向量的模长问题几何法

向量的模长问题一一几何法一i、基础知识：rr一.，1、向量和差的几何意义：已知向量a,b,则有：..rrrr，一rr一rr.(1)若a,b共起点，则利用平行四边形法则求ab,可得ab是以a,b为邻边的平行四边形的对角线..rrrr,一rrrr一(2)右a,b首尾相接，则利用三角形法则求出ab,可得ab,a,b围成一个三角形r2、向重数乘的几何息义：对于a一.一.r.r...r.r(1)共线(平行)特点：a与a为共线向量，其中0时，a与a同,,r,r一，向；0时，a与a反向rr(2)模长关系：a||||a3、与向量模长问题相关的定理：(1)三角形中的相关定理：设VABC三个内角A,B,C所对的边为a,b,c①正弦定理：△-上工sinAsinBsinC②余弦定理：a2b2c22bccosA(2)菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60o的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。(3)矩形：若四边形ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中

的几何知识处理模长二、典型例题：例1:（优质试题届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知，一rr,,,_,一rrr_r向量a,b的夹角为45°,且a1,2ab闻，则b（）A.2B.2C.22D.3,2思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知AB2,B了ACJ10,只需利用余弦定理求出|BC即可。r解：如图可得：bBC|,在VABC中，有：ACABBC2AB||BCcosB2BCcos-0解得BC372或2BCcos-0解得BC372或BC22阳BCBC匹（舍）一r一所以b3历,答案：选D例2：若平面向量a,b,c两两所成的角相等，且abi,c3,则abc等于（A.2A.2B.5C.2或5D.,2或，5rrrrrr思路：首先由a,b,c两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是a,b,c一，，一一.rrr,一…一，_._.同向（如图1,此时夹角均为0）,则abc为5,另一种情况为两两rr夹角红（如图2）,以ab1为突破口，由平行四边形法则作图得到3rr.rrrrr一.r一.ab与a,b夹角相等，aba1（底角为60°的菱形性质），且与c反向,

rrr进而由图得到abc2,选C答案：C才'才'M~r…..一rr一，rr一.rr…一....一一例3:已知向重a,b,且|a1,b2,则2ba的取值氾围是（）A.1,3B,2,4C.3,5D.4,6......rrr..r思路：先作出a,即有向线段AB,考虑2ba,将2b的起点与A重合，rrr终点C绕A旋转且AC|2b4,则12ba|即为|BC|的长度，通过观祭可rrrrrr得C与A,B共线时2ba达到最值。所以2ba5,2ba3,且Imaxminrr一rr一一....2ba连续变化，所以2ba的取值范围是3,5:范4箕答案：C例4：设a,b是两个非零向量，且abab2,则〔ab.rrrr.思路：可知a,b,ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由abab2可知满一r

r足条件的只能是底角为60°,边长a2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为:3a23答案：2.3...rr...rrr例5:已知a,b为平面向重，右arfra—,则十（4br.rrr.rb与a的夹角为百，ab与b的夹角为A.彳B.C.A.彳B.C./5D.,63.rrrr.思路：可知ab,a,b为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在TOC\o"1-5"\h\zVABD中，r,r.、ABa,ADb,ABD-,ADB—,由正弦34定理可得：黑sinADB，逅『ADsinABD而-3'b3答案：D例6：已知a,b是单位向量，且a,b的夹角为—，若向量c满足3r|Ca2b|2,则1r|的最大值为（）A.23B.23C..72D..72思路：本题已知a,b模长且夹角特殊，通过作图可得器a为模长为代，

irrrrurrirrriruurr设mc2ba,则可得|m2且cm2ba,而m可视为以2ba共r一起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得c的ir最大值为2址（此时m的终点位于A点）答案：A例7:在VABC中,所在平面内的一点，且uur例7:在VABC中,所在平面内的一点，且uur3.3,BuC6,设D是AB的中点，O是VABCuur3OAuuuuuur2OBOCuuur,,..口uuur,,..口DO的值是（A.1B.2D.2C.思路：本题的关键在于确定O思路：本题的关键在于确定O点的位置,从而将器与已知线段找到联「«uuruuuuuinr系，将30A2OBOC0考虑变形为uuruuuuuruuuuuuuuuruuuruuu口uuruuu1uuu、方3OA2OBOC3OAOBOBOCCB,即OAOB」CB,设3OuOAOB,则O,D,E三点共线，且OE//BC,所以由平行四边形性质—r/曰—r/曰uuur可得：OD1uur-OE2答案：Br例8:已知向重r例8:已知向重are,1,对任意的tR，恒有ate的值为思路：本题以rterriuu思路：本题以rterriuuae作为突破口，通过作图设ABruuurra,ACe,D.一.uuurr，一直线l上一点，则有ADte。从而可得BD||BC,所以C点为直线l上到B距离最短的线段，由平面几何知识rrr一一.可得最短的线段为B到l的垂线段。所以BCI,即eae,所以有rrreae0

rrrr.,ate,aerrrr.,ate,ae在图上的位置和两个小炼有话说：本题若用图形解决，找到向量的联系是关键rrr例9:已知平面向重a,b,crr满足a1,b.r..一..，一的夹角为60°,则rrr例9:已知平面向重a,b,crr满足a1,b.r..一..，一的夹角为60°,则c的最大值是一.，rrrr思路：由a,b条件可得a,b夹角的余弦值rrab1c°srr一120°,若用代数方法处理夹即DCB60°,从而,一rrrr1,右向重ac,bc角60°的条件，则运算量较大。所以考虑利用图»、ruujruuurruuurrtunrrruuur形，设ABa,ADb,ACc,贝UcDbc,CBaDCB180°,可判定A,B,C,D四点共圆,则rc,AC的最大值为四边形ABCD外接圆的直径，即VABD的直径。在VABD中，由余弦定理可得:BDd2R答案:ABBDADsinBAD2、.21322ADBDd2R答案:ABBDADsinBAD2、.21322ADIIABc°s2、213max7,所以|BD行，由正弦定理可得:小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。例10:（优质试题年，浙江，16）已知平面向量11rLi0」"满足厂卜1,ir,irirur一一一一一且与的夹角为120°,则的取值范围是

思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求UrLTLTlr,,,解。从图中可观祭到，，构成VBCD,一■一,一「、、,・urC60°,从而可利用正余弦7E理求出即CD|的取值范围解：在VBCD中，由正弦定理可得：TOC\o"1-5"\h\zUTU1lBDlCDsinCsinDBCsinCsinDBCur1r1sinDBC‘sinDBCsinCV32-3sinDBC2-3sinDBC▼2而DBC0,—3sinDBC0,1ur2国sinDBC答案：:|的取值范围是。邛小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下:g4时rr2r2rrr2例1:解：2ab4a4abb44bcosa,bb210b22J2|b60,解得b3&例2:解:rrr2r2r2r2rrrrrrabcabc2ab2bc2acrrrQa,b,c夹角相同当aIC同向时，可得：bC225,所以arrr2rr1rr当a,b,c两两夹角2-时，可得ab1,bc32abr24,所以abc2rcraJ3-23-25综上所述:例3:解:r2br24br4a174abcosta,b)17rr8cos：a,brr.因为cos：a,b：，1,1r2b9,25即2b3,5例4:解:2可得T2br2a代入r2a12例8：解：以B为原点,BC为x轴建立直角坐标系。所以C6,0UUU9则OA923