极限求法综述 毕业论文

毕业论文学生姓名学号学院数学科学学院专业数学与应用数学题目极限求法综述指导教师2010年11月摘要：极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法，1：利用两个准则求极限，2:利用极限的四则运算性质求极限，3:利用两个重要极限公式求极限，4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限，6：利用无穷小量的性质求极限，7：利用等价无穷小量代换求极限，8：利用导数的定义求极限，9：利用中值定理求极限，10：利用洛必达法则求极限，11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限，13：利用泰勒展开式求极限,14：利用换元法求极限。关键词：夹逼准则，单调有界准则，函数的连续性，无穷小量的性质，洛必达法则,微分中值定理，定积分，泰勒展开式.Abstract：Mathematicalanalysisofthelimithasbeenafocusofthecontent,whiletheseriestoLimitcanbedescribedasdiverse,andconcludedbyinduction,wesetouttherequirementsofsomecommonlyusedmethod.Thispapersummarizesthemathematicalanalysisoffourteenmethodsoflimit,1:Limitofusingtwocriteria,2:theuseofarithmeticnatureofthelimitsoftheLimit,3:LimituseoftwoimportantlimitoftheFormula4:Usingasinglesideofthelimitoflimit,5:Usingthecontinuityoffunctionsoflimit,6:thenatureoftheuseoflimitinfinitesimals,7:SubstitutionofequivalentlimitInfinitesimal,8:UsingthedefinitionofderivativeoftheLimit,9:Usingthevaluetheoremoflimit,10:UsingtheLimitHospital'sRule11:theuseofthedefiniteintegralsummationtypelimit,12:ConvergenceofthenecessaryconditionsusingtheLimit,13:LimitofusingtheTaylorexpansion,14:theuseofMethodsubstitutionlimit.Keywords:Squeezeguidelines,criteriaforboundedmonotonefunctioncontinuity,thenatureofinfinitesimals,Hospital'sRule,MeanValueTheorem,definiteintegral,theTaylorexpansion.目录一、引言二、极限的求法2.1：利用两个准则求极限2.2:利用极限的四则运算性质求极限2.3:利用导数的定义求极限:利用两个重要极限公式求极限…:利用级数收敛的必要条件求极限2.6：利用单侧极限求极限2.7:利用函数的连续性求极限2.8:利用无穷小量的性质求极限……2.9:利用等价无穷小量代换求极限…2.10:利用中值定理求极限2.11:洛必达法则求极限2.12:利用定积分求和式的极限2.13:利用泰勒展开式求极限2.14:换元法求极限结论参考文献致谢数学分析中极限的求法综述

—、引言：极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率口的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K.(T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在'=%处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。二、极限的求法：2.1：利用两个准则求极限。(1)函数极限的迫敛性(夹逼法则)：若一正整数N,当n>N时，有七V*<Z且limxlimx=limzxT8XT8_a，「则有利用夹逼准则求极限关键在于从X的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列'y｝和'，,使得y<X<ZoL/|口IJI久IPvl-EELl-lJZUnIin，1^^I寸nnn。_1+1+例[1]n<n2+1v'n2+2求Xn的极限解：因为Xn单调递减，所以存在最大项和最小项

<n2+n\；n2+n1n+——=—\：n2+nn2+n^<1+1**1=nn萼n2+1<n2+1v'n2+1<n2+1JI_<x<2L贝gv'n2+nn顼n2+1lim"一=lim<n2+n\；n2+n1n+——=—\：n2+nn2+n利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：［1］证明下列数列的极限存在，并求极限。y=\a,y=Ja+扃,y=寸a+Ja+插,,y=寸a+^a+\［a++Ja证明：从这个数列构造来看yn显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为^=,侦和M,,yn=卯+%所以得yn2=a+yn_1.因为前面证明'〃是单调增加的。两端除以y<a+1yn得nyn•一a＜打a+1＜拓+1

因为yn两端除以y<a+1yn得nyn4a<y<s[a+1即yn是有界的。根据定理*n^有极限，而且极限唯一。limy=llimy2=lim(y+a)令nT8n人Jnsnmsn1

TOC\o"1-5"\h\zl_1+<4a+1则12_l+a.因为七>°，解方程得2一1+\4a+1limy_1_所以n手"22.2:利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下：若limf(x)_Alimg(x)=Bf0f0limf(x)土g(x)]_limf(x)土limg(x)_A土Bf_上+上+(4)已知n1x22x3*0x*0limf(x)-g(x)]_limf(x)-limg(x)_A-Bf0xf_上+上+(4)已知n1x22x3\o"CurrentDocument"f(x)limf(x)Alim_x^x_x-x0g(x)limg(x)Bx-x0limc-f(x)_c-limf(x)_cA(c为常数)xfxf上述性质对于x—3,x—+3,x—-3时也同样成立总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和(或积)为有限项。例；求极限%2-1lim(1)x-12x2-x-1lM1+x—2⑵x-3x-3lim(-l--^)+GE'求limx„n—3(3)x—-1x+1x3+1

TOC\o"1-5"\h\zX2-13+l)(x+GE'求limx„n—3limlimlim—解：(1)XT12X2-——2-lim(x-H)•ctg2x=H2」X—=X—1(X-1)(2X+1)=x-12X+1=3limE-2limEX-2)士X+2)lim——1⑵X—3X-3=X-3(X-3)(\/H+2)^=x-3(x-3)(\177+2)=4——2lim(x-H)•ctg2x=H2」X—X2-X-2lim=X—-1X3+1lim(X+1)(X—2)

=X2-X-2lim=X—-1X3+1tg2x-tg(2•；)HlimX-2=X—-1X2-X+1=_1x=1+1+(4)因为n1x22x31+(n-1)xn111111=1—+———+———+——223344111.1+—=1——n一1n一1nnlimX所以n“n-lim(1-—)=1、nns2.3：利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在X0附近有定义，％X'则口，=f(x0+口x)-f(X0)lim口》=limf(X0+UX)一f(X0)如果□x—0口XL—0qX存在，则此极限值就称函数f(x)在点X0、f/(x)=limf(X0打X)一f&数记为f/(X。).即0Ox—0DX在这种方法的运用过程中。的导首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点X0的导数。Hlim(x一一)•ctg2x例：求x—h2解：取f(x)=屹2X.则1tg2x1tg2xlim-^-正丸x-；x-2limHX—-2f(x)-fG)limx-丸2'“2-Kx-—21丸f/(])=(2sec22x)1丸x=—22.4:利用两个重要极限公式求极限两个极限公式(A)limSinx=1(B)lim(1+1)x=exT0xxsx但我们经常使用的是它们的变形：sin顿x)(A，)lim=1,(顿x)—0)顿x)(B，)lim(1+1)职x)=e,(顿x)T3)顿x)在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求下列函数的极限[4]lim<limn—0[nsxxxcos—cos——cos——22223xcos——2nlim(1-挡)m⑵m*m2xxxcoscoscos解：(1)22223xcos——2n12sin—2nxxxsinxcoscos—cos-22223cosxsin三2n2n1sinx2nsin—2nxlimcos—xxcos——cos—2223cos——2nlim<limx—lim<limx—0[nsxxxcos—cos——cos——22223x

cos——>2nlimx—0sinxx=1=lim—n—s2n1sin——sinxx2nsinxlim2nsinn—sx2?sinx=x22m2pn2m2〜nl、lim(1-——)mlim(1-——)—准”—m2)lim(1-——)—«2°(—m)(2)mT8m2=m—8m2=m—sm2=e0=12.5:利用级数收敛的必要条件求极限耳一利用级数收敛的必要条件：若级数〃=1n收敛，则七—0以—8?运用这个方A法首先判定级数〃一1n收敛，然后求出它的通项的极限nlim求n—8nn_nnlim求n—8nn解：设“"亦a(n+1)n+1(n!»lim—n+1——lim则n—san—sL(n+1)!巾nnlim—-(1+L)n=n—sn+1n=0<1*a由比值判别法知n——1〃收敛nnlim由必要条件知n—sVn/=02.6：利用单侧极限求极限形如：1求含的函数x趋向无穷的极限，或求含ax的函数x趋于0的极限；求含取整函数的函数极限；⑶分段函数在分段点处的极限；⑷含偶次方根的函数以及arctanx或arcctanx的函数，x趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。Ixsin1,x>0f(x)=[x例：h+x2,x<°求f(x)在x=0的左右极限解limx-sin—”1limx-sin—TOC\o"1-5"\h\zx顼-x=1limf(x)=limf(x)=1x—，0+x—0-limf(x)=1xT02.7：利用函数的连续性求极限(i)若f(x)在x=x处连续，则limf(x)=f(x)0xTx00即：(ii)若f[<p(x)]是复合函数，又lim中(x)=】且xTxf(u)在"=a处连续，则limf聊(x))=f[lim里(x)]=f(a)xt%xt%这种方法适用于求复合函数的极限。如果u=g(x)在点x0连续g(x0)=u0，而y=f(u)在点x0连续，那么复合函数y=f(g(x))在点x0连续。即

lim/(g(x))=/(g(x))=/(limg(x))limXTX00XTX0也就是说，极限号XTX0可以与符号f互换顺序。limln(1+L)x例：求xTx(1+1)x解：令y=lnu,u=例：例：u=limln(1+L)x=e因为Inu在点0xtx处连续所以lim所以limln(1+L)xxT3XInlim(1+上)xX|_XT3儿=lne=12.8：利用无穷小量的性质求极限:Inlimf(x)=0xTx八无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果(x-S,x),(x,x+3)右臾limf(x)=0xTx八limf(x)-g(x)=0xTx0.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。limsinlimsinx解：因为sinx|<1lim1=0xT3x「sinxlim所以xT8x=02.9：利用等价无穷小量代换求极限：定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当xt0时，下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有:〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜in(1+x)〜ex-1说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)T0)，仍有上面的等价关系成立，例如：当xT0时，e3x-1〜3x；ln(1-x2)〜—x2。定理4如果函数f(x),g(x),f(x),g(x)都是x—x时的无穷小，且f(x)〜JAHJ-J—|J\/>C?\/7«/]\/>。]\/日/0》J4，-I~L-Jl人/f(x)，g(x)〜g(x)，则当lim¥)存在时，lim华)也存在且等于11xtx0g1(x)xtx0g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)li^^—，即limJ=li^^—。xtx0g](x)xtx0g(x)xtx0g1(x)'t1等价无穷小量：当Z时，称y,z是等价无穷小量：记为yz在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。x4+x3limxxT0(sin—)3例：求2解：.xxsin-2口2x4+x3x4+x3limlimxt0(sin2-)3xt0(x)3x4+x3limxt0x38=82.10:利用中值定理求极限：1：微分中值定理：若函数f(x)满足(i)在脱,对连续.(ii)在(a,b)可导;则在(a,b)内至少存在一点&，使f危)sin(sinx)一sinxlim例［2］：求xtOsin(sinx)-sinx=(sinx-x)-cosb•(x-sinx)+x］^解(0<9<1)sin(sinx)-sinx

limXT0x3(sinx-x)-cos(0-(x-sinx)+x]limx3—xT0cosx-1cos0-lim=xr03x2「-sinxlimxT06x1—=6x32：积分中值定理：设函数f(x)在闭区间方"］上连续;g(x)在方对上不变号且可积，则在久b］上至少有一点&使得屋(x)-&⑴=f(提."⑴办例：求lim口4sinnxdx解例：求lim口4sinnxdx解:lim七•一,4sinnxdxlimsixn-顷(—-0)=n*42.=011:洛必达法则求极限：2.定理：若limf(x)=0,limg(x)=0xTx°xTx°f与g在x0的某空心邻域"0(x0)内可导，且g'(x)^0limf(x)=A(A可为实数，也可为±8或8),则QxTx0g'(x)f(x)f'(x)

lim=lim=AxTx0g(x)xTx0g(x)此定理是对0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。0

注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为0,-时不可求导。082、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当limZ-^不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。「lnsinmxlim例[1]:(1)求x^olnsinnxlimxx(2)求x项+解：(1)由limlnsinmx=limlnsinnx=-8x—»0x—08所以上述极限是8解：(1)由「lnsinmxmcosmx-sinnxmsinnxlim；lim；—limxtolnsinnx=x-0ncosnx-sinmx=nx^0sinmx=1limxx⑵x-0+它为00型由对数恒等式可得xx=exlnxlimxx_limxlnxx—0—ex-0++limx-lnx=lim^-^=0x—0+x—0+xlimxxx-0+=e0=12.12：利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和

式表示成f(x)在某区间脱,曰上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限。2.fLn-n工例：求n”|_nn2+12n2fLn-n工例：求n”|_nn2+12n2+22n+n2+(n-1)21*n*n**n解：由于nn2*12n2*22n2*(n-1)21*1*f2-1]2In)1*可取函数f(x)1*x2区间为I。，1］上述和式恰好是f(x)=1*X2在h』］上n等分的积分和。1n、n,所以!咔,E*E**n2*(n-1)2limnsn1*(?1*2-1)2

nJj1—-—dx=01*x2兀=42.13:利用泰勒展开式求极限泰勒公式是本章的一大难点，大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦