求点到平面距离的基本方法

求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例(2005年福建高考题)如图1，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF±平面ACE.(I)求证：AE±平面BCE；求二面角B-AC-E的大小；求点D到平面ACE的距离.E(I)、(II)解略，(III)解如下：一、直接法利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.如图2,Aep,pla,以p=l,AM±l，则AM±a.AM为点A到平面a的距离.

解：如图3,过点A作AG旦EC，连结DG,CG，则平面ADG〃平面BCE,.••平面BCE±平面ACE,.・・平面ADG±平面ACE,作DH1AG,垂足为H，则DH±平面ACE.・.・DH是点D到平面ACE的距离.在gDG中，DH=在gDG中，DH=ADD!图3二、平行线法如图4,Ael,l〃a,B为l上任意一点，AM1a,BN1a，则AM=BN.点A到平面a的距离转化为平行于平面a的直线l到平面a的距离，再转化为直线l上任意一点B到平面a的距离.解：如图5，过点D作DMWAE，连结CM，则DM〃平面ACE，点D到平面ACE的距离转化为直线DM到平面ACE的距离，再转化为点M到平面ACE的距离.作MN1CE,垂足为N，

.••平面CEM±平面ACE,・.・MN±平面ACE,・•・MN是点M到平面ACE的距离.在RtMEM中，MN=EM・CM=疽二至.CE<63图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离.如图6、7,lna=O,A,Bel,AM±a,BN±a，若A0=t，则AM=t-BN.点A到BO平面a的距离转化为求直线l上的点B到平面a的距离.图7图7解：如图8,BD与AC的交点为Q，即BDn平面ACE=Q,DQ=BQ,..•点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.•「平面BCE±平面ACE,BF±平面ACE,・.・BF是点B到平面ACE的距离.在RNCE中，BF=BCB=2^62=233图8四、线面角法如图9,OP为平面a的一条斜线，AeOP,OA=l,OP与a所成的角为0,A到平面a的距离为d，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d=lsin0.经过OP与a垂直的平面与a相交，交线与OP所成的锐角就是OP与a所成的角0，这里并不强求要作出A在a上的射影B，连结OB得0.图9解：如图IO，：BF±平面ACE，.・・平面BDF±平面ACE，ZBQF为DQ与平面ACE所成的角为0，则点D到平面ACE的距离d=DQsin0.顷。知二面角b-AC-e的正弦值为w，得帆二巡.・.・D到平面ACE的距离d=、互X史=登3.33F图10F五、二面角法如图11,以np=l，a、&所成二面角的大小为0,Aep,AB±l,AB=a,点A到平面a的距离AO=d，则有d=asin0.0也就是二面角的大小，而不强求作出经过AB的二面角的平面角.图11解：如图12,・「平面ACDn平面ACE=AC,DQu平面ACD,DQ1AC,设二面角D-AC-E的大小为0，则点D到平面ACE的距离d=DQsin0.由（II）知二面角B-AC-E的正弦值为2i6,得sin0M.33・.・D到平面ACE的距离d=42x史=类3.图12六、体积法解：如图13，过点E作EO1AB交AB于点O,OE=1.•・・二面角D-AB-E为直二面角，・.・EO上平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,vVdace=VEACD，TOC\o"1-5"\h\zA1S-h=1S-EO.3AACE3AACDvAE1平面BCE,AAE1EC.2AD-DC-EO2X2X2x12-AE-EC-x<2x、R32.••点D到平面ACE的距离为233.七、向量法解：如图14,以线段A8的中点为原点O,OE所在直线为x轴，AB所在直线为j轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，AE1平面BCE，BEu平面BCE，・.・AE1BE，在RtAAEB中,AB=2,O为AB的中点，・.・OE=1,・.・A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z)，则严.n=0,即」x+y=0,AC•n=0,〔2y+2z=0.解得广-乙Iz=x.令x=1,得n=(1,-1,1)是平面ACE的一个法向量.LAD//z轴，AD=2，・AD=(0,0,2)，..