插本高等数学-高数级数第11章

29常数项级数的概念和性 （1）(3n2)(3n1

1

33n 3n1 1n 1 所以Sn33k k1

3k1 3

3n11n

limSn

n3k1

1

3n

3n1 n1 （n1 1nn1

n1nn1nn

knkkn

k nnlimSn 1，因此由定义可知nn

1； n191；

109

n19 解：因为u1 ,un

10 9 9

9110

9 9n

1n1

1 10

k

9 9n limSn 1

n19

10 （4）

sinnπ6 解：因为an

6,a12,a2a1,a 3,

1，lim

0,lim

1，lim

n

n（1）1111；

解：观察发现该级数为3n，是发散的调和级数n3

11

32

，是收敛的两个等比级数 3n，3n，

n1

（3）1

1

1

；

解：观察发现该级数为

1

，是收敛的等比级数

与发散的 10n

n1

1313（4）13

1

．341n解：观察发现该级数一般项为u341n

11n n1n

30（1）

2n

；2 解：由于0un

n，而n （2）

2nsinππn 2nπn

2解：由于0

2n ,lim

1，而

3n

23 3

3n1 3（1）

2n；

12n11解：由于0

2n1,limun1

n

2n （2）

2n；nn

2n

2n1(n 解：由于0un

,limn1n

(n

2n （3）

ntanπ

tan解：由于0

n

π,limun1limntanπ

1

n

(n

(n

2n 解：由于0un

2n

,n

n2n1

3n1n n1

4n

n3n1n3n1n解：由于0un n

,

1，4n

n1n2n

2nn1n2nn1nnn 解：由于0

,limnnn

13pnn（1）n

n

1 0

n1limn21lim 1

1p1p n2

1

n1 p（2）

lnn5n4

．lnn

lnn

lnx 解：由于0un

,

n8

909n4

n4

x8x

n1n8p91pp8设kk 0k(2k 解：对(2n)!来说

1

(n

1n由于0u

,limn1

lim

01

n

n(2n

n2(2nk k(2kk

k

解：对 n1

2

1

(n

1n由于0u

,limn1

lim

0

n

nn

nkk22k(k

0k

k

31交错级数与任意项级数的收敛（1）

n2n2u

,

un2n1n2n12nn2n21且 1 n2n2再由于 n1，由p判别法知

n2

cos n

,x33 33

3,，由p判别法知， ,xR绝对收

n(1)nn1

0 0

nnnnn

lnx

lnx

xxxx

1n1解：由于

lim

1n

1

(n

1n2(n 1 xn2n1(n2n(2n1(nux0limu

2n(nxx2n(nxxn

n x2 n当x2时级数变为 nx2时级数变为

n1若limn2a

存在，证明an1n 1n证明：由已知limnlimn2a=limn2a nn

从而an 11

n绝对收敛，且an1n1,2,，试证：级数 a2 都收敛．级数

nn11a2n

n11证明：若级数an绝对收敛，则必收敛，由必要条件liman

a2由a1n1,2,，从而级数 n和 都有意义，nnn

1

1a211n 1而

=0，从而级数 n和 都收敛。

n11

n11a2级数 发散，因为lim1 1，收敛的必要条件不满足。n11

n132（1）

x2n1limannan1limannan1n2n1 2n 当x1时 x2n1即为 条件收敛从而收敛域为

n12n（2）

xnn13nRlimn

13n13n1

3n1113n11x3时

xn即为 ，由于

1从而级数发n13n因此收敛域为3,

3n

3n

n2 n3an

a0n2n2n3(n1)3(n1)2解：当0a1Rlimn

n2 n2nnx1时幂级数即为nn

3

，由于 nn

n1 nn2

n2当x

时幂级数即为

n3

，由于

n

an0n21n3

(n1)21(n1)3an从而级数收敛。因此收敛域当0a1时n2n2n3(n1)3(n1)2a1Rlimn

nn21

n2 xa时即为即为

n3an

，由于n

an

1从而当a1时收敛域为aa（4）

n

x2n1limannan1limannan1n1n1(n1) 当x2时 x2n1即为 条件收敛

n

从而收敛域为2, x

lim 2n2!!n 因此收敛域为,（6）

xn．n1nntn1nnna解：对于 ，Rlimna

tn

tn nnnn当t1时 即为 条件收敛，当t1时 即为 发散nnnn

1，收敛域为1tx514x xnnR

n21n1nx1时，即为

n1x1时即为n1从而幂级数的收敛域为

n设Sx n

1xx xSxxndx

dxln1x,x0

011ln1x,x[1,0)故Sx （2）nxn

limn 1n1nx1时，即为1nn从而幂级数的收敛域为

n

x Sx

x

x1x

1

2,x1,1 （3）2n!nnn1 (2n

从而幂级数的收敛域为(sx

，则s01sx

,s00,n0 n12nsx

sx，sxsxn12n由特征方程r210

1，得通解sxcexc 2再由s01s00,得特解sx1exex 2x （4）2n1，并求数项级数2n12n的limannlimannan1n2n 2n解：R

1x1时2n1从而幂级数的收敛域为

sx2n1，则s00sx

1x

1

sxsxdx1x2dx2ln1x,x 121,1,12

2s12ln212ln3222n1

2

2 233函数展开成幂级x（1）xe2

x

1 x

1 x

2x1

, , 2

2

2

x

x3

xn1

,x,cos2x 1 1cos解：cosx

1

2x2n,2x,1xet2dt0

2n11n1x2n,x,解：et21t21t22 1t2n

,t2,1t2 x

t4 t2n

t2n

,t,etdt1t2 0

t42n12n1x2n1,x, 3 5xarctanx(提示：利用arctanxx

dt x

01t

narctanx

dt1t2ndt

t2ndt 01t2

2nx2xx2

0

n0

x 解：2xx22x1x31x32x31x3 x1 1

x

2n xn

xn,x3

3n02

3将下列函数展开成xx0的幂级数（

3

x01； 解 3 2x 2

x11x

(x1)n,x2n02

n0sinx

xπ 2 解sinxsinx442sinx4cosx4 2

1n

1n

2n2(2n1)!x4

(2n)!x4

,x,

xsintdt sin 解： (2n

t2n,t,00,0x0

x

dt(2n

tdtn02n1(2tdt

x2n1,x,xarctantdt

t2n,t n02nxarctan

dt

x

t2ndt

x2n1,x

2n02ndex1

n02n 展开dx 为x的幂级数，并证明：n1!1． ex1

x解 x

,x,dex1

n1

n

dx n!

n!

(n1)!

,x,

从而

dex1xexexxexexn1n

n1(n

dx

34fx的周期为2πf（1）f(x)e2x

πxπ

fxdx

e2xdx

e21an1

e2xcosnxdx

e2x2cosnxnsin

21ne2e2

22

4n21bn1

e2xsinnxdx

e2x2sinnxncos 22

n1n1e2e2 4n2e2

1ne2e2f(x)

4n2

2cosnxnsinnx,xe2

1ne2e2

e2

4n2

2cosnxnsinnx

,x2f(x)sinx

πxπ a

fxdx sin 0

2cosx cos1nxcos1nx2

1

1

22an

sinxcosnxdx

1n2 b

sinxsinnxdx 2f(x)

1

cosnx,x,x（3）f(x)x

πx；0xπ；1 1 a0fxdxxdxdx sin1 sinanxcosnxdxcosnxdx 1

2 cosbnxsinnxdxsinnxdxnxdcoscos2

cos 2cos

1nnxdcosnx nxcosnx0cosnxdx sinn2 sinn

1n 11n2 1n

n 0 11n22f(x) 2

sinnx,x 11n2 fk0fk 22

sinnx

,x （4）f(x) 0x2π1 1a0fxdxxdx 1

1

1 an

xcosnxdxnxdsinnxxsinnx0sinnxdx 1

1

1bn

xsinnxdxnxdcosnxnxdcossinn sinn1

1

2

xcosnx

cosnxdx

2 nn 0n0 0f(x)2sinnx,x2kπ;2sinnx,xn1 n1fx2 f(x)2 3

πxπ1 1 解：a0 1

fxdxx

dx33an

cosnxdx331

1

bn

2sin3sinnxdxcos3nxcos3nx

1 1 9n2 31n13f(x)

9n2

sinnx,x,1f(x)1

πx0xπ

fxdx

1

exdx

dx

1e

1

sinn 1excosnxnsinnx sinnanecosnxdxx

cosnxdx

1 1e1n2

01

1exsinnxncosnx bn

exsinnxdx

sinsnxdx

1

0n1nnen

1n

e11nn21

1

1n21e

1e

e11nn2 f(x)

n1

1n2

1n2

sinx,（1）f(x)x2

0xanbn

2x2sinnxdx2

2

x2dcosnx

2x2cosnx

sinnx

sinnx

2cosnx

n1

41nn

41n4

f(x)

1n1

sinnx,x0,bna0

x2dx 2

x302

3

2

cosnxan

x2cosnxdx0

x2dsinnxn

x2sinn

n n2 2sinnx n f(x)

3

cosnx，x0,f(x)ex

0xanbn

2exsinnxdx2

2

exdcosnx

2exsinnxncos1n2

2n2ne 1n2 2n2nef(x)

1n2

sinnx,x0,bna0

2exdx2

2ex

2e 2 2an

excosnxdx

n

exdsinnx 2excosnxnsin1n2

2e1n 1n20e0

2e1nf(x)

1n2

cosnx，x0,35一般周期函数的傅里fx6的周期函数，它在f(x)2x

3x

0xfx1 1

12 a03fxdx32xdxdx3

31

1

3an32x

3dxcos3dxn2xd

2 31

3 3

03 63 2x

2

3dxn22

2nn1

1

3bn 2x3

dx33

dx

2xd 331

1

0

61n

dx

61n

n

n

3 3 6 3

f(x) 2

,x3(2k n1 n 3 6

2

2,x3(2k1);k n1 n 3 cosπx

xf(x) 0,1

x解：取T4作周期延拖在限定即可，函数为偶函数，故bn121a02

2fxdx22

πxdx2

πx

11

n+1

an

2

2dx2

0 11 n1

2 dxn10 11 1a12cosx1dx2 x

n12 1a n1sinn1n1sin(n1)x1 n21

0 0 n

(n1)

21k n21n

n2

4k2

21kf(x)2cos

k

4k2

coskx,x2,f(x)

0x2ll

x an 2l

2l

bnlx

dxllll2

dxnxd

(lx)d ll 2 n

nnxll00

dxl

lnxnx 2l2

2 l

n nxnxll0 2

l0l

dx

lll2

2

l

4lsin

n2 f(x)

4lsinnsinn

x0,ln1n2 bn2l

1 a

lxdx l l

l l l

l20ll22l20ll2

2l

anlx

dxllll2

dxnxd

(lx)d ll nxnxll0

xsinn

l0l

dx(lx)

lll2

nx 22nx 2

n

2l02l

dx

2ll2l2

nxll0 nxll0 2 n2

n222cos

1cosn f(x)l2l2cosn1cosncosn ， n22 f(x)x(4x0x48的正弦级数．an0bn

44244xx224

4

dx

2

4xx2d

4 424

16

4xx2

4

dx

n22

2xd444 4416

1222xsinn

4dxn33

f(x)

1n3

4

0，x0,0

第十一章《无穷级数》测试对级数an

lima0”是它收敛的 条件nn “部分和数列Sn有界”是正项级数an收敛的 条件 若级数an绝对收敛，则级数an必 若级数an条件收敛，则级数

必 收敛 （1）ln(n1) 1(x解：因为 1)nlimln(x1)1(x

n

3n4（23n4 解：因为 n3n3n4（3）

lnn2；nn n 2 解：因为 n2 ln n2

n

n n

1n（4）

n4

；n14

1n44

0

(n

n4 nn 1 n（5）nn2n 1 解：因为 nnn

nn1

1（6） ,a,b0；n1na解：因为 n nna na （7）

3n；nn

3n1n

n

3n

n1n1 （8）

ln

解：设

yx3x

， lnyx

ln3x1, ln

0lim3x3013x1x0limln3x1x

x

ln

nlimlnylimx

ln3x1,

ylimnn31

3ln

yx33x

，则lnyx

ln3x1 x xlimx33x1limnn3

n2而

1,p2

3

b（9）nbnban

aa,b均为正数，且limaaa n a nn

b

n 当ba1发散，当ba1该正项级数收敛当ba1不能判定敛散性。（10）

x1n0x2dxx1n1解：由积分中值定理0xx2xx2

dxxx2xx2

1

1,01 从而00

dx nnx x1n有比较判别法1n

0x2dx (1)（1）nlnn解：令fx

，则fx

1x

0x1xln

xln从而u 单碟减少，又 nln nnln (1)从而以来布尼茨判别法nlnn但是 n1，因此是条件收敛而不能绝对收nnlnR2R2 R2R2unsin

1n1sinπn

R2n21n

n Rn R2

单碟减少且limunn R2

R2R2 sin 收

但是 n

n R2

n

R2n2 （3）

sinπn

1sinπ （4）

(1)n1sinx,xn解：去掉前面有限项即当n

n，对足够大的n,

单碟减少且limuxnx xnx

n从而以来布尼茨判别法

(1)n1sinxx0n（1）

1nkn

1k1 1nnk13 k解：由于

1kk

单调增加且kk

1kk

ee21n1 1

1ne

e13从而0

0,nnk13k k

nk13

13nk因此 准则lim11nk

1k nnk13 k 1

1（2）lim23498272n 1 1n3

3nkk k解：令yn2349827

2k13k，由于

k

k

k1 x

k

看 k

k1

xk

x1x

1

2,x

1 从而

，因此lim2349827

k1

1

n 3 3 （1）

3n n13n

x1nn解：看n

tn3n3n2n1n1n13(n1)2nnnR n

3n2n

1而

2 2

1，收敛域为1x113xn（2）n

p0

n1n

n

lim1n1p

11npp1时收敛域为[1,1；当0p1时收敛域为[1,1；当p0时收敛域为(1,1)1np（1）n(n1)xn

limnn11n1n1n

1考虑端点则知收敛域为(1,1 在收敛域sxn(n1)xn，则sxdxnxn1x2

在收敛域内再设gxnxn1，则

gxdxxn

1

,gx

1

sxdxnxn1

1

,sx 2

1x（2）4n14n414n41n4n4n考虑端点则知收敛域为(1,1

x411 在收敛域sx4n1

sx

1

1x41,s0x 1x1 1

1sxsxdx221 2dxx

0

1x

1x

1

解：由于ln1x 1nxn,ln1x

1

n

1xln1x

n

xn1

n

xn2

n

xn1

x111nxn1x

2