cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0083故拒绝H0认为有显著变化。(2分)四．证明题E(|X|)=击'VIE(|X|)=击'VIx2e26dx=笔卜化-盂d(丄)=*2兀0GG复习题六一、选择题1.设A,B为两个随机事件，且BuA，则下列式子正确的是()A.A.P(A+B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(BIA)=P(B)D.P(B-A)C.P(BIA)=P(B)以A表示事件“甲种产品畅销且乙种产品滞销”其对立事件A为()A.“甲种产品滞销且乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”设X〜N(rq2),那么当b增大时，P勺X—川<g}将()A.增大B.减少C.不变D.增减不定。掷一颗均匀的骰子600次，出现“一点”的次.数.的均值为()A.50B.100C.120D.150二、填空题1•设A,B,C是三个随机事件。试用A,B,C分别表示事件：A,B,C至少有一个发生A,B,C中恰有一个发生A,B,C不多于一个发生2•设随机变量X〜N(2,1)，则P{2<x<4}=3•用二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)表示P{a<X<b,Y<c},即P{a<X<b,Y<c}=4.设X〜N(10,0.6),Y〜N(1,2)，且X与Y相互独立，则D(3X-Y)=三、计算题1201.120厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为11第20页I从这十箱产品中任取一件产品。求：取得正品的概率。2•从一批有10个合格品与2个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽I到的可能性相同，作不放回抽样。求直到取出合格品为止，所抽取次数的分布律|和抽取次数的期望。I3•对球的直径作测量，其值均匀地分布在［a,b］内。求：（1）直径的概率密度函数；（2）球的体积的密度函数。线h线h•设随机变量x的概率密度为/（x）=<e-xx>0x<0，求%的数学期望参考答案!一、选择题|1.A参考答案!一、选择题|1.A2.D!二、填空题3.A4.B丿一邛(2.0卅(2)ABCABCABC(3)ABCABCABCABC3.fcJfx,y)dxdy；4.7.4；UUU三、计算题（本大题共计62丿一邛(2.0卅(2)ABCABCABC(3)ABCABCABCABC3.fcJfx,y)dxdy；4.7.4；UUU三、计算题（本大题共计62分）1.A.表示第i厂生产的正品，P(A)=10,P(A)=曽,P(A)=20i110215320P(B)=2x丄+兰xA+兰xA=0.921010151020102.3.X123P55163366(1)(2)E(X)=1x5+2x—+3x—=136336611x<a,x>b⑵fy(y)=P{Y<y}=P{6“x3<y}=P{x<¥}=Fx(6yJ第20第20页第20第20页f(y)=兀f(y)=兀兀,a3<y<b366其他兀(b—a)(兀丿04.E(X)=xf(x)dx=J°°xe-xdx(4分)—g0E(X)=xde-x=—[xe-x0g—卜e-xdx]二10复习题七一、选择题1•设随机事件A与B互不相容,且有P(A)>0,P(1•设随机事件A与B互不相容,()A.A,B相互独立BoA，B不相互独立CoA,B互为对立事件DoA，B不互为对立事件2•已知P(A)二0.3,P(B)二0.5,P(AB)二0.6，贝UP(AB)二()A.0.15Bo0.2Co0・8UDo13.设随机变量X〜N(—1,5),Y〜N(1,2),且X与Y相互独立，则X—2Y服从()A.N(—3,1)BoN(—3,13)CoN(3,9)DoN(3,1)4•设随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)=f(—x)。那么对于任意给定的正数a都有()1A.f(—a)=1—Jaf(x)dxBoF(—a)=——Jaf(x)dx020CoF(a)=F(—a)DoF(—a)=2F(a)—1二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共计15分)1•设随机变量X,X,X相互独立，其中X在［0,丘—］上服从均匀分布，X服TOC\o"1-5"\h\z12312从正态分布N(0,4),X服从参数为九=3的泊松分布，记YXXX,3123则D(Y)2•设X〜N(2,a2)，且P{2<X<4}二0.3，则P{X<0}二3•已知X〜N(—2,0.42)，则E(X+3)2=三、计算题1．任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率：（1）一套3本的放在一起；（2）两套书均放在一起；（3）两套书中至少有一套放在一起。2．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问至少需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率大于0.93.设二维连续型随机变量X,Y）的联合概率密度为：f（x,y）”0'°<%其他<y<%求：（1）常数k（2）4.设随机变量X的密度函数为f（x）=Ae-」（-^<x<+s），求：（1）系数A；⑵P{°<X<1}；（3）分布函数F（x）。参考答案一、选择题（1）B（2）B（3）B（4）B二、填空题（1）8（2）0.2（3）1三、计算题（1）基本事件总数为：A1010P（Ai）二A3A8_8A10

10115A3A4A5P(A)=3452A1°10两套中至少有一套放在一起：A3As+A4A7-A3A4A5二2°A4A6384734546概率为：2°A4A624—6—-A1°211°（2）实验成功次数服从参数0.5为的n重二项分布,第20第20页n原问题等价于PX1PX000.5n0.10)<=n>3.3219,n43)JgJgf(x,y)dxdy=1nkJ1Jdydx=1nk=2-g-g00xyf(xyf(x,y)dxdy1dxx2xydy1=1—1=2-2eoexdx1ex1=1—1=2-2eoexdx1exx0xxF(x)P{Xx}f(x)dx<2exdx22复习题八xexdx12"f(x)dx=1n2aJ^—g0J11e-xdx=--e-xo22一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1•设A,B为两随机事件，且BuA，则下列式子正确的是()A.P(A+B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C・P(BA)=P(B)D.P(B-A)=P(B)-P(A)2•已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44，则二项分布的参数n,p的值为()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1设f(x,y)是二维随机变量(X,Y)的概率密度函数，则卜卜f(x,y)dxdy=()-g-gA.0B.1C.-1D.g4•设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为3和2,则随机变量3X-2Y的方差是()第20页A.8B.16C.28D.35二、填空题1•设随机事件A,B的概率分别为0.4,0.3，且A,B相互独