最新北师大版八年级数学上册课件：-27-第1课时-二次根式及其化简

第二章

实数2.7二次根式（第1课时二次分式及其化简）2022/12/261第二章2.7二次根式2022/12/2011.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）学习目标2022/12/2621.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）学习目标202情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？导入新课2022/12/263情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”----中科院数学与系统科学研究院李邦河2022/12/264通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特复习引入问题1

什么叫作平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.问题2

什么叫作算术平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用表示.问题3

什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.复习引入问题1什么叫作平方根?一般地，思考

用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为Sm2，则边长为_____m．(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．图图思考用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．2022/12/267（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：问题1

这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2

这些式子有什么共同特征？讲授新课二次根式的概念及有意义的条件知识点12022/12/268问题1这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，归纳总结

一般地，我们把形如

的式子叫作二次根式.

“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0注意：a可以是数，也可以是式.2022/12/269归纳总结一般地，我们把形如例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析2022/12/2610例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.例2当x是怎样的实数时,在实数解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳解：∵被开方数需大于或等于零，要使二次根【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.

被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：

A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.归纳总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(21.下列各式：.

一定是二次根式的个数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

练一练1.下列各式：问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？二次根式的双重非负性知识点2问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结2022/12/2617二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于例3若，求a-b+c的值.解：

由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例3若例4已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．例4已知y=【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．

若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.练一练已知|3x-y-1|和互为（1）＝

，＝

；＝

，＝

；＝，＝；＝，＝．

662020填一填有何发现？二次根式的性质及化简知识点22022/12/2622（1）＝，＝＝

，6.480＝

；（2）用计算器计算：＝

，＝

．

6.4800.92550.9255有何发现？2022/12/2623＝，6.480＝要点归纳（a≥0，b≥0），（a≥0，

b＞0）．

商的算术平方根等于算术平方根的商积的算术平方根等于算术平方根的积2022/12/2624要点归纳（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．商的算例5：化简解：(1)(2)(3)（1）；（2）；（3）.

2022/12/2625例5：化简解：(1)（1）最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式.要点归纳2022/12/2626最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方例6：化简：解:2022/12/2627例6：化简：解:2022/12/2027例7.化简:解：①②

③2022/12/2628例7.化简:解：①②③2022/12/2028最简二次根式的条件：①是二次根式；②被开方数中不含分母；③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．要点归纳2022/12/2629最简二次根式的条件：①是二次根式；②被开方数中不含分母；③被2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.若是整数，则自然数n的值有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个D1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA随堂练习2022/12/26302.式子有意义的条件是（）4.当x________，在实数范围内有意义．解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．2022/12/26314.当x________，5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有6.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2．(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.6.(1)若二次根式有意义，求7.若x，y是实数，且y＜,求的值.

解：根据题意得，∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.7.若x，y是实数，且y＜8.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0由乘法法则得解得x≥1或x≤0即当x≥1或x≤0时，有意义.能力提升：8.先阅读，后回答问题：能力提升：体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，解：由题意得二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且

≥0最简二次根式课堂小结2022/12/2637二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被第二章

实数2.7二次根式（第1课时二次分式及其化简）2022/12/2638第二章2.7二次根式2022/12/2011.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）学习目标2022/12/26391.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）学习目标202情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？导入新课2022/12/2640情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”----中科院数学与系统科学研究院李邦河2022/12/2641通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特复习引入问题1

什么叫作平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.问题2

什么叫作算术平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用表示.问题3

什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.复习引入问题1什么叫作平方根?一般地，思考

用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为Sm2，则边长为_____m．(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．图图思考用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．2022/12/2644（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：问题1

这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2

这些式子有什么共同特征？讲授新课二次根式的概念及有意义的条件知识点12022/12/2645问题1这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，归纳总结

一般地，我们把形如

的式子叫作二次根式.

“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0注意：a可以是数，也可以是式.2022/12/2646归纳总结一般地，我们把形如例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析2022/12/2647例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.例2当x是怎样的实数时,在实数解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳解：∵被开方数需大于或等于零，要使二次根【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.

被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：

A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.归纳总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(21.下列各式：.

一定是二次根式的个数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

练一练1.下列各式：问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？二次根式的双重非负性知识点2问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结2022/12/2654二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于例3若，求a-b+c的值.解：

由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例3若例4已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．例4已知y=【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．

若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.练一练已知|3x-y-1|和互为（1）＝

，＝

；＝

，＝

；＝，＝；＝，＝．

662020填一填有何发现？二次根式的性质及化简知识点22022/12/2659（1）＝，＝＝

，6.480＝

；（2）用计算器计算：＝

，＝

．

6.4800.92550.9255有何发现？2022/12/2660＝，6.480＝要点归纳（a≥0，b≥0），（a≥0，

b＞0）．

商的算术平方根等于算术平方根的商积的算术平方根等于算术平方根的积2022/12/2661要点归纳（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．商的算例5：化简解：(1)(2)(3)（1）；（2）；（3）.

2022/12/2662例5：化简解：(1)（1）最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式.要点归纳2022/12/2663最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方例6：化简：解:2022/12/2664例6：化简：解:2022/12/2027例7.化简:解：①②

③2022/12/2665例7.化简:解：①②③2022/12/2028最简二次根式的条件：①是二次根式；②被开方数中不含分母；③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．要点归纳2022/12/2666最简二次根式的条件：①是二次根式；②被开方数中不含分母；③被2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.若