高考立体几精品题库试题

精品题库试题文数1.(2014重庆，20，12分)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(Ⅰ)证明:BC⊥平面POM;(Ⅱ)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.[答案]1.查看解析2.(2014福建，19，12分)(本小题满分12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(Ⅰ)求证:CD⊥平面ABD;(Ⅱ)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.[答案]2.查看解析3.(2014江西，19，12分)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.(1)求证:A1C⊥CC1;(2)若AB=2,AC=,BC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大,并求此最大值.[答案]3.查看解析4.(2014辽宁，19，12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCG;(Ⅱ)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.[答案]4.查看解析5.(2014北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(Ⅰ)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(Ⅱ)求证:C1F∥平面ABE;(Ⅲ)求三棱锥E-ABC的体积.[答案]5.查看解析6.(2014课标Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.[答案]6.查看解析7.(2014课标Ⅰ,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(Ⅰ)证明:B1C⊥AB;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.[答案]7.查看解析8.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调)如图，在四棱锥中，,,平面,为的中点，.(I)

求证：∥平面;

(II)求四面体的体积.[答案]8.（答案详见解析）9.（河北省石家庄市2014届高三第二次教学质量检测）如图，在三棱锥P-ABC中，面,∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且AN=BN.（Ⅰ）求证：AB⊥MN；（Ⅱ）求点P到平面NMA的距离.[答案]9.（答案详见解析）10.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四))如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=，AB=2CD=8．

(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；

(Ⅱ)当M点位于线段PC的什么位置时，PA//平面MBD？

(Ⅲ)求四棱锥P-ABCD的体积．[答案]10.（答案详见解析）11.（广东省汕头市2014届高三三月高考模拟）在如图5所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，AB∥CD,（1）求证：（2）求四面体的体积；（3）线段上是否存在点，使∥平面？请证明你的结论。[答案]11.（答案详见解析）12.（重庆市名校联盟2014届高三联合考试）如图所示，矩形的对角线交于点G，AD⊥平面，，，为上的点，且BF⊥平面ACE(1)求证：平面(2)求三棱锥的体积。[答案]12.（答案详见解析）13.（山西省太原市2014届高三模拟考试）如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（I）求证：AB1⊥AlC；（Ⅱ）求点C到平面AA1B1的距离.

[答案]13.（答案详见解析）14.（江西省重点中学协作体2014届高三第一次联考）如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD边长为2，侧棱AA1＝6．（1）点P在侧棱AA1上，若AP＝，求证：平面PBD⊥平面C1BD；（2）求几何体BA1C1D的体积．

[答案]14.（答案详见解析）15.(吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟考试)如图,是边长为的正方形，平面，，且.（1）求证:∥平面；（2）求证:平面平面（3）求几何体ABCDEF的体积[答案]15.（答案详见解析）16.(重庆一中2014年高三下期第一次月考)直三棱柱，棱上有一个动点满足.（1）求的值，使得三棱锥的体积是三棱柱

体积的；

（2）在满足（1）的情况下，若，，确定上一点，使得，求出此时的值.[答案]16.（答案详见解析）17.(山西省忻州一中、康杰一中、临汾一中、长治一中四校2014届高三第三次联考)在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点.(1)当，求证：⊥平面；(2)若,求三棱锥体积.[答案]17.（答案详见解析）18.(江西省红色六校2014届高三第二次联考)如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．⑴求证：平面EFG⊥平面PAD；⑵若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．[答案]18.（答案详见解析）19.（辽宁省大连市高三第一次模拟考试）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，为中点．（Ⅰ）求证；∥平面；（Ⅱ）三棱锥的体积．[答案]19.（答案详见解析）20.(湖北省武汉市2014届高三2月份调研测试)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA＝1，AD＝2，求三棱锥E-BCD的体积．[答案]20.（答案详见解析）21.(广东省广州市2014届高三1月调研测试)如图6，在三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且△为正三角形．（1）求证：平面；（2）若，，求点到平面的距离．[答案]21.（答案详见解析）22.(北京市东城区2013-2014学年度第二学期教学检测)如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明:：AC=BC；（Ⅱ）证明：AB⊥PC；（Ⅲ）若，且平面⊥平面,求三棱锥体积.[答案]22.（答案详见解析）23.(重庆市五区2014届高三第一次学生学业调研抽测)如图，四棱锥中，底面是菱形，，，,,,是的中点，上的点满足．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．[答案]23.（答案详见解析）24.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试)如图，已知四棱锥，底面是等腰梯形，且∥，是中点，平面，，是中点．（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.[答案]24.（答案详见解析）25.(山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试)如图，底面是等腰梯形的四棱锥E—ABCD中，EA平面ABCD，AB//CD，AB=2CD，ABC=．(I)设F为EA的中点，证明：DF//平面EBC；(II)若AE=AB=2，求三棱锥—CDE的体积．[答案]25.（答案详见解析）26.(广东省中山市2013-2014学年第一学期高三期末考试)如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于,四边形ABCD是正方形.（Ⅰ）求证；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.[答案]26.详见解析27.(河南省郑州市2014届高中毕业班第一次质量预测)

在三棱柱中，侧面为矩形，，D为的中点，BD与交于点O，侧面．(I)证明：；(Ⅱ)若，求三棱锥的体积．[答案]27.详见解析28.（吉林市普通高中2013—2014学年度高中毕业班上学期期末复习检测）如图，在四棱锥中，,,平面,为的中点，.(I)

求证：∥平面;

(II)求四面体的体积.[答案]28.详见解析29.（成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测）如图①，四边形ABCD为等腰梯形,AE⊥DC,AB=AE＝DC，F为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图②，且平面PAE⊥平面ABCE.

（I）求证：平面PAF⊥平面PBE;（II）求三棱锥A－PBC与E－BPF的体积之比．[答案]29.详见解析30.（重庆南开中学高2014级高三1月月考)如图所示，四棱锥中，底面为正方形，，，为线段上靠近的一个三等分点。（1）证明：；（2）求三棱锥的体积。[答案]30.答案详见解析31.(2013年山东省高三4月巩固性练习，19,12分)]如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.[答案]31.（1）如图所示，取AC的中点O，连接OB和.因为，，所以△是等边三角形，所以，又E为的中点，四边形是菱形，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又面⊥底面ABC，面底面ABC=AC，面，所以底面ABC.…….……6分（2）因为O为AC的中点，△ABC是等边三角形，所以，又面⊥底面ABC，面底面ABC=AC，面，所以面,又F是AB的中点，所以F到平面的距离等于B点到平面距离BO的一半，即，在等边三角形ABC中，可求得BO=，所以，又，，,所以的面积为，所以.……12分32.(2013重庆，19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=.(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.[答案]32.(Ⅰ)证明:因BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.(Ⅱ)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=·2·2·sin=.由PA⊥底面ABCD,得VP-BCD=·S△BCD·PA=··2=2.由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为PA,故VF-BCD=·S△BCD·PA=···2=,所以VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-=33.(2013四川，19,12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积.锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高[答案]33.(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l⊥平面ADD1A1.(7分)(Ⅱ)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1.又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,所以DE⊥平面AA1C1C.由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,所以在△ACD中,DE=AD=,又=A1C1·AA1=1,所以==DE·=××1=.因此三棱锥A1-QC1D的体积是.(12分)34.(2013福建，18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(Ⅰ)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(Ⅱ)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC;(Ⅲ)求三棱锥D-PBC的体积.[答案]34.解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4.正视图如图所示:(Ⅱ)取PB中点N,连结MN,CN.在△PAB中,∵M是PA的中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.(Ⅲ)VD-PBC=VP-DBC=S△DBC·PD,又S△DBC=6,PD=4,所以VD-PBC=8.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)取AB的中点E,连结ME,DE.在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD,∴四边形BCDE为平行四边形,∴DE∥BC,又DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.又在△PAB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴ME∥平面PBC,又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME,∴DM∥平面PBC.(Ⅲ)同解法一.35.(2013湖北，20,13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.(Ⅰ)证明:中截面DEFG是梯形;(Ⅱ)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V