2020年北京西城区高考数学二模试卷解析版

2020年北京市西城区高考数学二模试卷、选择题（共10小题）.设全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|x<1},则集合(？uA)UB=()A.(一巴2)B.[2,+8)C.(1,2)D.(-8,1)u[2,+8).设复数z=1+i,贝U??-()A.-2iB,2iC.2-2iD.2+2i焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（x2=4yy2=4xC.x2=8yD.y2=8x在锐角△ABC中，若函数f(x)=x-焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（x2=4yy2=4xC.x2=8yD.y2=8x在锐角△ABC中，若函数f(x)=x-1a??A.奇函数,B.奇函数,C.偶函数,D.偶函数,??a=2,b=3,A=6,则cosB=(且值域为（0,且值域为R且值域为（0,且值域为R+OO)+OO)C,三4D.6.x2+y2+4x-2y+1=0截x轴所得弦的长度等于（6.2v??2V??D.2v??2V??D.7.a,b,c为非零实数，且a>b>c,则（）7.A.a-b>b—cB.—<-<A.a-b>b—cB.—<-<-??????C.a+b>2cD.以上三个选项都不对、一，一ff、#一・—fT1f…一，•，・8.设向量？？？?两足|??=|??=1,?2??=1,贝U|??+x??（xCR）的最小值为8.9.设｛an｝为等比数列，则“对于任意的C.1D.v??mCN*,am+2>am"是“｛an｝为递增数列”的（）A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.C.充分必要条件10.佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的

功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的？ABCD由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香.那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为(田1田1A.平行B.相交A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面且不垂直二、填空题：本大题共5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分..在(1+5x)6的展开式中，.在(1+5x)6的展开式中，x的系数为.在等差数列｛an｝中，若ai+a2=16,a5=1,则ai=;使得数列｛an｝前n项的和Sn取到最大值的n=.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为14.14.能说明“若(n+2)丰0,则方程荷+磊=1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的一组m,n的值是.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),且当xC(0,2］时，f(x)=2x-3.有以下三个结论:①f(T)=-2；②当aC1~,1］时，方程f(x)=a在区间［-4,4］上有三个不同的实根;42③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点ba.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，CCd底面ABC,ACXBC,D是A1C1的中点，且AC=BC=AAi=2.(I)求证：BCi//平面ABiD；(n)求直线BC与平面ABiD所成角的正弦值.i7,已知函数f(x)=Asin(cox+g(A>0,w>0,0v())<??同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为兀；②最大值为2;③f(0)=-i;④f(-■!?=0.(I)给出函数f(x)的解析式，并说明理由；(n)求函数f(x)的单调递增区间..随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A,B,C,D,E,F.在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W(单位：人次)与使用量U(单位：人次)，数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t=磊，当t>0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.(I)在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率;X,求X的分(n)从这6X,求X的分布列与数学期望；(出)将(I)中概率值记为X%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由..设函数f(x)=axlnx,其中a€R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2).(I)求a的值；(n)求函数f(x)的极值；(出)证明：f(x)>给???夕？夕..、、.J3-.已知椭圆E：—+—=1(a>b>0)经过点C(0,1),离心率为—.。为坐标原点.?，？，2(I)求椭圆E的方程；(n)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点(不在坐标轴上)，直线CD父x轴于点P,Q为直线AD上一点，且？??？???,=4,求证：C,B,Q三点共线..如图，表1是一个由40X20个非负实数组成的40行20列的数表，其中am,n(m=1,2,…，40;n=1,2,…，20)表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列(不改变该数所在的列的位置)，得到表2(即bi,j>bi+1,j,其中i=1,2,…，39;j=1,2,…，20).表1a1，1a1，2•a1，20a2,1a2,21a2,20a40,1a40,2•a40,202b1,1b1，2,b120b2,1b2,2•b2,20b40,ib40,2b40,202,2,…，20）等都有bi,j-bi+1,n-bm,n+1A2成k,使得任给i(I)判断是否存在表1,使得表2中的b,j(i=l,2,…，40;j=1,于100-i-j?等于i+2「j呢？(结论不需要证明)(n)如果b40,20=1,且对于任意的i=1,2,…，39;j=1,2,…，20,jR1成立，对于任意的m=1,2,…，40;n=1,2,…，19,都有bm,立，证明：bt1>78;(出)若ai,1+ai,2+…+ai,20W19(i=1,2,…，40),求最小的正整数Ak,都有bi,1+bi,2+…+bi,20W19成立.、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|x<1},则集合(？uA)UB=()[2,+8)D.[2,+8)D.(-8,1)U[2,+8)1)U[2,+8).2-2iD.2+2iC.(1,2)【分析】进行补集和并集的运算即可.解：U=R,A={x|x<2},B={x|xv1},••?uA={x|x>2},(?uA)UB=(-8,故选：D..设复数z=1+i,则？?=()A.-2iB.2i【分析】由z求得？？利用两数和的平方公式展开即可得出.解：z=1+i,.•.??=(1—i)2=-2i.故选：A..焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是()A.x2=4yB.y2=4xC.x2=8yD.y2=8x【分析】根据题意，设要求抛物线的标准方程为y2=2px,结合抛物线的几何性质可得的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为y2=2px,又由焦点到准线的距离为4,即p=4,故要求抛物线的标准方程为y2=8x,故选：D..在锐角△ABC中，若a=2,b=3,A=6；则cosB=()A.4D.3v34【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关【分析】由已知利用正弦定理可求系式即可求解cosB的值.

解：••・在锐角^ABC中，若a=2,b=3,A=?,6,、、？？？？1_・••由正弦定理=得sinB=也必学送=3,「•由B为锐角，可得cosB=，？？？？？？？？=4故选：C.5.函数f(x)=x-岩()A.奇函数，且值域为(0,+8)B.奇函数，且值域为RC.偶函数，且值域为(0,+8)D.偶函数，且值域为R0)和(0,+8)上【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f(-x)=-f(x)0)和(0,+8)上为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间(-国,都是增函数，且f(1)=f(-1)=0;作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.解：根据题意，函数f(x)=x-1分其定义域为{x|xW0},有f(-x)=(-x)-(―)??-??一（x-即函数f(x)为奇函数,其导数f'W=1+即函数f(x)为奇函数,其导数f'W=1+J，在区间(-8,0)和(0,+OO)上都是增函数，且f⑴=f（T）=0;其图象大致如图其值域为R;故选：B..圆x2+y2+4x-2y+1=0截x轴所得弦的长度等于（A.2B.2v??C.23？D.4【分析】首先令y=0,整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.解：令y=0,则圆的方程转换为x，4x+i=0,所以Xl+x2=-4,xix2=1,所以？？？?=|?3）？??？=，（??+??产？??????=??/??故选：B..设a,b,c为非零实数，且a>b>c,则（）111A.a-b>b-cB.一〈一<一??????C.a+b>2cD.以上三个选项都不对【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果.解：设a,b,c为非零实数，且a>b>c,所以对于选项A：当a=3,b=2,c=1时，a-b=b-c=1,故错误.一对于选项B：当a=0,b=-1,c=-2时，—无意义，故错误.??对于选项C:由于a>c,b>c,所以a+b>2c,故正确.对于选项D：由于C正确，所以选项D错误.故选：C.、一——、,"rt.f―—―71rr.f7—一，，，，TOC\o"1-5"\h\z.设向星????两足|??=|?忏1,????=牙贝U[??+x??（xCR）的最小值为（）A.巨B.®C.1D.V??【分析】两边平方，得出|??+x孑关于x的二次函数，从而得出最小值.T—CT7111c3解：|??+x??2=?"??+2x?????+x2?*??=x2+x+1=（x+-）2+4,.•.当x=-1时,|??+x?椒得最小值v3=^3.故选：B..设｛an｝为等比数列，则“对于任意的mCN*,am+2>am”是“｛an｝为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

???>??_???<??【分析】对于任忌的mCN*,am+2>am,即am«2-1)>0.可得：{,{,???-??>?????-??<??任意的mCN*,解出即可判断出结论.解：对于任意的mCN*,am+2>am,即am(q2-1)>0.???>???>?????-??>?????<??{???-?M??任意的,???>??,???<??，{-，或{一.??>???箕2???・••{an}为递增数列”，反之也成立.•••“对于任意的mCN*,am+2>am”是“{an}为递增数列”的充要条件.故选：C..佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的？ABCD由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中，棱AB囊.那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为(C.异面且垂直D.异面且不垂直【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB,CD的位置关系.解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面,且AB与CD相交，且B,C两点重合，

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分..在(1+5x)6的展开式中，x的系数为30.【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1,求得r,代入数值求出x的系数.解：展开式的通项公式为：Tr+1=??&16r?(5x)r=5r???&xr;令x的指数为1,即r=1;，x2=的系数为：5c61=30;故答案为：30..在等差数列｛an｝中，若31+32=16,35=1,则31=9；使得数列｛an｝前n项的和Sn取到最大值的n=5.【分析】设等差数列｛an｝的公差为d,由a1+a2=16,35=1,可得2a〔+d=16,a〔+4d=1,解得：a*d,可得an.令an>0,解得n即可得出.解：设等差数列｛an｝的公差为d,-.31+32=16,35=1,•-2a1+d=16,a1+4d=1,解得：31=9,d=—2.•，an=9-2(n-1)=11-2n.11,1令an=11—2n>0,斛得n<~2-=5+万.，使得数列｛an｝前n项的和Sn取到最大值的n=5.故答案为：9,5.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为I-：'：正视0I-：'：正视0【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积.解：根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为底面为边长为2,高为2的正四棱锥体.如图所示:如图所示:解：则方程?2+解：则方程?2+£?_=i足m=n+2>0即可，可取m=4,n=2,所以？?=??x??+??X1X??><,??+??=4+4v??故答案为：4+4V??2、？….能说明“若m(n+2)丰0,则方程??+—?-=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m,n的值是答案不口t一，m=4,n=2【分析】由题意可得满足m=n+2>0或者m<0,n+2v0即可，任意取满足m,n的值【分析】由题意可得满足即可.表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m,n的值为：满故答案为：m=4,n=2..已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),且当xC(0,2］时，f(x)=2x-3.有以下三个结论:

②当aC(1,1］时，方程f(x)=a在区间［-4,4］上有三个不同的实根；42③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点ba.其中，所有正确结论的序号是①②.【分析】由题意可得函数f(x)的大致图象，可判断出所给命题的真假.解：①因为函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),xC(0,2］时，f(x)=2x-3,所以f(-1)=2x-3,所以f(-1)1+2)=1f(1)=1?(21-3)=-所以①正确;f(x)的大致图象如图所示可得当aC(所以①正确;f(x)的大致图象如图所示可得当aC(一,-］时，方程f(x)=a在区间［-4,4］上有三42个不同的实根；所以②正确因为xC(0,因为xC(0,2］时,f(x)=2x3-0时,x=log23,又因为f(x+2)=2f(x),所以函数f(x)由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确;故答案为：①②故答案为：①②三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤..如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC底面ABC,ACXBC,D是A1C1的中点，且AC=BC=AAi=2.(I)求证：BC〔//平面ABiD；(n)求直线BC与平面ABiD所成角的正弦值.

【分析】(I)连接AiB,设AiBAAB1=E,连接DE,可得BCi//DE,再由直线与平面平行的判定得到BCi//平面ABiD;(n)由CCi,底面ABC,AC±BC,得CA,CB,CCi两两互相垂直，分别以CA,CB,CCi所在直线为x,v,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABiD的一个法向量与一???%的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面ABiD所成角的正弦值.【解答】(I)证明：连接AiB,设AiBAABi=E，连接DE,由ABC-AiBiCi为三棱柱，得AiE=BE.又.「□是AiCi的中点，，BCi//DE..,BCi?平面ABiD,DE?WABiD,BCi//平面ABiD；(n)解：•••CCi，底面ABC,ACXBC,CA,CB,CCi两两互相垂直，故分别以CA,CB,CCi所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,0),Bi(0,2,2),D(i,0,2),———•,•???存(-??,????)??)??=(??,-????)????=(??-????)设平面ABiD的法向量为？?=(??????),????????=-????+????????22b由｛-，取y=i,得？?=(??????)?????????=??■??????|???????|???|????设直线BC与平面ABiD所成角为|???????|???|????贝Usin0=|cos<??????|=・・・直线BC与平面ABiD所成角的正弦值为—.6817.已知函数f(x)=Asin(cox+(P(A>0,w>0,0v())<??同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为兀；②最大值为2;③f(0)=-1;④f(-石5=0.(I)给出函数f(x)的解析式，并说明理由；(n)求函数f(x)的单调递增区间.【分析】(I)若函数f(x)满足条件③，则由f(0)=Asin^=-1,推出与A>0,0?7<。<2矛盾，可得函数f(x)不能满足条件③，由条件①，利用周期公式可求3=2,由条件②，可得A=2,由条件④，可得f(-至=0,结合范围0V*??可求柠£623可得函数解析式.(n)利用正弦函数的单调性即可求解.解：(I)若函数f(x)满足条件③，则f(0)=Asin(j)=-1,这与A>0,0V(f)〈21F盾，故函数f(x)不能满足条件③,所以函数f(x)只能满足条件①，②，④，.一一2??由条件①，可得——=兀,1??1又因为w>0,可得3=2,由条件②，可得A=2,由条件④，可得f(-??=2sin(-??+4)=0,63平又因为0V*??所以行??3

所以f(x)=2sin(2x+??35??.??12+k后x<12+kTt,k€Z,可得f（x）的单调递增区间为5??.??12+k后x<12+kTt,k€Z,可得f（x）的单调递增区间为5??.[-12+k兀,??—+kTtl,kCZ.1218.随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A,B,C,D,E,F.在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t=得当t>0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.（I）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（n）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X,求X的分布列与数学期望；（出）将（I）中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由.【分析】（I）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（II）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（III）根据样本是否具有普遍性进行判断.解：（I）tA=>0.9,tB=>0.9,tc=v0.9,tD=V0.9,tE=>0.9,tF=969185746965>0.9.6款软件中有4款有效下载软件,一，一、.42的概率为4=_63(II)X的可能取值有2,3,4,.X的分布列为:102815一，一、.42的概率为4=_63(II)X的可能取值有2,3,4,.X的分布列为:102815P(X=4)X2P25E(X)=2X=-+3XTj-p-+4X=r=彳.

''51515338154115(III)不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”..♦.这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取,此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件,不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.19.设函数f(x)=axlnx,其中a—、选择题，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2).(I)求a的值；(n)求函数f(x)的极值；(出)证明：f(x)＞第2?【分析】(I)由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a;(II)先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解;(III)由于f(x)>系2,价于xlnx-第+?产0,结合(II)可得f(x)=xlnx>-3?故只要证明)|n?即可，(需验证等号不同时成立)结合导数可证.解：(I)f'(x)=alnx+a,则f(1)=0,f'(1)=a,故取消y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y=a(x-1),把点(3,2)代入切线方程可得，a=1,(II)由(I)可得f'(x)=lnx+1,x>0,

易得，当0<?箕,f'(x)<0,函数单调递减，当x>,f'(x)>0,函数单调递增,故当易得，当0<?箕,f'(x)<0,函数单调递减，当x>,f'(x)>0,函数单调递增,故当x=,函数取得极小值f(1)=-1??没有极大值,证明：(III)f(x)>美2芹价于xlnx-蔡+焉>0,

??????由(II)可得f(x)=xlnx>-??(当且仅当X1?4等号成立)①，所以xlnx-??21?????+??>??■???故只要证明??-????》?即可,(需验证等号不同时成立)设g(x)=??'????x>。贝u??’(??)????,当0vxv1时，g'(x)<0,函数单调递减，当x>1时，g'(x)>0,函数单调递增,所以g(x)>g(1)=0,当且仅当x=1时等号成立，②因为①②等号不同时成立,所以当X>0时，f(x)>???.??????..、、.、/3一20.已知椭圆E—+—=1(a>b>0)经过点C(0,1),离心率为一20.已知椭圆E????(I)求椭圆(I)求椭圆E的方程;(n)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆(n)设A,线CD交x轴于点P,Q为直线AD上一点，且？??????上4,求证：C,B,Q三点共线.【分析】(I)由b=1,_?='，a2=b2+c2,解得a,c,进而得出椭圆的方程.??2(n)设D(x°,y°)(x°y0W0),贝U/+?????=1,直线CD的方程为y=???-??+??令y=0,得点P的坐标，设Q(xq,yQ),由?????????.4,得xq=华沙(显然xqW?3(4-4??0+2??0?3(4-4??0+2??0)、,),kBQ=??(?3+2)2),写出直线AD的方程为y=京(??+??)得Q(寸2.所以kBC=kBQ,即C,B,Q三点共线.解：(I)由题意，得b=1,????又因为a2=b2+c2,所以a=2,c=故椭圆E的方程为?2+?3?=??(n)A(―2,0),B(2,0),??2CC设D(xo,yo)(xoyoW0),贝U-0-+??；?=1,所以直线CD的方程为y=-0??+?????0令y=0,得点P的坐标为(-0-,0),1-??0设Q(xQ,yo),由？?？????？?=4,得4(1-??0)XQ=标(显然XqW2),?0直线AD的方程为y=巷■(??+??)将Xq代入，得yo=??(4-4??0+2??0)

??(?3+2)即Q(4(1-??。)?0(4-4??。+2??0))??)’??)(??3+2)故直线BQ的斜率存在,???二？很4-4??0+2??0)=2?2-2??02+??3??二1???T=(?并2)(4-4??0-2??0)=4?02-2??0?0-4??0二一2又因为直线BC的斜率kBc=-,所以kBc=kBQ,即C,B,Q三点共线.21.如图，表1是一个由40X20个非负实数组成的40行20列的数表，其中am,n(m=1,2,…，40;n=1,2,…，20)表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列(不改变该数所在的列的位置)，得到表2(即bi,j>bi+1j其中i=1,2,…，39;j=1,2,…，20)a1，1a1，2-a120a2,1a2,2•a2,20a40,1a40,21a40,20表2b1,1b1，2•b1，20b2,…1b2,2•…•b2,20••…b40,