2023届安徽省安庆四中学九年级数学第一学期期末经典试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x≤ B．x≥ C．x≤ D．x≥2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．10 B．12 C．16 D．183．使关于的二次函数在轴左侧随的增大而增大，且使得关于的分式方程有整数解的整数的和为（）A．10 B．4 C．0 D．34．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（）A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥5．二次函数的顶点坐标是（）A．（-2,3） B．（-2，-3） C．（2,3） D．（2，-3）6．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣2）2+37．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则cosA可表示为（

）A． B． C． D．8．下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（）A． B．C． D．9．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到49万元．设平均月增长率为x，根据题意可列方程是（）A．25(1+x%)2=49 B．25(1+x)2=49C．25(1+x2)=49 D．25(1-x)2=4910．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是A．1：16 B．1：6 C．1：4 D．1：2二、填空题(每小题3分,共24分)11．定义为函数的“特征数”如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，在平面直角坐标系中，将“特征数”是的函数的图象向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的“特征数”是_______.12．若二次函数的图像经过点，则的值是_______．13．某一时刻，测得一根高1.5m的竹竿在阳光下的影长为2.5m．同时测得旗杆在阳光下的影长为30m，则旗杆的高为__________m．14．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，用表示这三个数中最小的数，例如，.请结合上述材料，求_____.15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为__________．16．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．17．若，则______.18．从这九个自然数中，任取一个数是偶数的概率是____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF=BC，（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，=，求CE的长．20．（6分）如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）21．（6分）（2011四川泸州，23，6分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，1．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．22．（8分）用一块边长为的正方形薄钢片制作成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合起来(如图②)．若做成的盒子的底面积为时，求截去的小正方形的边长．23．（8分）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝1，则AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图1，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝1．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．24．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．25．（10分）甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.（1）求摸出的2个球都是白球的概率.（2）请比较①摸出的2个球颜色相同②摸出的2个球中至少有1个白球，这两种情况哪个概率大，请说明理由26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；

（2）分别写出顶点A关于x轴对称的点A′的坐标、顶点B关于y轴对称的点B′的坐标及顶点C关于原点对称的点C′的坐标；

（3）求线段BC的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可求解.【详解】依题意得2-4x≥0解得x≤故选A.【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数.2、C【解析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长【详解】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，∴OA==8，∴AE=2OA=16；故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．3、A【分析】根据“二次函数在y轴左侧y随x的增大而增大”求出a的取值范围，然后解分式方程，最后根据整数解及a的范围即可求出a的值，从而得到结果．【详解】∵关于的二次函数在轴左侧随的增大而增大，，解得，把两边都乘以，得，整理，得，当时，，，∴使为整数，且的整数的值为2、3、5，∴满足条件的整数的和为．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质与对称轴，解分式方程，解分式方程时注意符号的变化．4、D【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．【详解】解：主视图和左视图都是三角形，此几何体为椎体，俯视图是一个圆，此几何体为圆锥．故选：D．【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．5、B【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：∵二次函数的顶点式为y＝-2（x＋2）2−3，

∴其顶点坐标为：（−2，−3）．

故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标特征是解答此题的关键．6、C【解析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【详解】解：提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+1．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx＋c，顶点式：y=a(x-h)2+k；两根式：y=7、C【解析】解：cosA=，故选C．8、D【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】A.，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误；B.，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项错误；C.，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D.），属于因式分解，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．9、B【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设利润的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．【详解】解：依题意得七月份的利润为25（1+x）2，

∴25（1+x）2=1．

故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．10、D【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：两个相似三角形的面积比是1：4，两个相似三角形的相似比是1：2，两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】首先根据“特征数”得出函数解析式，然后利用平移规律得出新函数解析式，化为一般式即可判定其“特征数”.【详解】由题意，得“特征数”是的函数的解析式为，平移后的新函数解析式为∴这个新函数的“特征数”是故答案为：【点睛】此题主要考查新定义下的二次函数的平移，解题关键是理解题意.12、1【分析】首先根据二次函数的图象经过点得到，再整体代值计算即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，

∴，

∴，

∴==1，

故答案为1．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单．13、1．【解析】分析：根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．详解：∵==，解得：旗杆的高度=×30=1．故答案为1．点睛：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．14、【分析】找出这三个特殊角的三角函数值中最小的即可.【详解】，，∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及最小值等知识，解题的关键是熟特殊角的三角函数值．15、【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∴===,∴的长等于⊙O周长的四分之一，∵⊙O的半径为6，∴⊙O的周长==，∴的长等于，故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键.16、2：1．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，∴它们对应中线的比．故答案为：2：1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.17、【分析】利用“设法”表示出，然后代入等式，计算即可．【详解】设，则：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出是解题的关键．18、【分析】由从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：这九个自然数中任取一个有9种情况，其中是偶数的有4种情况，从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是：．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．三、解答题(共66分)19、（1）证明见详解；（2）.【分析】（1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．

（2）根据AC=4，=，求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出，求出即可．【详解】（1）答：BC与⊙O相切．

证明：连接AE，

∵AC是⊙O的直径

∴∠E=90°，

∴∠EAD+∠AFE=90°，

∵BF=BC，

∴∠BCE=∠BFC=∠AFE，

∵E为弧AD中点，

∴∠EAD=∠ACE，

∴∠BCE+∠ACE=∠EAD+∠AFE=90°，

∴AC⊥BC，

∵AC为直径，

∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵⊙O的半为2，

∴AC=4，

∵=∴BC=3，AB=5，

∴BF=3，AF=5-3=2，

∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，

∴△AEF∽△CEA，

∴∴EC=2EA，

设EA=x，则有EC=2x，

由勾股定理得：，∴（负数舍去），

即.【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．20、作图见解析.【解析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得【详解】如图所示，点P即为所求作的点.【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.21、解：（1）；（2）．【分析】（1）根据题意画出树状图，根据树状图进行解答概率；（2）用列举法求概率．【详解】解：（1）画树状图得∴一共有12种等可能的结果，取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况，∴取出的3个小球的标号全是奇数的概率是：P(全是奇数)=（2）∵这些线段能构成三角形的有2、4、3，7、4、8，7、4、1，7、5、3，7、5、8，7、5、1共6种情况，∴这些线段能构成三角形的概率为P(能构成三角形)=【点睛】本题考查概率的计算，难度不大．22、截去的小正方形长为【分析】根据题意设截去的小正方形长为，并由题意列方程与解出方程即可.【详解】解:设截去的小正方形长为，依题意列方程解得:(舍去)答:截去的小正方形长为.【点睛】本题主要考查正方形的性质和一元二次方程的应用，只要理解题意并根据题干所给关系列出方程即可作出正确解答．23、（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为．【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝1，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF＝1，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，∴AP+BP的最小值为；故答案为：；(2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝1，BF＝2，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝，∴AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；(3)如图3，延长OC，使CF＝1，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝1，FC＝1，∴FO＝8，且OP＝1，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝1，FM＝1，∴MB＝OM+OB＝1+3＝7∴FB＝，∴2PA+PB的最小值为．【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..24、（1）k＜（1）1【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．（1）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意