不定积分的概念课件

第四章不定积分

4.1不定积分的概念与性质

第四章不定积分4.1不定积分的概念与性1教学目标:1、理解原函数和不定积分的概念2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式教学重点：综合运用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分。教学目标:1、理解原函数和不定积分的概念教学重点：综合运2§4.1不定积分的概念一、不定积分的概念二、不定积分的性质三、直接积分法

§4.1不定积分的概念一、不定积分的概念3

早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长度等等．其中某些问题甚至得到了解决．例如，阿基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里(Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算得到的相同结果．费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系．但当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具有普遍意义．直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．前言早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累积计算的重要性4例一、不定积分的概念定义4.1P99例一、不定积分的概念定义4.1P995问题：(1)在什么条件下，一个函数的原函数存在？如果存在，是否唯一？(2)在已知某函数的原函数存在，怎样将这个原函数求出来。问题：(1)在什么条件下，一个函数的原函数存在？如果存在，6定理4.1（原函数存在定理）即连续函数一定有原函数！初等函数在其定义区间内一定有原函数。P99定理4.1（原函数存在定理）即连续函数一定有原函数！初等函数7定理4.2例P99定理4.2例P998任意常数积分号被积函数(不定积分的定义)被积表达式积分变量

定义4.2

P100任意常数积分号被积函数(不定积分的定义)被积表达式积分变量9

例1

因为sinx

是cosx

的原函数,所以

如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例1因为sinx是cosx的原函10

如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例2如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例211不定积分的几何意义：.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.

P100不定积分的几何意义2x的积分曲线通常把函数f(x)的原函数y=F(x)的图形叫做f(x)的一条积分曲线。那么f(x)的所有积分曲线构成的曲线族y=F(x)+C称为f(x)的积分曲线族.

不定积分的几何意义：.函数f(x)的不定积分12设通过点(1,3),

且其切线斜率为

2X的曲线方程.

练习P103.2

例3

设通过点(1,3),且其切线斜率为2X的曲线方程.练13P103--2P103--214§4.1.2不定积分的性质

一、不定积分的性质二、基本积分公式§4.1.2不定积分的性质

一、不定积分的性质15由不定积分的定义，可知，或

，或

性质4.1：P101一、不定积分的性质性质4.2：由不定积分的定义，可知，或，或性质4.1：P1016性质4.3性质4.4性质4.3性质4.4174.1.3直接积分法P1014.1.3直接积分法P10118

例5

例4

例6

例5例419

堂上练习:

堂上练习:20

堂上练习:

P102例5

堂上练习:P102例521

P102例6

P102例622

P102--例7

P102--例723P102--例8tanxxC.

P102--例8tanxxC.24P102--例9P102--例925

补充例

补充例26第四章不定积分

4.1不定积分的概念与性质

第四章不定积分4.1不定积分的概念与性27教学目标:1、理解原函数和不定积分的概念2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式教学重点：综合运用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分。教学目标:1、理解原函数和不定积分的概念教学重点：综合运28§4.1不定积分的概念一、不定积分的概念二、不定积分的性质三、直接积分法

§4.1不定积分的概念一、不定积分的概念29

早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长度等等．其中某些问题甚至得到了解决．例如，阿基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里(Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算得到的相同结果．费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系．但当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具有普遍意义．直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．前言早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累积计算的重要性30例一、不定积分的概念定义4.1P99例一、不定积分的概念定义4.1P9931问题：(1)在什么条件下，一个函数的原函数存在？如果存在，是否唯一？(2)在已知某函数的原函数存在，怎样将这个原函数求出来。问题：(1)在什么条件下，一个函数的原函数存在？如果存在，32定理4.1（原函数存在定理）即连续函数一定有原函数！初等函数在其定义区间内一定有原函数。P99定理4.1（原函数存在定理）即连续函数一定有原函数！初等函数33定理4.2例P99定理4.2例P9934任意常数积分号被积函数(不定积分的定义)被积表达式积分变量

定义4.2

P100任意常数积分号被积函数(不定积分的定义)被积表达式积分变量35

例1

因为sinx

是cosx

的原函数,所以

如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例1因为sinx是cosx的原函36

如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例2如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例237不定积分的几何意义：.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.

P100不定积分的几何意义2x的积分曲线通常把函数f(x)的原函数y=F(x)的图形叫做f(x)的一条积分曲线。那么f(x)的所有积分曲线构成的曲线族y=F(x)+C称为f(x)的积分曲线族.

不定积分的几何意义：.函数f(x)的不定积分38设通过点(1,3),

且其切线斜率为

2X的曲线方程.

练习P103.2

例3

设通过点(1,3),且其切线斜率为2X的曲线方程.练39P103--2P103--240§4.1.2不定积分的性质

一、不定积分的性质二、基本积分公式§4.1.2不定积分的性质

一、不定积分的性质41由不定积分的定义，可知，或

，或

性质4.1：P101一、不定积分的性质性质4.2：由不定积分的定义，可知，或，或性质4.1：P1042性质4.3性质4.4性质4.3性质4.4434.1.3直接积分法P1014.1.3直接积分法P10144

例5

例4

例6

例5例445

堂上练习:

堂上练习:46

堂上练习:

P102例5