龙驭球《结构力学Ⅰ》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解（下册）

目录目录内容简介目录第8章渐近法及其他算法简述复习笔记课后习题详解名校考研真题详解第9章静定结构总论复习笔记课后习题详解名校考研真题详解第10章超静定结构总论更习笔记课后习题详解名校考研真题详解第8章渐近法及其他算法简述8.1复习笔记本章介绍了几种属于位移法类型的渐近方法。这些渐近方法的基础是力矩分配法，在力矩分配法的基础上，衍生出了适用于不同结构类型的子方法，如无剪力分配法、分层计算法、反弯点法。渐近法舍弃了一部分精度，但以此换来了更高的效率。一、力矩分配法的基本概念（见表8-1-1）转动刚度、分配系数、传递系数表8-1-1力矩分配法的基本概念

要点主要内容转动刚度转动刚度表示使杆端产生单位转角时需要施加的力矩，或者等于杆端力矩与杆端转角的比值，它表示杆端对转动的抵抗能力，以S表示。根据位移法杆端弯矩公式，常用转动刚度包括：①远端固定，S=4h②远端简支，s=3i;③远端渭动，^=1）④远端自由，S=0。式中i为线刚度，且i=EIl分配系数①分配系数是指杆件的转动刚度与交于结点.4的各杆的转动刚度之和的比值，可用下列公式计算以一乎式中，J可以是仄C或者D,如“"表示杆他在H端的分配系数；②若结点/上作用一力偶》,则各杆承担的弯矩也可由分配系数与根据如下公式求得此二以河传递系数传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。根据位移法杆端弯矩公式，常用传递系数包括：①远端固定，C=12j②远端滑动，c=-\}③远端较支，CHO。传递系数用下列公式进行应用.必8=仁&1如基本运算环节（单结点转动的力矩分配）（见表8-1-2）表8-1-2单结点转动的力矩分配要点主要内容基本概念力矩分配法是一种利用各杆的分配系数将约束力矩分配给各杆的近端，再通过传递系数将近疆杳矩传递给远第，最终叁加得到实际杆缙奇矩搐构内力计算方法具体步骤用图8-1-1两跨连续梁加以说明：①在结点8上励的束，根据表7-1-3载常数公式计■由荷载产生的杆端弯矩(顺时针转向为正)M,、MA跖乙并写在各杆刻的下方，见图8-L2(a)j②计算结点B循］康力近：需要械的力矩为见图8-1-2(b)>③求结点各杆的分配系数，并确定各杆的传递系的J分位系数写在结点8上的方根内,④放松结点B瞰束，根据分配系域“必、如c计♦分配力矩：一必,如"Mc'="-Vj-UK再根据传递系数计算远劭矩：Mju'—C<j,.Viti'——-Vj•fiti2f —Cgc'A/a'=O计算过程见图8-1-2(c),分配力矩及传递力矩写在豳弯起下方；⑤彘加固墙弯矩和分配力矩及传递力矩，得到最后的杆转弯矩见图8-1-2(d)200kN EI20kN/m京苗做3m।200kN EI20kN/m京苗做• a|一 •图8-1-1

200kN1505^-90（明单位kNm）200kN1505^-90（明单位kNm）分配系数纷 叵解J ，哽kNm1|0,571104291-17.2，哽kNm1|0,571104291-17.2 ———34.3"-25.7 0（理单位kNm）分配力矩77.2-3 -212-0及传递力矩杆端穹矩-gg -些 0（州单位KNm）图8-1-2二、多结点的力矩分配（见表8・1・3）要点主要内容基本概念①多结点的力矩分配是一种以渐近的方式，通过交替放松单个结点，应用单结点的分配和传递运算，最终逼近结构实际变形的方法J②多结点力矩分配时，通常只翻结点进行两到三个循环就能满足精度要求；③多结点力矩分配与单结点邠分配在本质上相同，计算步骤的核心也相同，只不过对多结点分也矩时多循环了几次放松-分配-传递的过程；④多结点的力矩分配适用于连续梁和无侧移刚架的计算多结点力矩分配的具体步骤用图8-1-3三跨连续梁加以说明：①夹紧结点3和C,再加祛码，见图8-1-3⑹，求出杆件固端弯矩；②计算结点3和C约就矩；③求结点各杆的分配系数，并确定各杆的传递系数；④夹紧结点C,放松结点B, 8-1-3（c）;分配结点5的约束力矩，并计算传递力矩；⑤夹紧结点8,再放松结点C,见图813（d）,分配结点C的累计约束力矩（加上④中结点3传递过来的弯矩），并计算传勤矩；⑥再循环步骤④〜⑤两次，⑦将固端弯矩，历次的分配力矩和传递弯矩相加，得到最后的杆端弯矩。连续梁跨中加磋码后真实变形曲线如图8-1-3（a）所示，经过三次循环后即可逼近该曲线

场

♦

♦

(b)TnW

*场

♦

♦

(b)TnW

*图8-1-3三、无剪力分配法（表8-1-4）要点主要内容应用条件刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力粉定杆件固端弯矩计算步骤①剪力静定杆件的端部剪力可根据静力条件求出3②将结点夹紧后，可视杆件为一端固定、一端滑动；③以端部英力为外荷载，通过载常数公式计算杆件的固端弯矩转动刚度及传递系数无剪力分配法之所以“无剪力”，是由于在放松夹紧的结点时（见图8-1-4）,结构竖杆变形与远端滑动的杆件相同，因此二者的转动刚度和传递系数也是彼此相同的。当/端转动时，杆端弯矩为>-Viu=—Ma由此，无剪力杆件的转动刚度和传递系数分别为s4=〃b,无剪力分配法具体步骤无剪力分配法是力矩分配法的一种特殊形式，计算步骤没有区别

多〃“图8-1-4四、近似法（见表8・1・5）表8-1-5近似法

要点主要内容基本概念近似法通过忽略一些次要影响（如剪力稠由力引起的变形），以较小的计算量，能够取得较为粗略的解答分层法（见图8-1-5）端层计算法是一种忽略多层刚架蹦瞒的基于力矩分配法的一种近似法；断层法把多层刖架分解，一层一层地单独计算,忽略了每期的竖向荷载对其他各层的影响反弯点法又称剪力分配法,其基本假设是把刚架中的横梁简化为刚性梁,适肝水平荷载作用下的刚架，并忽略了刖架的结点转角/"4 iXin 0=0 n反弯点法计算简图ni,分析步骤①横梁抗弯刚度无限大，则两刚结点处没有传角位移，只有侧移」，②根据形常数公式，算得杆端剪力用1=1214饱2=*4FQ2=12iM烟=瓦」③根据横梁受力平衡：尸Q1+尸Q2=Fp,算得尸Ql=*l尸V（为+&）,Fq2=2：F，'（为+昆）由此看出，各柱剪力根据剪力分配系数进行分配U.=k:%④根据各柱上反弯点位匿计算杆端弯矩IV物Ilf-(b)1111mmmmmim图8-1-5分层法IV物Ilf-(b)1111mmmmmim图8-1-5分层法五、超静定结构各类解法的比较和合理选用（见表8-1-6）表8-1-6超静定结构各类解法的比较和合理选用

要点主要内容直接解法和部近解法直接法建立基本方程，然后采用直接法求解这组线性代数方程渐近法后半截渐近法建立基本方程，采用迭代解法解方程组全过程渐近法采用力学手段，使结构的受力变形状杰以渐近方式逼近真实的受力变形状杰手算方法和计算机方法手算法结构力学学科是在手算条件下逐步形成的，经典结构力学讲的都是手算方法计算折去计算结构力学是借助计算机采用数值方法解决结构力学问题的一个分支学科超静定结构解法的合理选用手算角度超静定桁架①超静定桁架中因为结点位移太多，宜使用力法；酬算桁架次应力时，宜使用力矩分配法超静定拱①两较拱和无较拱需用力法；②对于连续拱，可取曲杆为单元，采用位移法或力矩分配法连续梁①刖性支座上的连续梁，宜采用力矩分配法；瞬性支座上的连续梁，宜用力法或位移法刖架①无结点线位移的刚架，可采用力矩分配法；②无结点角位移的刖架，可采用位移法或剪力分酣去,③超静定次数少而结点位移较多的刚架可采用力法；④多层刖架可采用无剪力分配法、力矩分配法或近似法计算机角度宜使用矩阵位移法，各种形式的静定和超静定结构只需一个通用程序就可进行计篁8.2课后习题详解24kN IOkN,24kN IOkN,2m小2m+|,6m/ 卜2m+2m “(a) (b)8-1试用力矩分配法计算图8-2-1所示结构，并作M图。图821解：(a)求固端弯矩Mab1---Fpl/8=-20kN-m,MBAF=Fpl/8=20kN-m求分配系数Hba=EI/(EI+EI/2)=1/(1+1/2)=0.667,pBC=(EI/2)/(El+EI/2)=(1/2)/(1+1/2)=0.333放松B点进行力矩分配(B点的集中力偶应该与固端弯矩一起分配)，分配过程如图8-2-1 0667 03331 0667 0333-20 20 0-25 -50 -25-45 -30 -25计1T过程（单传：kN・m）2所示，并作出M图如图8-2-2所示。2 32,5 30.Vffl仲位：kN・m）图822(b)考虑去掉悬臂部分CD,去掉后在C点施加大小为10kN・m的顺时针力偶矩。求固端弯矩(注意，C点的附加力偶传递到B点的作用不能忽略)Mbcf--3FP1/16=-18kN-m(集中力引起)MBcF'=l/2xlOkN-m=5kN-m(附加力偶引起)MbcF=Mbc『+Mbcf==-13kN-m,Mcbf:=1OkN-m求分配系数gBA=(3EI/2)/(3EI/2+3EI/4)=1/(1+1/2)=0.667,叱=(3EI/4)/(3EI/2+3EI/48.67108.67)=(1/2)/(1+1/2)=0.3338.67108.67钢仲位：kN・m)放松B点进行分配，分配过程如图8-2-3所示，并作M图如图8-2-3所示。图8-2-38-2试判断图8-2-4所示结构可否用无剪力分配法计算，说明理由。

图824解：(a)、(b)结构中杆件既有侧移，剪力也不静定，所以不能用无剪力分配法计算。(C)结构中，竖杆为剪力静定杆，斜杆两端无垂直于杆轴的相对线位移，所以是无侧移杆，可以用无剪力分配法计算。(d)、(e)、(f)结构中，竖杆为剪力静定杆，横杆为无侧移杆，可以用无剪力分配法。8-3试讨论图8-2-5所示结构的解法。用什么方法？各杆的固端弯矩、转动刚度和传递系数如何确定？解：（a）只有一根立柱，且横梁外端的支杆与立柱平行，可以用无剪力分配法。①横梁CD、BE按近端固定支承、远端钱支来计算其固端弯矩，因而有ScD=3i8,SBE=3iBe,传递系数均为0;②竖杆AB按B端滑动支承、A端钱支来计算其杆端弯矩，因而有：其转动刚度及传递系数均为0;③竖杆BC按B端固定支承、C端滑动来计算其固端弯矩，因而有SBc=iBc,传递系数为-1。（b）BCD部分只有一根立柱，且横梁外端支杆与立柱平行，可以用无剪力分配法；而BEFA部分用力矩分配法计算。①BC杆按B端固定、C端滑动来计算其固端弯矩，因而有SBc=iBc,传递系数为-1;②CD杆按C端固定、D端钱支来计算其固端弯矩，因而有ScD=3icn,传递系数为0；③BE和BF按B端固定，E、F端钱支来计算其固端弯矩，因而有SBE=3iBE,SBF=3iBF,传递系数均为0;④AB杆按两端均固定来计算其固端弯矩，因而有Sba=41ba,传递系数为1/2。8-4试作图8-2-6所示刚架的M图（图中EI为相对值）。qr=30kN/mn她取”毋出生不El=\一 555555? 」qr=30kN/mn她取”毋出生不El=\一 555555? 」•2m* 4m图826解：（1）求固端弯矩Mbaf=ql2/8=15kN-m,Mbcf=-ql:/8=-60kN-m(2)求分配系数Nba=[3(EI)ab/2]/[3(EI)ab/2+3(EI)bc/4+4gBC=[3(EI)bc/4]/[3(EI)ab/2+3(EI)bc/4+4257Hbd=[4(EI)bd/3]/[3(EI)ab/2+3(EI)bc/4+4229(EI)bd/3]=3/(34-3/2+4/3)=0.514(EI)bd/3]=(3/2)/(3+3/24-4/3)=0.(EI)bo/3]=(4/3)/(3+3/24-4/3)=0.计算过程（单位：kN-m）(单位：kN,m)（3）放松B点，进行力矩分配，分配过程如图8-2-7所示，并作M图如8-2-7所示。图827400kN7=40kN/m^~~X £,=2X£,=4x6mI3m3m 6mv a|・"-a|<一:— ►!8-5试作图8-2-8所示连续梁的M、Fq图，并求CD跨的最大正弯矩和反力。图8-2-8解：求固端弯矩Mbcf=-Fp1/8=-3(X)kN-mMcBh—Fpl/8=300kN•mMcDF=-q「/8=-(40x36)/8=-180kN-m求分配系数gBA=[4 (EI) ba/6]/[4 (EI) ba/6+4 (EI) bc/6]= (2/3) / (2/3+4/3) =1/3gBc=[4 (EI) bc/6]/[4 (EI) ba/6+4 (EI) bc/6]= (4/3) / (2/3+473) =2/3Pcb=[4 (EI) cb/6]/[4 (EI) Cb/6+3 (EI) co/6]= (4/3) / (4/3+2)=2/5Hcd=[3 (EI) cd/6]/[4 (EI) cb/6+3 (EI) Cd/6]=2/(4/3+2)=3/5分配过程如图8-2-9所示，并作弯矩图和剪力图如图8-2-10所示。1_|0.3310.67||0.4|0.6|050.X0 -300 100 200-44__IAA7一 3OO5^I8O100-88 -13214.665-5.866-8.799 0.978-0.391-0.5870.065321.45321.390A07.335-2.933A0*70IQAA ►00.489u.y/o-0.196 .o0.03357.860.065u2115.71 115.71()图8-2-9(单位：kNm)图8・2・10由剪力图可知FRC=407.97kN（向上），FRD=66.43kN（向上）弯矩在剪力为0处最大，距D点66.43/q=1.66m处，则M*（66.43x1.66）/2=55.14kN-m8-6图8-2-11所示某水电站高压水管，受管内水重及管道自重作用。试作水管的弯矩图和剪力图。设EI为常数。

图8211解：AB悬梁部分可以去掉，相应地在B截面施加一个逆时针的0.02ql2集中力偶。求固端弯矩Mbcf=_0.02ql2,McBF=ql2/8—0.01ql2=0.115ql2>Mcdf=-ql2/12MDcF=ql2/12,Mdef=-ql2/12,MEDF=ql2/12求分配系数"：b=(3EI/1)/(3EI/1+4EI/1)=3/7=0.43Pcd=(4EI/1)/(3EI/1+4EI/1)=4/7=0.57叱=即£=(4EI/1)/(4EI/1+4EI/1)=l/2=0.5分配系数0.430.570.50.5W为YD E周端弯矩-0.020.115-0.08330.0833-0.0833 0.0833放松C-0.0136—GOT81.—0.009放松。0.0023———0.00450.0045 ►0.0023放松C-0.001-0.0013杆端弯矩-0,020.1004-0.KXM0.0788-0.0788 0.0856C截面所受的弯矩绝对值最大，因此先放松C点，分配过程如图8-2-12所示。图8-2-12(xqp)0.l004o/2图8-2-138-7试作图8-2-14所示刚架的M图。设EI=常数。80kN15kN/mEV////A图8214解：求固端弯矩Mabf=一Fpl/8=-60kN-mMBAF=FPl/8=60kNmMbcf=-ql2/12=—45kN•mMcbh=ql2/12=45kN-m求分配系数设Nb，\=Nbe=Rbc=(4EI/6)/(4EI/6+4EI/6+4EI/6)=1/3Mcb=Hcf=Hcd=(4EI/6)/(4EI/6+4EI/6+4EI/6)=1/3表821

（单位：kN•m）1.285 7.291.285 7.29结点ABCABBABEBCCBCFCD1TI1T1T1T1T-6060-4545-7.5-15•IS-15-1.25-15-15-IS・1.250.210.420.42■Q.4I-0.035・007■007・0.07■6L2957.43■257・548629.17-1458-14.59作M图如图8-2-15所示。图8-2-15M图（单位：kN-m）8-8试作图8-2-16所示刚架的M图。FP=20kN行】OkN/m图8-2-16解：CD部分可以去掉，相应地在C截面附加一个顺时针25kN-m的集中力偶。求固端弯矩Mbaf=qF/8=31.25kN•mMBcr=-ql2/12=-2O.8kNmM"=-MbcF=2O.8RN・m求分配系数由,\=[3(EI)ba/5]/[3(EI)ba/5+(EI)BE+4(EI)BC/5]=(3/5x4EI)/(3/5x4El+2El+4/5x4EI)=6/19=0.316gBE=[(EI)Be]/[3(EI)ba/5+(EI)be+4(EI)bc/5]=(2EI)/(3/5x4El+2El+4/5x4EI)=5/19=0.263Nbc=[4(EI)bc/5]/[3(EI)ba/5+(EI)be+4(EI)bc/5]=(4/5x4EI)/(3/5x4El+2El+4/5x4EI)=8/19=0.421Mcb=[4(EI)cb/51/[(EI)cf+4(EI)cb/5]=(4/5x4EI)/(2El+4/5x4EI)=8/13=0.615Mcf=[(EI)CF]/[(EI)cf+4(EI)cb/5]=(2EI)/(2El+4/5x4EI)=5/13=0.385固端弯矩进行分配，计算并作出M图如图8-2-17所示。27.3A24心3.3XLUIU^25Ml知仲位：kN・m)图8-2-177=20kN/mnmm1C7=20kN/mnmm1C12m8-9试作图8-2-18所示刚架的内力图。设EI=常数。图8-2-18解：图中为正对称荷载作用下的对称结构，取半边结构研究，如图8-2-19所示。<7=20kN/mAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA，WT0.8 0.20 -240192 48192 -1922-120r—48-1686m966m半边结构图计算过程(单位:kN-m)半边结构图图8-2-19求固端弯矩Mbef——q「/3=124()kNmMebF=-q"6=-120kNm求分配系数gBE=(EI/6)/(4EI/6+EI/6)=l/5=0.2Nba=(4EI/6)/(4EI/6+EI/6)=4/5=0.8进行力矩分配，计算过程如图8-2-19所示。据上所述，作出刚架的内力图如图8-2-20所示。Fq图（单位:kN）A假1（单位：kN・m）Fn图（单位：kN）图82207=10kN/mABDE555555555^555 755J555W7W/ABDE555555555^555 755J555W7W/8-10试作图8-2-21所示刚架的内力图。设EI=常数。图8-2-21解：图中为正对称荷载作用下的对称结构，取半边结构研究，如图8-2-22所示。

「10kN/m0.50.5 0.3330.333 0.333 以06.670.28695£一-13.33 13.33 06.67 3.33—0.55 —1.11 —1.110.28 0.14-0.05-0.05-695 15.64-116-0.55-0.03-0.58勿 勿计算过程（单（-13.33 13.33诊-1.11 -0.5512.78-0.05-1449勿立：kN•m）A如I!/•,B如半出G吻吉构图再3.330.14347以图8-2・22求固端弯矩Mab^=-ql2/12=-13.33kN-m,Mba^=~Mab1-'=13.33kN-mMbcf=Mabf=-13.33kN-m,Mcbf=Mbaf=13.33kN-m所有杆端均为固定支座，任意一端的转动刚度均为EI,故分配系数可直接求得:J1ab=|1af=0.5,|1ba—|1bc=|1bg=0.333进行力矩分配，计算过程如图8-2-22所示。根据计算结果，作出刚架的内力图如图8-2-23所示。17.83㊀㊀0口II1I1口㊀1ri17.83㊀㊀0口II1I1口㊀1ri口F2.17 :2.6117.83

042.62.1739.14

O2.6142.617.83㊀乐图（单位：kN）图82238-11试作图8-2-24所示刚架的M、Fq、Fn图（图中I为相对值）。

0.5m>0kN l(6m95kb1.6I15m95kN 25OkNA1r1D/=2.7417=0.512<7=42kN/mB''H+ii+il+bE/=l.78/=0.51212.35mC勿衣一16.3m衣F,11图8-2-24解：图中为正对称结构，取半边结构如图8-2-25所示。求固端弯矩Magf=[-(250x0.5)(2x8.15-0.5)/(2x8.15)一(195x6.5)(2x8.15-6.5)/(2x8.15)]=-883.22kN-mMgaf=[-(250x0.50/(2x8.15)一(195x6.50/(2x8.15)]kNm=-509.28kNmMbhf=-1/3x42x8.15=kN-m=-929.92kN-mMhbf=_1/6x42x8.152kN-m=-464.96kNm求转动刚度A点S.4G=iAG=2.74E/8.15=O.336ES.AB=4iAB=(4x0.512)E/8.75=().234ESba=Sab_0.234EB点SBH=iBH=1.78E/8.15=0.218ESBc=4iBc=(4x0.512)E/12.35=0」66E求分配系数阳g=0,336/(0.336+0.234)=0.589gAB=1-0.589=0.411gBA=0.234/(0.234+0.218+0,166)=0.379gBH=0.218/(0.234+0.218+0.166)=0.353|1bc=1-0.379-0.353=0.268进行力矩分配，计算过程如图8-2-25所示。68S61

00.41C\半边结构图<7/7/176.22290.58-27.5311.32-1.070.44-883.22416.4216.220.63450-450-509.28-416.42-16.22•0.63-9430.379「@月0.269°0-929.920-464.96250.15328.26352.44145.29-328.26-39.08-51.29-55.065.6651.29-1.52-2.0-2.150.222.0-0.06-0.08-0.08209-655446-740125.08-19.54-0.76104.8图8-2-25（计算过程单位:kN-m）据上所述，作内力图如图8-2-26,8-2-27所示。“图仲位:kN«m)%图（单位：kN）图8226图8・2-27Fn图（单位：kN）8-12试作图8-2-28所示刚架的M图。4kN12kN12kN4kN图8・2-28解：根据对称性，取半边结构如图8-2-29所示。A点左边可以去掉，相应的在A截面施加一个2kN・m(逆时针)的附加力偶作用，CD杆较接在两端刚架上，受上部均布荷载作用，在杆端仅产生竖向集中力，竖向集中力通过两端刚架直接传至地面，不会引起刚架内部的弯曲变形，故将CD杆看作一个水平约束。求固端弯矩Magf=-(12x0.7)(2-0.7)/(2X1)kN-m=-5.46kNmMga*---(12x0.72)/(2x1)kN-m=-2.94kN-m求转动刚度A点SAG=iAG=1.5E/l=1.5ESAc=4iAc=1.333EC点Sce=4ice=4E/4=ESca=1.333E求分配系数Hag=1.5/(1.5+1.333)=0.529|1ac=1-0.529=0.471|4ca=1.333/(1.333+1)=0.571|4ce=1—0.571=0.429计算过程如图8-2-29所示。12kN3m4m半边结构图-5.46-2.941.63-0.2331.83-1.830.110.123-0.1231.5-3.5-4.90.471 0.5290.5710.815-0.4650.055-0.0310.3740.429-0.35-0.024-0.374-0.175-0.012-0.187'7^777,计算过程（单位：kN-m）图8-2-293.53.5图82308-13试作图8-2-31所示刚架的弯矩图。lOkN/mC20kN

1 1-►12m(a)(b)12m(a)(b)图8231解：（a）将荷载分为正对称和反对称两种荷载，正对称荷载作用下的对称结构，只在横梁产生拉力，不会引起梁柱产生弯曲变形，因此只需考虑反对称情况。选取半边结构如图半边结构图计算过程（单位:kN,m）半边结构图计算过程（单位:kN,m）8-2-32所示，采用无剪力分配法计算。图8232求固端弯矩Mba「=-Fp1/2=-3()kNmMabf=Mb,/=—30kN-m求转动刚度Sbe=(3x2)/6=1Sba=1/6=0.167求分配系数Hbe=1/(1+0.167)=0.857Pba=0.143计算过程如图8-2-32中所示，并作M图如图8-2-33所示。图8-2-33M图（单位：kNm）(b)采用无剪力分配法计算。求固端弯矩MBch——ql2/8=—1/8x10x42kN•m=-20kN-m求转动刚度SBA=i2—3SBC=3i,=12求分配系数Uba=3/(3+12)=0.2叱=0.8分配过程如图8-2-34所示，并作M图如图8-2-34所示。图82348-14试作图8-2-35所示刚架的M图。20kN/mEl=53mEl=210m(a)6m(b)图8235解：（解：（a）将荷载分为正对称和反对称两种,用无剪力分配法。正对称情况采用力矩分配法，反对称情况采0.571 0.4293kN/mB-5.143.86-3.86-3.863.863.860.571 0.4293kN/mB-5.143.86-3.86-3.863.863.866m-2.57-11.575m正对称半边结构图①正对称半边结构图①正对称情况，选取半边结构如图8-2-36所示。计算过程1（单位：kN-m）图8-2-36求固端弯矩MABh—图8-2-36求固端弯矩MABh——ql2/12=—9kN-mMbaf=_MABF=9kN-m求分配系数Sba=41ba=(4x2)/6—1.333SuE=iBE=5/5=1Hba=1.333/(1.333+1)=0.571gBE=1-0.571=0.429计算过程如图8-2-36所示。3kN/mlira.6m5m反对称半边结构图计算过程2（单位：kN・m）②反对称情况，选取半边结构如图8-2-37所示。图8237求固端弯矩Mabf=—ql2/3=-36kN-mMbaf=—qP/6=-18kN-m求分配系数SBA=iBA=2/6=0.333SBE=3iuE=3

呵=0.333/(0.333+3)=0.1|1be=1-0.1=0.9用分配法，计算过程如图8-2-37所示。20.0620.0620.06③叠加①②的过程，作M图如图8-2-38所示。图8238M图(单位：kNm)(b)将荷载分为正对称和反对称两种，正对称情况采用力矩分配法，反对称情况采用无剪力分配法。①正对称情况，取半边结构如图8-2-39所示。lOkN/m0.60.41818-30120.60.41818-3012—18-15-12-278m8m£/为常数正对称半边结构图V/7//A计算过程1（正对称半边结构图V/7//A计算过程1（单位：kN•m）图8239求固端弯矩Mbef=-ql73=-30kN-mMebf——ql2/6——15kNm求分配系数SBE=iBE=EI/3SBA=4iBA=EI/2|1b匕=0.4|1ba=0.6②反对称情况，取半边结构如图8-2-40所示。

1OkN/m反对称半边结构图011 0.89计算过程2（单位：kN・m）1OkN/m反对称半边结构图011 0.89图8240求固端弯矩MBff=-qP/8=-11.25kN-m求分配系数Sbe~3ieE-EISba=isA=EI/8胸=0.89|J.BA=0.11③将①②中求得的结果叠加，作M图如图8-2-41所示。29-829.图8-2-41M图（单位：kNm）8-15试作图8-2-42所示刚架的弯矩图。19kNC 八=09/-2=O.395/2=O.395Zi=0.938kN/2=0.395/2=0.395PooE8m图8242解：荷载分解成正对称和反对称两种，正对称荷载作用下的对称结构，只在横梁产生拉力,不会引起梁柱产生弯曲变形，因此只需计算反对称情况，取半边结构如图8-2-43所示，采用无剪力分配法。半边结构图0.068 0.932图8243求固端弯矩Mcbf=-l/2x9.5x3.8kN-m=-18.05kN-m,MBCF=18.05kN-mMbaf=-l/2x28.5x3.8kN-m=-54.15kN-m,Mabf=54.15kN-m求分配系数Sm=3icD=3x1.8=5.4=SbeScb-icB—0.395—Sbc=Sba"d=5.4/(5.4+0.395)=0.932,昧.=0.()68gBc=0.395/(5.4+0.395x2)=0.064=刖,\，rbe=1-0.064x2=0.872用分配法，计算过程如图8-2-43所示。据上所述，作M图如图8-2-44所示。图8244M图（单位：kN-m）8-16试联合应用力矩分配法和位移法计算图8-2-45所示刚架。lOOkN图8-2-45解：原刚架受力可分解为图8-2-46(a)正对称荷载作用和图8-2-Ezo一5OkN5OkN一OkN/m5OkN5OkNskN/mEzo一5OkN5OkN一OkN/m5OkN5OkNskN/m(b)46(b)反对称荷载作用两种情况。图8246(1)正对称荷载作用分析取半边结构如图8-2-47(a)所示，用力矩分配法求解。

©0.2550kN0.7550kNE、NNO一13.3346.2559.58-7515.42-59.58-13.3323139.8 计算过程单位:-25-15.42(a) (b)图8-2-47①计算杆端弯矩Mac=—qP/12=-13.33kNmMcA=13.33kN，mMce=-Fpa(21-a)/21=-75kN-mMec=Fpa2/21―—25kN-m②计算分配系数ScA=4icA=4x3=12Sce=icE=2ico=2x2=4"a=12/16=0.75,|1ce=().25③弯矩分配具体分配过程如图8-2-47(b)所示。④Mi图根据③的计算结果，以及体系的对称性得到Mi图如图8-2-48所示。

59.5859.5859.5859.58图8248(2)反对称荷载作用分析NN

ok5取半边结构如图8-2-49(a)所示，采用位移法求解，基本体系如图8-2-49(b)所示。图8-2-49①利用力矩分配法求解在荷载作用下的Mp图。a.杆端弯矩求解MAc=-13.33kN-mMce=-(3x50x4)/16=-37.5kN-m

b.分配系数ScA=4icA=4x3=12Sce=3icE=3x2icD=3x2x2=12J1ca=|1ce=0.5c.弯矩分配分配过程如图8-2-50(a)所示。d.Mp图(a)计算过程单位：kN-m (b)Mp图(单位：kN-m)25.4kNm24.54kN-m15.45kNm7.25kN-m(c)根据计算结果可得到半结构的Mp图如图8-2-50(b)所示。图8-2-50e.求Fip取隔离体如图8-2-50(c)所示，求得Fip=-24.54kN。②利用力矩分配法求解支座E向右产生单位位移时M(_＞图。a.杆端弯矩以及分配系数求解MAc=McA=-6iA1/l=-(6x3)/4=-4.5kN-m"a=Re=0.5b.弯矩分配具体分配过程如图8-2-51(a)所示。1.13(b)M图(b)M图(a)图8-2-51c.求解M(_»图根据以上计算结果可以得到半边结构的M(_力图如图8-2-51(b)所示。③列位移法方程，求&kuA+FiP=O△产一Fw/ku=24.54/1.41=17.4④Mz图图8-2-52M图8-2-52M周（单位：kNm）(3)M图叠加Mi和M：图，即乂=1^+乂2,得到最终M图如图8-2-53所示。图8-2-53M图（单位：kN-m）40kN/mmnm/=2 2 -/=1116A6m6m8-17试联合应用力矩分配法和位移法计算图8-2-54所示刚架。图8254解：原刚架受力可分解为图8-2-55(a)正对称荷载作用和图8-2-20kN/m皿皿皿“皿20kN/m(a)20kN/m皿皿皿“皿20kN/m(a)■wwaaLHEh]55(b)反对称荷载作用两种情况图8255(1)正对称荷载作用分析BE杆处于中轴线，在正对称荷载作用下不会产生弯矩及剪力、仅有轴力，且忽略杆的轴向变形，故B点和E点不会产生相对线位移，BE杆可简化为固定端支座。20kN/m取半边结构如图8-2-56所示。图8256①杆端弯矩求解Mde=-ql-/12=-1/12x20x6-=-60kN-mMed=—Mde=60kN-m②分配系数求解

S°A=4iDE=2E/3SDE=4ip=4E/3Pda=Sda/(Sda+Sde)=(2E/3)/(2E/3+4E/3)=1/3Hde=Sde/(Sda+Sde)=(4E/3)/(2E/3+4E/3)=2/3③弯矩分配011丁TOC\o"1-5"\h\z0 -6020 4020 -2001010弯矩分配过程如图8-2-57所示。图8-2-57（计算过程单位：kN-m）④Mi图根据以上计算，以及图形的对称性，作Mi图如图8-2-58所示。80qw飞\ B10图8-2-58M,图(单位:(2)反对称荷载作用分析(a)取半边结构如图8-2-59(a)所示，采用位移法求解图8-2-59①用力矩分配法计算荷载作用下的Me图a.杆端弯矩求解MDE=-qP/12=-(20x60/12=-60kN-mMed=_MDE=60kN-mb.分配系数求解彩7I10kNm)1(b),基本体系如图8-2-59(b)所示。Sda=4ioA~2E/3SDE=4iDE=4E/3gDA=SDA/(Sda+Sde)=(2E/3)/(2E/3+4E/3)=1/3即e=Sde/(Sda+Sde)=(4E/3)/(2E/3+4E/3)=2/3SED=4iDE=4E/3StB—4ii；B=E/3"d=Sed/(Sed+Seb)=(4E/3)/(4E/3+E/3)=4/5Reb=Seb/(Sed+Seb)=(E/3)/(4E/3+E/3)=1/5c.弯矩分配弯矩分配过程如图8-2-60所示。105.340.710.0916.14105.340.710.0916.14计算过程单位：kNm-8-1.06-0.14-9.2图826()Mp图根据以上计算结果求解得到M0图如图8-2-61所示。

32.18图8-2-61M»图（单位：kN-m）e.求解Fw根据ZR=O,得到Rp=-3.44kN-m。②计算支座E产生单位位移后的M（_力图a.杆端弯矩求解Mad=Mda=-61da/6=E/6Mbe=Meb=_6iEB/6=—E/12b.分配系数求解[Ida=1/3,[Ide=2/3,|1ed=4/5,|1eb~1/5c.弯矩分配弯矩分配过程如图8-2-62所示。9.110.110.08 -0089.110.110.08 -008184 1180 T80BI12计算过程单位：kN-rn -3I0-0.08图8-2-62d.M(_力图根据以上计算结果，得到半边结构M（一h图如图8263所示。（图中数字乘以E）图8-2-63M(_力图e.求解k”根据ZF*=O，得到k“=0.()69E。③列位移法基本方程knA,+F,P=O△产一FWku=-3.44/(0.069E)=49.86/E④M?图根据M°=M(_)A+Mp,得到M?图如图8-2-64所示。图8・2-64M?图(单位：kNm)(3)M图叠加正对称和反对称情况下的弯矩图，即根据M=Mi+Mz,得到M图如图8-2-65所示。

图8-2-65（单位：kN-m）叶10kN/m4m100kNEE数7////A8m8m8m图8-2-65（单位：kN-m）叶10kN/m4m100kNEE数7////A8m8m8mHGF8m(a)(b)(a)8-18试联合应用力矩分配法和位移法计算图8-2-66所示刚架。图8-2・66解：（1）根据对称性，取图8-2-66（a）中刚架的半边结构如图8-2-67所示，并取结点D竖向位移为A为基本未知量。注意：DE杆处于中轴线，在正对称荷载作用下不会产生弯矩及剪力，且忽略杆的轴向变形，故B点和E点不会产生相对线位移，DE杆对与其相连的杆件而言起着固定端支座的作用（刚度无穷大）。DE杆没有竖向约束，q=10kN/m在竖向均布荷载作用下一定会产生向下的位移。图8-2-67①荷载作用下的分析a.杆端弯矩McE=-ql-/12=-(10x64)/12=-53.3kNmMEc=53.3kN-mb.分配系数求解SCe=EI/2,Scb=Sbc=EISba=4EI/5,Sbd=EI/2(EI/2)/(EI/2+EI)=1/3Pcb=(EI)/(EI/2+EI)=2/3pBc=(EI)/(EI+EI/2+4EI/5)=0.435pBD=(EI/2)/(EI+EI/2+4EI/5)=0.217gBA=(4EI/5)/(EI+EI/2+4E1/5)=0.348c.弯矩分配弯矩分配过程如图8-2-68所示。计算过程单位：kNm-3.09-0.22-3.31d.Mp图⑹此图(⑹此图(X斋)根据以上计算结果得到Mp图如图8-2-69(a)所示。图8-2-69Fip求解由CE、BD杆的平衡可以求得杆端剪力如下FocE=-43.6kN(T),FOBD=0.78kN(1)所以Fn>=-42.82kN⑴。②单位支座位移下分析CE、BD有固端弯矩，Mce=Mbc=Mbd=Mob=-6EI/64=-9.375EI/100,弯矩分配过程略,M(_)图见图8-2-69(b)o由CE、BD杆的平衡可以求得杆端剪力如下FQbc=1.847EI/100(|)FQdb=2.07EI/100(1)所以k“=3.914EI/100(1)o③列位移法基本方程kuA+FiP=0A(=-Fip/kn=(42.82x100)/(3.914EI)=1094.02/EI④作M图根据叠加法原理，由M=M(_)A+Mp,得到最终弯矩图如图8270所示。图8270M图(单位：kN-m)(2)在图8-2-66(b)中D处附加竖向链杆得到位移法基本体系，如8-2-71(b.)所示。用力矩分配法，计算得到Mp图，如8-2-71(卜)所示，则有FQec=(74.43-87.58-100x4)/8kN=-51.6kNFqeh=(30.38+10.37)/8kN=5.09kNFQdb=(5.3-4.85)/8kN=0.056kNFQdG=(-8.76-2.52)/8kN=-1.41kN所以Fn>=(-51.6-5.09+0.056+1.41)kN=-55.22kN(T)。再作A=1时的弯矩图M(_)汝口图8-2-71(b?)所示。M(_%图与图8-2-66(a)的M(_)i图相同，所以ku=0.0784。代入位移法方程，解得A=7()4.3。用叠加法作M图如8-2-71(b4)所示。伽）位移法基本体系74.43|K 10.371.99（MMp图（单位:kN•m）0.06740.07910.0234C0.0674 0.0674rTrrr^ ^<rnT0.08060.0557 005570,0864901170.0117®0.06740.0791|0.0234121.9（bj）Wffl（单位:kN•m）他）防图图8-2-714x4m8-19试作图8272所示4孔空腹刚架的弯矩图。图8272解：根据对称性，取半边结构计算，如下图8-2-73(a)所示，通过受力分析可将结构简化为图8-2-73(b)中结构，再取一半结构如图8-TOC\o"1-5"\h\z0.25 0.75-2.364.34 13.02-0.51013 0.38-13,望0.118-152.36

-4.34

0.51

-16.470.1763.520.7060.118-152.36

-4.34

0.51

-16.470.1763.520.706^5514.120.763.0717.19(小位：kN-m)(①计算过程(单位：kN-m)2-73(c)所示。图8273求固端弯矩Mabf--Fp1/2=—l/2x7.5x4kN・m=-15kNmMbaf=15kNmMbcf=-1/2x(7.5-5)x4kN・m=-5kN・mMcB「=5kN・m求分配系数Sag=3iAG=6,SaB=iAB=2=SBASBH=3iBH=12,Snc=iBc=3阳B=2/(6+2)=0.25,gAG=1-0.25=0.75Hbc=3/(3+2+12)=0.176Nba=2/17=0.U8,hbh=12/17=0.706计算过程如图8-2-73(d)中所示，并作M图如图8-2-73(e)所示。8-20剧院眺台结构如图8-2-74(a)所示，其计算简图如图8-2-74(b)所示，杆旁数字为杆的线刚度i。在竖向荷载q作用下，试作M图。注意：本题有结点线位移。(b)图8274解：利用复式刚架的求解方法，注意柱的串联关系和结点线位移的处理方法，可采用位移法和力矩分配法联合求解，过程略，M图如图8-2-75所示。图8-2-75M图（单位:kNm）8-21试用反弯点法作图8-2-76所示刚架M图。50kNglOOkND4mJ一6m图8-2-76解：设柱的反弯点在柱的中点，且由于顶层各柱线刚度相同，底层各柱线刚度也分别相同，所以各柱分配系数都为1/3。则柱顶剪力为：上层柱：FQi=50xl/3=50/3kN；下层柱：FQ2=150xl/3=50kNo所以柱端弯矩为：上层柱：M।=Mb=-50/3x2.5=-41,667kN-m；下层柱：Mi=Mh=-50x2.5=-125kN-mo求分配系数Nhg=4/(4+5)=4/9,|1hi=5/(4+5)=5/9Ned=7/(7+10)=7/17,^=10/(7+10)=10/17MHGF=4/9x41.667=18.52kN-mMh!f=5/9x41.667=23.15kN-mMr.DF=7/17xl25=51.47kN-mMEFF=10/17x41.667=24.51kN-m得到弯矩图M图如图8-2-77所示。

41,667图8277M图（单位：kNm）*8-22图8-2-78所示两个连续梁，其中第2个比第1个少了两跨，其余相同。用求解器分别求解两个连续梁,比较结点1和2处的弯矩，从中可以得出什么结论？各跨刚度相同：EA=5x10%n,EI=2xlO?kN-m\lOkNm(b)。用求解器计算温度改变引起的最lOkNm(b)。用求解器计算温度改变引起的最lOkNm%-枭⑵易⑶易⑷凝.l()ml()m1l()mI()m』(a)图8278解：略。*8-23图8-2-79所示框架底层左边第一间起火，温度上升了t=100.13(19)14(20)15(21)16(9)(10)(11)(12)9(16)10(17)11(18)12(5)(6)(7)(8)5(13)6(14)7(15)8(1)(2)(3)(4),r=IOOC3124^555.5m.J5m5m」大弯矩值。各杆截面高h=0.6m,EA=5xl(/kN,EI=2xlOJkN-m2o图8279解：略。8.3名校考研真题详解一、选择题图8-3-1所示结构（EI=常数）用力矩分配法计算时（ ）。［厦门大学2011研］|1bc=1/8,Cbc=-1j4.bc=2/9Cbc=1|1bc=1/8,Cbc=1|1bc=2/9,Cbc=-1图8-3-1【答案】D【解析】Mba•Mbd•Mbc_41ba3iso:iec＞分别计算其中的i,代入其中,可得（1bc=2/9,滑动支座的传递系数为一1。图8-32（a）所示结构中（EI=常数），力矩分配系数内&=（ ）»［哈尔滨工业大学2013研］7/41/24/5

图8-3-2(a)【答案】C【解析】先求转动刚度Sba和Sbc,其中如何求Sbc是关键。单位转角下BC杆的变形见图8-3-2(b),需要用力法求B端弯矩。取图8-3-2(c)所示的基本体系(轴力对弯矩无影响，故不取作未知量)，再分别画出M(_＞图(如8-3-2(d)所示)和支座位移引起的位移图(如图8-3-2(e)所示)，力法方程为3uXi+Ac=0。系数3“=a/EI,AIC=-L代入力法方程解得Xi=EI/a,所以B端弯矩为EI/a,0PSBc=EI/a=易知SBA=4EI/a,所以内八=4/5。图8-3-2(b)图8-3-2(c) 基本体系图8-3-2(e) 支座位移引起的位移图二、填空题图8-3-3所示结构，若采用单节点的力矩分配法计算，则AC杆的分配系数rac=,结点E的弯矩Me=(内侧受拉为正)。(EI均为常数)［浙江大学2015研］£71=8£71=8图833【答案】3/8；-qP/16【解析】AE杆E端能水平移动不能转动相当于滑动支座，F端不能提供竖向反力,相当于悬臂端，AB杆B处为固定端，所以AC杆的分配系数阳c=3i/(3i+i+4i+0)=3/8ii)="3i+i+4i+0 16,结点E的弯矩用力矩分配法计算图8-3-4所示结构，杆长均为1,EI=常数。其分配系数HBA=«［中国海洋大学2018研］

【答案】4/5；1/5；0【解析】本题考查力矩分配法的基本定义。BA远端为固定端，SBA=4i；BC远端为滑动支座，SBC=i；BD远端虽然为支座，但链杆方向为BD杆的轴向，实质为悬臂梁，SBD=0o可以求得分配系数|iBA=4i/(4i+i)=4/5,guc-i/(4i+i)=1/5,内)。=0三、分析题试画出图8-3-.乜5所示结构M图和Q图的大致形状。(EI均为常数、M0<PL/8)［北京交通大学2012研］图8-3-5解：不通过计算作出结构内力图的大致形状，主要是根据受力特性，如刚节点受力平衡,弯矩和剪力的微分关系，弯矩图的凹凸等。

(I)B点产生逆时针转角，可以画出BC杆弯矩，由ZMb=O可得AB杆B端弯矩。A点由弯矩分配可得竖杆A端弯矩。AB杆在集中荷载作用下产生的A端弯矩大于M。，故AB杆A端弯矩为逆时针且小于竖杆A端弯矩。作出结构的弯矩图如图8-3-6(a)所示。图8-3-6(a)图8-3-6(b)定性判断，作M图。(如图8-3-7所示，其他杆的抗弯刚度均为EI)［同济大学2013研］解：右侧框架顶层水平梁为无穷刚杆，两侧无转角，无弯矩。结构的弯矩图如图8-3-8所示。图8-3-8画出图8-3-9结构弯矩图的大致形状。［同济大学2013研］图8・3・9解：由于上部为两个刚结点，用力矩分配法大致求其弯矩图，作出该结构弯矩图大致形状图8-3-10用力矩分配法计算图8-3-11所示结构，作M图。（EI均为常数）［四川大学2015研］图8-3-11解：(1)该结构为反对称荷载作用下的对称结构，取半结构进行分析，如图8-3-15kNm15kNm12(a)所示。图8-3-12(a)(2)用力矩分配法求解该结构，在E结点处附加刚臂。求分配系数SKA=3iAE=3xEI/3=ELSEG=3iEG=3xEI/3=EI,Stc=4iEc=4xEI/6=2EI/3uea=EI/(EI+EI+2EI/3)=3/8,Ueg=EI/(EI+EI+2EI/3)=3/8,uEC=(2EI/3)/(EI+EI+2EI/3)=1/4(3)求杆端初始弯矩Mrc=20x6/8kN-m=15kNmMce=-20x6/8kN-m=-15kNmMeg=-15/2kN-m=-l5/2kN-m(4)力矩分配过程如表8-3-1。结点E(—40kN,m)C杆端NfecNfeoMce分配系数381/438—初始弯矩—15-7.5-15松开E12.28.112.24.1总12.223.14.7-10.9表8-3-1(5)利用对称性，作出结构的弯矩图如图8-3-12(b)所示。图8312(b)(单位：kNm)图8-3-13所示结构，各杆EI=常数，试利用对称性作出结构简化分析的计算简图，说明计算方法,并绘出原结构的弯矩轮廓图（无需给出具体的数值）。［浙江大学2015研］cDB图8-3-13cDB图8-3-13解：(1)此结构为对称结构，在正对称荷载作用下可取半边结构如图8-3-14(a)所示，利用正对称的性质以及将A处支座的力等效于可进一步简化为图8-3-AF/2AF/214(b)o图8-3-14(a)FF，2图8-3-14(b)（2）可用位移法分析此半边结构，取0八Aac为基本未知量，根据半边结构的变形图可绘AA出原结构的弯矩轮廓图如图8-3-14（c）所示。图8-3-14(c)用力矩分配法计算如图8-3-15所示连续梁，并作弯矩图，各杆EI为常数。（分配传递两次即可）［南京理工大学2015研］F=60kN图8-3-15解：(1)求转动刚度。Sba=4xEI/4=EI,Sbc=4xEI/6=2EI/3Scb=4xEI/6=2EI/3,Scd=3xEI/4=3EI/4求分配系数：0.6» _0.4»[IcB~8/17,|1cd—9/17(2)计算固端弯矩。Mbc=-Fp1/8=-60x6/8=-45kN•mMcb=Fpl/8=60x6/8=45kN*mMcd=-q1/8=-10x478=-20kN•m(3)分配过程如如表8・3•表表832(单缶kN'm)结点AB(-100kNm)C杆端%%MgMcd分配系数0.60.48/179/17传递系数0.50.5初始弯矩-4545-20松开843.5875829松开C-117-25.4-28.6松开B1817.625.08154松开C-1.2-1.34总47.3194.625.3849.94-49.<M（4）最后结构弯矩图如图8・3・16所不。图8-3-16（单位：kNm）绘制出图8-3-17所示结构各杆件的变形示意图。（EI均为常数）【湖南大学2010研］p,E/=8图8-3-17解：结构各杆件的变形示意图如图8-3-18所示。第一层横梁杆件的EIp,E/=8图8-3-17解：结构各杆件的变形示意图如图8-3-18所示。第一层横梁杆件的EI为无穷大,荷载作用下不会产生弯曲，横梁与柱的连接结点无转角。第二层横梁杆件的EI为有限制,荷载作用下会产生弯曲。两层柱的反弯点位置均靠近位于柱中心的位置。图8-3-18用力矩分配法计算如图8-3-19所示连续梁的转动刚度、分配系数、固端弯矩。［中国海洋大学2018研］图8-3-19解：(1)求转动刚度Sba=2EI/6=EI/3,Sbc=Scb=4xEI/8=EI/2,Scd=3xEI/6=EI/2求分配系数gBA=(EI/3)/(EI/3+EI/2)=2/5,叱=(EI/2)/(EI/3+EI/2)=3/5Pcb=(EI/2)/(EI/2+EI/2)=1/2,pcn=(EI/2)/(EI/2+EI/2)=1/2(2)求固端弯矩Mab=qF/6=6x696=36kNm,Mba=ql2/3=6x673=72kN-mMbc=-Fp1/8=-20x8/8=-20kN-m,MCB=FPl/8=20x8/8=20kN-mMcD=-qP/12=-10x62/12=-30kNm,Moc=ql2/12=10x6712=30kN-m用力矩分配法计算图8-3-20所示结构的弯矩图，再根据弯矩图作出剪力图。已知q=2.4kN/m,各杆EI相同。（循环计算两轮）［华南理工大学2014研］10m7.5m ।10m图8-3-20McBMcBF=ql2/l2=20kN-m解：（i）求固端弯矩：Mbcf=-ql2/12=-20kN-m3x旦EI EI=033310104x—+4x——+3x——1010（2）求分配系数：Nbc4又旦104xEIlo4x且10+3x旦7.5=0.333Ube4x—10 人EI人EI°EI4x——+4x——+3x——=0.33310104xEITo4x旦+4x且10 10,EI4x—"cd= rj~~~~FT=0.5El,El10104x——+4x——1010(3)分配过程如表8-3-3。表8-3-3结点EBCD杆端弯矩地EMbaNfacMcbMcd初始弯矩-2020分配系数1/31/31/31/21/2传递系数1/21/21/2松开C-5-10-10-5松开B4.28.38.38.34.2松开C-1-2.1-2.1-1松开B0.20.30.30.3总4.48.68.6-17.412.1-12.1-6(4)根据表8-3-3所求结果，作出结构的弯矩图如图8-3-21(a)所示图8-3-21（a）（单位：kNm）(5)由弯矩和剪力的微分关系可作出结构的剪力图，如图8-3-21(b)图8-3-21(b)(单位:kN)A20kN/m»i=216kN11m4m10m用力矩分配法计算图8-3-22所示梁，并作M图。［华南理工大学2016研］图8-3-22解：用力矩分配法，该结构只需分配B结点弯矩即可，将D处的集中力可以简化为C处的弯矩。(1)求转动刚度、分配系数Sba_3iAB=3,Suc=3iuc=6；［1ba=1/3,jibc=2/3(2)求固端弯矩Mba=qIV8=20x478=40kN-mMcb=1x16=16kN-mMbc=16/2=8kN-m(3)分配过程如表8-3-4。结点B固端弯矩Nfec分配系数1/32/3初始弯矩408松开B一16-32总24-24（4）作出结构的弯矩图如图8-3-23所示。图8-3-23（单位：kNm）用力矩分配法计算图8-3-24所示连续梁，并作梁的弯矩图。（EI均为常数）「华南理工大学2017研］图8-3-24解：（1）杆EF为悬臂端，可等效为加载在E结点上的集中力偶MED=120kN・m。杆AB在A端没有竖向约束，可以看成悬臂端，直接等效为集中力偶MBc=-120kN-m。（2）求各结点转动刚度3EI/8Scb~3EI/8,Scd—Sdc—EI/2,Sdf~4ir）E—3EI/83EIu二-T二3

Ac5-3EIEI~7 F

8 2求分配系数求分配系数EIAcoTOC\o"1-5"\h\z-2 _4Aco3EI-EI- +--■8 2EIV4Mdc=3EIEI=7 H 8 23EI.._~S~_3“de-3£-yEI~7守+三(3)求各杆端固端弯矩Mbc=-120kNm,Mcb=qF/8—60=60kN•mMdf=-qP/8+60=-60kN-m,Med=120kN-m(4)分配过程如表8-3-表

结点BCDE杆增弯矩Mg%M0c%%分配系数—344T3T—传递系数0.5初始穹矩-1206000-60120松开C-25.71-34.29-17.14松开022.0444.0833.06松开C-9.45-12.59-6.30松开。1.803.60170松开C-0.77-1.03-0.51松开00.150.290.22总-12024.07-23.9224.02-24.02120（5）叠加法作弯矩图如图8-3-25所示。图8-3-25（单位:kNm）n试用力矩分配法作图8・3・26所示结构的弯矩图。已知：Pi=200kN,P2=400kN,q=20kN/m。（计算两轮）「华南理工大学2018研］

2m2mIm।imI2m«2m2mIm।imI2m«—~~ 3m图8326解：(1)结构具有两个角位移为基本未知量，分配过程如表8-3-6。（单位：kN-m）截面ABRABCCBCECDDC分配系数0.330.670.740.140.12固端变距-505000300-60-30-87.6 1-175.2-33.6-31.2- 31.26.21 —12.4125.19 —12.60分配选与传递-4.6 ♦—-9.20-1.76-1.64- 1.640.76 -L523.08 11.54-1.12-0.22-0.20- 0.20最终弯矩-43.0363.93-63.93-171.38264.42-93.043.04表8-3-6(2)根据分配弯矩画出结构的弯矩图，如图8-3-27所示。图8・图8・3・27（单位：kNm）4m4m4m用力矩分配法计算并作图8-3-28所示结构的弯矩图。各杆EI相同。［重庆大学2012研］图8-3-28解：(1)先求转动刚度和分配系数Sac=O,Sad=4EI/4=EI求Sab时应注意，B点虽然是定向支座，实际上却不能移动，否则将引起AB杆的伸长或缩短，因此B点相当于固定支座，即Sab=4EI/5,Rad=Sad/(Sad+Sab+Sac)=EI/(EI+4EI/5)=5/9因b=Sab/(Sad+Sab+Sac)=(4EI/5)/(EI+4EI/5)=4/9gAC=O(2)求固端弯矩Macf=-ql2/2=-24kN-m,Madf=—Mdaf=20x4/8=1OkN-m求AB杆的固端弯矩时应注意，B点20kN的集中力不引起固端弯矩，则Mabf=_MBAF=3x42/12=4kN-m(3)传递和分配见表8-3-7,结构最后弯矩图如图8-3-29所示。单位：kN•m结点BAD杆端BAABACADDA分配系数4/905/9固端弯矩-44-2410-10分配传递20/9-40/9050/9-25/9杆端弯矩-1,88.4-2415.6-7.2表8-3-7图8329M图（单位：kNm）试用力矩分配法计算图8-3-30所示结构，并作弯矩图。［华中科技大学2018研］图8330解：Sra—4EI/4—EIjShc=3EI/6=EI/2,|1ba=2/3,]1bc=1/3Mabf=-40x4/8=-20kN-m,Mbap=40x4/8=20kNm分配过程如图8-3-31所示。分配系数2/31/3固端弯矩

分配与传递

杆端弯矩-2020-25y--50 -25-45 -30 -25图8-3-31（单位:kN-m）作出结构的弯矩图如图8-3-32所示。图8-3-32弯矩图（单位：kN-m）第9章静定结构总论复习笔记本章对静定结构的相关知识进行了归纳总结。介绍了几何构造分析与受力分析之间的对偶关系，归纳了零载法的详细求解步骤，分析了空间杆件体系的几何构造，阐述了空间杆件体系与平面杆件体系的联系，介绍了静定结构的受力特性，比较了静定结构不同结构形式的优缺点。一、几何构造分析与受力分析之间的对偶关系几何构造分析与受力分析之间的对偶关系是指“各部件的自由度总数''与"全部约束（包括多余约束）数”之间的相互关系，二者之间的差值为计算自由度W。根据表9-1-1,体系的W值不同，其静力特性也不同。结构特性W>0W<QF=0平衡方程与未知力的关系平衡方程个数>未知力个数平衡方程个数<未知力个数平舫程个数=未财个数方程解无解有无穷解方程组系数行歹情彳0方程组系数行多艮=0有唯一解无解（一般荷载）、无穷多解（特殊荷载）几何体系类别几何可变体系有多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系有多余约束的几何可变体系表9-1-1具有不同计算自由度W的结构特性二、零载法（见表9-1-2）表9-1-2具有不同计算自由度W的结构特性

要点主要内容零载法的祇念零载法是针对甲=0的体系，用静力法来研究几何犍问题，用平衡方程的解的唯一性来检蛉其几何不变性的方法判断依据①几何不变结构（犷=0）在外何载为零的情况下，它的全部内力都为零；②几何可变结构（犷=0）在外荷载为零的情况下，它的某些内力可不为零求解方法初参数法初参数法是一种通过给结构中某杆件覆设一轴力X（X称为初参数），再依次求解其他杆件柳，最后通过起始结点平衡条件算出X值，并由X值大小尹惭结构体系类别的方法，其具体求解步骤如下：①计算结构的H,值，若犷=0,则可以使腌载法。②移除结构中的多余零杆。③步蜥结构用结点法是否能简便地求出剩下各杆件内力。④若不便于采解点法，则预设某结点上的一个杆件魄力为北⑤根据初参数依次求解相邻其他杆内力，依;煤出所有杆的内外再回到该结点。⑥通过该节点的平衡方程求出筋⑦判断X值。若X=0,该结构为几何不变体系；若X>0,该结构为几何可变体系虚动原理角度虚动原理是分析静力学的重要原理，它阐明对于一个静态平衡的系统，所有外力经过虚位移所作的虚功总和等于象这里通过虚动原理来判断一个平衡的结构是否存在自内力，其具体求解步骤如下：①计算结构的w,值，若度=0,则可以使用零载法。②移除结构中的多余零杆。③撤除某一约束，代以主动力为。④设网产生的位移为4r,列虚功方程Fx-4r=0。⑤羊蜥撤除约束后体系自由度是否僧加。⑥若新增一个自由度，则」#0,解得8=0,该结构为几何不变体；若自由度不变，则4r=0,解得为有无穷解，该结构为几何可变体三、空间杆件体系的几何构造分析一空间结构的概念空间结构是指各杆件轴线不在同一平面内的结构，它分为空间刚架结构和空间桁架结构,这两种空间结构的区别见表9-1-3。表9-1-3空间刚架和空间桁架的区别结构特性空间解空间桁架结点形式多为雕只有较结结点受力能传递音迂不能传递变矩杆件形式梁式杆二力杆杆件受力剪力、弯矩、轴力轴力空间杆件体系的基本组成规律空间杆件体系有三种组成方式：四个较连接、一个较与一个刚体连接、一个刚体与另一个刚体（基础）连接。不同组成方式的连接方式、限值条件见表9-1-4,此外，表9-1-4还分析了空间杆件体系与平面杆件体系之间的联系。连接部件连接方式限制条件与平面体系的联系四个钱四根涟杆两两题较不共面①点在平面内只有两个自由度，需要两根道杆J点空间内有三个自由度，需要三根涟杆。②刚体在平面内只有三个自由度，只需要三根涟杆J刚体在空间有六个自由度，需要六根造杆较与刚体三根燧杆道杆不共面刚体与刚体（基础）六根琏杆涟杆不交于一直线表9-1-4空间杆件体系的连接方式空间较接体系的计算自由度W设体系上结点的总数为j,链杆与支杆总数为b。空间中一个点具有3个自由度，一根链杆或支杆约束结点一个自由度，因此体系多余自由度个数W表示为W=3j-b根据表9-1-1可判断不同W值下结构的静力特性。四、静定空间刚架空间刚架问题当组成刚架的杆件轴线与外荷载不在同一平面内时，这类问题称为空间刚架问题。目内力计算空间刚架有3个位移自由度、3个转动自由度，因此杆件截面具有6个内力分量（Fn、Fq>Fq2、Mx、My、Mz）.可由6个平衡方程分别求解，其计算方法与平面刚架体系相同。

ooOooO===oooXyZ==-MMM位移计算空间刚架的位移计算通常只需考虑空间杆绕截面两个主轴的弯矩，以及绕杆轴线的扭矩的影响。五、静定结构的受力特性静定结构是指无多余约束、仅由自身平衡条件即可求出所有内力且解答唯一的结构，它具有以下几个特性，见表9-1-5。特性分类主要内容零荷载下内力为零侬荷载作用时结构具有唯一的零解,②当结构受到如支座位移、材料收缩、温度改变、制造误差等作用时均不对静定结构产生枇和勋局部平衡性仅靠静定结构中的某一局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零，例如：隔力系作用在主体部分上，砌据部分不产生助，附属部分的支座处不产生反力；②若力系作