2020-2021学年广东湛江高二上期末数学试卷解析版

2020-2021学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.TOC\o"1-5"\h\z.设集合A={%I（%-7）（%+12）<0},B={%I%+6>0},则AnB=（）A.{%I-6<%<12}B.{%I-6<%<7}C.{%I%>-12}D.{%I6<%<7}.“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.双曲线%2-4y2=-8的渐近线方程为（）A.y=±2%B.¥=±~^5cC.产士-」2工D.了二±-^~工.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下4尺，祝］■（■况3第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则二一=()A.18BA.18B.20C.22D.24.已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2,则C的方程可能为（）A.y2=4%B.y2=-3%C.%2=6yDA.y2=4%.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1c1D1的中心,则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）D.2-,^15D.2-,^1522.P为椭圆G3号T1上一动点,F1，F2分别为左、右焦点,延长F1P至点。使得IPQI=IPF2I,则动点Q的轨迹方程为（）A.(A.(%+2)2+y2=34B.(%+2)2+y2=68C.(C.(x-2)2+j2=34D.(x-2)2+j2=68.如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,该小车在公路二、选择题（共4小题）二、选择题（共4小题）・上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是.设命题p：VnGN,6n+7为质数，则（A.「p为假命题B.6A.「p为假命题B.6n+7不是质数C.「p为真命题D.VnGN6n+7不是质数10.设10.设Sn是等差数歹U｛an｝的前n项和，且a1=2,a3=8,则（A.a5A.a5=12B.公差d=3C.S2n=n（6n+1C.D.数列｛司七;｝的前几D.11.已知a11.已知a>b>0,且a+3b=1,则（）ab的最大值为今1QC.的最小值为16ab的最小值为卷5D.a2+15b2的最小值为嗫o12.已知椭圆◎：+了的左、右顶点分别为A,B，点P为Q上一点，且12.已知椭圆◎：标轴上，直线AP与直线j=-3交于点C,直线BP与直线j=-3交于点D.设直线AP的斜率为h则满足I的斜率为h则满足ICD1=36的k的值可能为（）11A.1B.D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设向量而二(1,2,4),而Em1,D,^_L而，则实数m=.TOC\o"1-5"\h\z22.若双曲线-匚=1的虚轴长为自乜则该双曲线的离心率为.0m兀r-.在△ABC中，若B=^~,tanC-2-.；3,AC=2,则AB=..已知点P(m,n)是抛物线％2=-8y上一动点，则4产十口2十4n+4气+n2-4m+2n+5的最小值为.四、解答题.本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤.2025.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知匕十匚-a\~匕<2,sinC=2sinB.Cl(1)求cosA；(2)若4ABC的周长为6+；/!£求^ABC的面积..如图，在直三棱柱ABC-A1B1cl中，AC±BC,AC=AA1=2BC,E,F分别为侧棱BB〃CC1中点.(1)证明：BF〃平面A1C1E.(2)求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值..已知数歹U｛an｝的首项为4.(1)若数列心口-2丐是等差数列，且公差为2,求｛an｝的通项公式.(2)在①a3-a2=48且a2>0,②a3=64且a4>0,③a2021=16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题，若｛an｝是等比数列，，求数列｛(3n-1)an｝的前n项和Sn..如图，平面ABCDE，平面CEFG,四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB=BC=5,AC=4.(1)证明：AD±CF.(2)求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值.

.已知抛物线C：y2=2px(p>0)与双曲线为--有相同的焦点F.U(1)求C的方程，并求其准线l的方程；(2)如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A(x1,匕)，B(x2,y2),直线0A与准线l交于点N.过点A作l的垂线，垂足为M.证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形.2L2fE22.已知椭圆口气+^1Q>£>口)的离心率为/二，且焦距为8.ab3(1)求C的方程；(2)设直线l的倾斜角为丁，且与C交于A,B两点，点O为坐标原点，求AAOB面■—I积的最大值.

参考答案参考答案一、选择题（共8小题）..设集合A={%I(%-7)(%+12)<0},B={%I%+6>0},则AnB=()A.{%I-6<%<12}B.{%I-6<%<7}C.{%I%>-12}D.{%16V%<7}解：・/A={%I-12<%<7},B={%I%>-6},；.AnB={%I-6<%<7}.故选：B.."四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：当四边形ABCD是菱形时，根据菱形的性质可知，对角线互相垂直，当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形不一定是菱形，比如可以是梯形，故“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的充分不必要条件..双曲线%2-4y2=-8的渐近线方程为（）A.y=±2%B./"士"^其C.产2k解：根据题意，双曲线的方程为：％2-4y2=-8,变形可得则其焦点在y轴上，且a=■--/2,b=2\：2,则其渐近线方程为：y=±2%,4.4.长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则照=()

1820222418202224解：设这根木棰的长度为1尺，第一天这根木棰被截取一半卷剩下&i5=方尺，第二天被截取剩下的一半吟x£,剩下。广十-齐>1尺，第三天被截取剩下的一半上X^,剩下a3d-1*3=（尺，第四天被截取剩下的一半（x],剩下a4=（-卷*'=今尺，第五天被截取剩下的一半七*J,剩下a5=白-/xJ=4■尺，TOC\o"1-5"\h\z[□55,L0102△士„,ai+as…贝°-==24,,1W故选：D..已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2,则C的方程可能为（）A.y2=4%B.y2=-3%C.%2=6yD.y=-8%2解：抛物线C的焦点到准线的距离大于2,可得p>2,y2=4%中p=2,所以A不正确；y2=-3%中p=，，所以B不正确；%2=6y中p=3,所以C正确；y=-8%2,即%2=--1y，所以p=焉，所以D不正确；故选：C..如图，在正方体ABCD-A1B1clD1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1clD1的中心,则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）D.15D.15解：如图所示，建立空间直角坐标系.不妨设AB=2,则A(2,0,0),O(1,1,2),E(2,2,1),C1(0,2,2),•・・诟=(-1,1,2),叼=(-2,0,1),・c"E一好可_2-•.C0S(A。,1>=|加|・|EC；|=/i^X；/i^=^_・•・异面直线C1E与AO所成角的余弦值为与更.113故选：D.22.P为椭圆G3十二=1上一动点，F1,F2分别为左、右焦点，延长F1P至点。，使得IPQ1=1PF21,则动点Q的轨迹方程为()A.(%+2)2+j2=34B.(%+2)2+j2=68C.(x-2)2+j2=34D.(%-2)2+j2=68解：由已知椭圆的方程可得：42=17,历=13,则a=J17，吟c=2,由椭圆的定义可得IIPF1"旧F2门牙⑵门7,所以IQFl1=2JTF,所以点q的轨迹是以F1(-2,0)为圆心，2v下为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为：(%+2)2+j2=68,故选：B..如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20km/h，且gqs/AOB=--,一，则此山的高PO=()

A.1kmB.-T^kirC.\i^3kirD.V^kirA.1kmB.-T^kirC.\i^3kirD.V^kirx.解：设由题意可得：RtZkOBP中，ZPBO=45°，：.OB=OP=x.在RtZsOAP中，ZPAO=30°,.•.O4=%・tan6(T?.5/十（塞其产一2./十（塞其产一2.52在△043中，由余弦定理可得：gosZA0B=-^^=o解得％=1.故选：A.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分..设命题p：VmgN,6〃+7为质数，贝IJ（A.「"为假命题B.「p：6/2+7不是质数A.「"为假命题B.「p：6/2+7不是质数C.「p为真命题D.「p：V〃eN,6n+7不是质数解：命题?：V^gN,6〃+7为质数,当八=3时，6X3+7=25不是质数,故命题P为假命题,「p：6n+7不是质数,所以「P为真命题.故选：BC..设S”是等差数列｛“〃｝的前〃项和，且4=2,%=8,A.«5=12B.公差d=3C.=n(6〃+l)2n1nD.数列｛丁一｝的前〃项和为drLarri-l6n+4

解：由题意，设等差数列｛”｝的公差为d,则d=-171=《一=3,故选项B正确，%=2+3X(5-1)=14,故选项A不正确，八八2门•(2nT)c“八3TH十也.S2n=2nX2+X3=n(6n+1),选项C正确,\*an=2+3X(n-1)=3n-1,｝的刖n项和为23n+2选项｝的刖n项和为23n+2选项D正确.故选：BCD.TOC\o"1-5"\h\z.已知a>b>0,且a+3b=1,则()A.ab的最大值为告B.ab的最小值为强3,,，，口,-5C.一十;「的最小值为16D.a2+15b2的最小值为不aio0解：对于A,B：,:a>b>0,且a+3b=1故A正确，B错误;对于C：.a>b>0,且a+3b=1,-Ir12kF7二一+-=(—+-)(a+3b)=10+3(1+t-)三10+3・2「一"—=16,abababYa.b当且仅当a=b=(■时”=”成立，故C正确；……1-wJ旦1058Z5.255对于D：a2+15b2=a2+15(——)="a2a+京=可Q-J+五三百,5当且仅当a=E时”=”成立，故D正确；O故选：ACD.

.已知椭圆0:膏+了的左、右顶点分别为A,B，点P为Q上一点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线y=-3交于点C,直线BP与直线y=-3交于点D.设直线AP的斜率为h则满足ICD的斜率为h则满足ICD1=36的k的值可能为()解：由椭圆的方程可得A(-3,0),B(3,0),1，因为kPA=k,所以年吕二一击，3又直线PA的方程为y=k(x+3),则令y=-3,得和二三一3直线PB的方程为y=-2-&-3),令y=-3,得xD=27k+3,JR所以ICDI=I27k+1■十&I=36,整理可得：9k2+14k+1=0或9k2-10k+1=0,解得k=T±J"%1或^,故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上..设向量而二(1,2,G,而二血，1,D,而，则实数m=-6.解：•・,向量由二比2,G,而二(m,1,1),AB1CD,/.AB*CD=m+2+4=0,解得m=-6,故答案为：-6..若双曲线--匚=1的虚轴长为限用，则该双曲线的离心率为」hm解：双曲线式=1的虚轴长为6匹，6m可得b=3+，2,a=\：&,所以c=+=2'-/6,nfp"所以双曲线的离心率为：e=苦=2,故答案为：2.

.在△ABC中，若B=^,tanC-2-.；l,AC=2,则AB=_冬津解：因为tErnO2./^=|^|-,可得cosC=]),又sin2C+cos2C=1,所以si■口C二W，7T因为不,AC=2,7T因为不,AC=2,由正弦定理得.冬二〉，可得研二nil止sinL-ACsinC8713sinB13°口；十口+$卬口；十口+$卬2十门”一如十2n+5.已知点P(m,n)是抛物线％2=-8y上一动点的最小值为.解：抛物线的准线为y=2,焦点F坐标为(0,-2),所以\；m2十户十4n十44rm=十门”一4m十如十5=\；m"十(n+2)2+*(m-2)^+(n+l),表示点P(m,n)与点F(0,-2)的距离与点P(m,n)与点A(2,-1)的距离之和，所以\；卬2十+4+\''ni2+n2-4m+2n+5的最小值为线段AB长度,又ABImin为点A到准线y=2的距离，即IAB1m加=3,故答案为：3故答案为：3.四、解答题.本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤.2995.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知5+C一n="：7bc,sinC=2sinB.(1)求cosA；(2)若4ABC的周长为6+'/1号求^ABC的面积.

2bc解：(1)因为b'--Jqbc,2bc16(2)因为sinC=2sinB,所以3b+'；b=6+\：’15，解得b=2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1cl中，AC±BC,AC=AA1=2BC,E,F分别为侧棱BB1，cc1中点.(1)证明：BF〃平面A1C1E.(2)求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值.解：(1)证明：•・•在直三棱柱ABC-A1B1cl中，E,F分别为侧棱BB1，Cq中点.•・BeJLc1F,・•.四边形BEC1F是平行四边形，・•.BF//EC1，「BF仁平面A1C1E,EC尸平面A1c1E,•・BF〃平面A1C1E.(2)二•在直三棱柱ABC-A1B1cl中，AC±BC,AC=AA1=2BC,E,F分别为侧棱BB1，CC1中点.••以C为原点，CA为％轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=AA1=2BC=2,则B1(0,1,2),C(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,0,2),E(0,1,1),

B[C=(0,-1,一2),乎]=(2,0,0),C1E=(0,1,-1),设平面A1clE的法向量三一(%,y,z),，取y=1,得n=(0,1,1),n,%E二y-w二口设B1C与平面A1C1E所成角为9,贝Usin0—贝Usin0—33<10Ie□•面—•^•kHF。・•・B1C与平面A1clE所成角的正弦值为专J"..已知数歹U｛%｝的首项为4.(1)若数列a口一工与是等差数列，且公差为2,求｛”｝的通项公式.(2)在①a3-a2=48且a2>0,②a3=64且a4>0,③a2021=16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题，若｛aj是等比数列，，求数列｛(3n-1)an｝的前n项和Sn.解：(1)数列1al<2*是等差数列，且公差为2,首项为4,所以%-2n^4-2+2(n-1)=2r,整理得,=2“+2门.(2)选①：a3-a2=48且a2>0,｛an｝是等比数列，设公比为q,由于首项为4,则由a3-a2=48,得q=4,所以%二4"，选②：由于首项为4,且a3=64,｛an｝是等比数列，所以q=±4,且％>0,所以『二4”,选③：由于数列，｛”｝的首项为4,且满足a2021=16a2a2017,解得q=4,所以&口=4”，设(3nT)・4",贝U5口=2X4l+5乂4〃…+(MnT),产①，所以4Sn=2X42+5X43+--+(3n-l>F*②，①-②得-3%=3X(41+42+-而-2.如图，平面ABCDE，平面CE/G,四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB=BC=\；5,AC=4.(1)证明：AD±CF.(2)求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值.B解：(1)证明：•・•四边形ACDE为正方形，.'AD±CE,・•平面ABCDE，平面CEFG,平面ABCDE□平面CEFG=CE,•・AD，平面FECG.又CFu平面FECG,'AD±CF；(2)二•四边形CEFG为正方形，.,.CG±CE,・•平面ABCDE，平面CEFG,平面ABCDE□平面CEFG=CE,•・CG，平面ABCDE.故EA,ED,EF两两垂直，所以以E为原点建立空间直角坐标系，,?AB=BC=；亏AC=4,・，.B到AC的距离为1.・•・B(5,2,0),F(0,0,4V2),G(4,4,4'J2),

则即二(-5,-2,缸河),丽E-1,2,切，设面BFG的法向量为inE：¥，£)ir.BF=-5富一2y十4V=0~L厂由「，可得i「=(4j2,-4V2,3)m・BG=r+2v+4^2/二0又平面ABCDE的法向量为4E。，0,1),cos