（精心整理）一次函数性质及例题

一次函数概念：x

自变量和

因变量y有如下关系：y=kx+b，则此时称y是x的

一次函数。特别地，当b=0时，y是x的

正比例函数。即：y=kx（k为

常数，k≠0）；y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。即：y=kx+b（k为任意不为零的

实数b取任何实数）；当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。当x=0时，b为函数在y轴上的

截距。基本性质：1．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的

纵坐标，该点的

坐标为(0,b)。2．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。3．对于

正比例函数，y除以x的

商是一

定数（x≠0）。对于

反比例函数，x与y的

积是一定数。4．在两个一次函数表达式中：①当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的

图像

重合；②当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像

平行；③当两个一次函数表达式中的k不相同，b也不相同时，则这两个一次函数的图像

相交；④当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；⑤当两个一次函数表达式中的k互为

负倒数时，则这两个一次函数图像互相

垂直。5．两个一次函数(y=ax+b,y=cx+d)之比，得到的新函数y=(ax+b)/(cx+d)为

反比例函数，

渐近线为x=b/a，y=c/a。6.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0,b>0：经过第一、二、三

象限k>0,b<0：经过第一、三、四象限k>0,b=0：经过第一、三象限（经过原点）结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。k<0b>0：经过第一、二、四象限k<0,b<0：经过第二、三、四象限k<0,b=0：经过第二、四象限结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。函数问题1已知

正比例函数

，则当k≠0时，y随x的增大而减小。解：根据正比例函数的定义和性质，得k<0。函数问题2已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.无法确定解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。函数问题3一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.

第一象限

B.第二象限C.

第三象限

D.

第四象限解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A.函数问题4一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的

取值范围.分析：此题由物理的

定性问题转化为数学的

定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的

取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12则13.5=3k+12解之，k=0.5∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12由题意，得：23=0.5x+12=22解之，x=22∴自变量x的取值范围是0≤x≤22函数问题5某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用

刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？此题要考虑X的范围解:设总费用为Y元，刻录X张则电脑公司：Y1=8X学校：Y2=4X+120当X=30时，Y1=Y2当X>30时，Y1>Y2当X<30时，Y1<Y2函数问题6（1）y与x成正比例函数，当y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式.（2）已知一次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此一次函数的解析式.解：（1）设所求正比例函数的解析式为y=kX把y=5，x=2.5代入上式得，5=2.5k解之，得k=2∴所求正比例函数的解析式为y=2X（2）设所求一次函数的解析式为y=kx+b∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满足y=kx+b，将x=-1、y=2和x=3、y=-5分别代入上式，得2=-k+b,-5=3k+b解得k=-7/4,b=1/4∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4点评：（1）不能化成

带分数.（2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程.函数问题7拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并且画出图象.分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.解：函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。图象是以（0，20）和（4，0）为端点的一条线段（图象略）。点评：注意函数自变量的取值范围.该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线.函数问题8已知一次函数的图象经过点P（－2，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式.分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法.解：设所求一次函数解析式为∵点P的坐标为（－2，0）∴|OP|=2设函数图象与y轴交于点B（0，m）根据题意，SΔPOB=3∴|m|=3∴一次函数的图象与y轴交于B1（0，3）或B2（0，－3）将P（－2，0）及B1（0，3）；或P（－2，0）及B2（0，－3）的坐标代入y=kx+b中，得-2k+b=0，b=3；或-2k+b=0，b=-3。解得k=1.5，b=3；或k=-1.5，b=-3。∴所求一次函数的解析式为y=1.5x+3或y=-1.5-3。点评：（1）本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直