高考数学专项练习讲义-圆的方程

§8.3圆的方程【考试要求】1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.・落实主干知识【知识梳理】.圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x—4)2+(y—人)2=户(r>0)圆心C(a,b)半径为r般x2+y2+Dx+£y+F=0(£>2+£2—4F>0)圆心c半径r=^\lDr+E2—4F.点与圆的位置关系平面上的一点M(xo，yo)与圆C：(x—aA+Cy—5)2=/之间存在着下列关系：在圆夕卜,即(xo—4)2+。0—6)2>3台“在圆外：(2)\MC\=r^M在圆上,即(xo—a)2+(yo—b)2=/OM在圆上；⑶在圆内,即(必一°)2+0()—8)2<户㈡/在圆内.【常用结论】.以A(x”y。，B(X2，刃)为直径端点的圆的方程为(x-xi)(x—X2)+(y-yi)(y—y2)=0..圆心在过切点且与切线垂直的直线上..圆心在任一弦的垂直平分线上.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(V)(2)圆的半径为a.(X)(3)方程Ajr+Bxy+Cf+Dx+Ey+F^表示圆的充要条件是A=CK0,8=0,3+炉一4AF>0.(-J)(4)若点M(xo,州)在圆/+9+瓜+£\+尸=0外，则焉+4+。沏+及yo+QO.(-J)【教材改编题】.圆f+y2—4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是()

A.(2,3),3 B.(-2,3),小C.(-2,-3),13 D.(2,-3),V13答案D解析圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-l)2+(j-I)2=l B.(x+»+&+1)2=1C.(x+1>+。+1)2=2 D.(x-l)24-(y-l)2=2答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径7"»=取,则该圆的方程为。-1)2+&_1)2=2..若坐标原点在圆(X—机)2+0+«?)2=4的内部，则实数，”的取值范围为.答案(—取,y[2)解析\•原点(0,0)在圆。一团)2+。+机)2=4的内部，(0-w)2+(0+m)2<4,解得一也・探究・探究核心题型题型一圆的方程例1(1)(2022.深圳模拟)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切，圆心在直线y=_x—4_h)则圆M的方程为()A.(x+3)2+(y—1)2=1 B.(X—3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+l)2=l D.(x-3)2+(y-l)2=l答案C解析到两直线3x-4y=0,3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立3x-4y+5=0,联立3x-4y+5=0,j=x—4,|x=3,解得又两平行线间的距离为2,所以圆M的半径为1,从而圆M的方程为。+3)2+。+1)2=1.(2)已知圆的圆心在直线x-2y-3=0上，且过点A(2,-3),8(—2,-5),则圆的一般方程为.答案/+产+级+4丫5=0解析方法一设所求圆的标准方程为(x—a)1+(y—b)2=r2,

(2—a)2+(—3—/>)2=r,由题意得y—2—。)2+(—5—6)2=/,2/>—3=0,解得故所求圆的方程为(x+l)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.方法二线段AB的垂直平分线方程为2r+y+4=0,联立'2x+y+4=0,联立'2x+y+4=0,x~2y—3=O,得交点坐标0(—1,—2),又点O到点A的距离d=-\[\0,所以圆的方程为(x+l)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.【教师备选】1.已知圆E经过三点A(0,l),8(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为( )3-42516,225+r=T答案C解析方法一(待3-42516,225+r=T答案C解析方法一(待定系数法)设圆E的一般方程为x1+y1+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),fl+E+F=0,则由题意得彳4+2。+/=0,U-£+F=0,D=-1,E=0,所以圆E的一般方程为f+V-lx-UO,方法二(几何法)因为圆E经过点4(0,1),仇2,0),所以圆E的圆心在线段A8的垂直平分线y-/=2(x-l)上.由题意知圆E的圆心在x轴上,

所以圆e的圆心坐标为e，o).则圆E的半径为|EB|=^2-1)2+(0-0)2=J,所以圆E的标准方程为卜-方+土磊2.在平面直角坐标系。孙中，以点(0,1)为圆心且与直线x—外+26+1=0相切的所有圆中,)B.f+0-1)2=2)B.f+0-1)2=2D.f+(y-l)2=16A./+(y—1)2=4C./+(j-1)2=8答案B解析由直线、一力+28+1=0可得该直线过定点4—1,2),设圆心为8(0,1),由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax=h48|=y(_l_0)2+(2-l)2=啦,所以半径最大的圆的标准方程为f+(y—1>=2.思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心3,6)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,b,r的值：②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出3,E,尸的值.跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1,且过点4(1,2)的圆的方程是( )A./+(y-2)2=l B./+(y+2)2=lC.(x-1)2+(j-3)2=1 D.f+(y-3)2=4答案A解析根据题意可设圆的方程为f+(y—b)2=l,因为圆过点A(l,2),所以P+Q-勾2=1,解得6=2,所以所求圆的方程为f+6—2)2=1.(2)(2022・长春模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x-3)2+(y-l)2=l B.(x-2)2+(y-l)2=lC.(x+2)2+(y-l)2=l D.(x-2)2+(y+l)2=l答案B\4a~3b\-5-解析设\4a~3b\-5-由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离4=化简得|4°-3例=5,①又圆与X轴相切，可得步|=r=1,解得力=1或力=-1(舍去),把b=l代入①得4a—3=5或4a—3=-5,解得a=2或a=-1(舍去)，所以圆心坐标为(2,1),则圆的标准方程为(X—2)2+。-1)2=1.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知RtZXABC的斜边为AB,且A(—1,0),5(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解(1)方法一设C(x,y),因为A,B,C三点不共线，所以y#0.因为4C_LBC,且BC,AC斜率均存在，所以kAckBc=-1.又以c=*'融c=言'所以#?言=一1,化简得/+丁一级一3=0.因此，直角顶点C的轨迹方程为f+y2-2x-3=0(jW0).方法二设A8的中点为。，由中点坐标公式得0(1,0),由直角三角形的性质知|CC|=；|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为。-1)2+产=4。彳0).(2)设M(x,y),C(x0,yo),因为8(3,0),M是线段BC的中点，由中点坐标公式得工=初厂，yp+o尸2'所以xo=2x—3,yo=2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x-l)2+V=4SW0),将xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4,即(x—2)2+9=1。#0).因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+9=1GW0).【教师备选】已知圆/+/=4上一定点A(2,0),8(1,1)为圆内一点，P,。为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若NPBQ=90。，求线段PQ中点的轨迹方程.

解(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知点P坐标为(2x-2,2y).因为点尸在圆x2+尸=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(X—1)2+9=1.(2)设尸。的中点为N(x,y).在Rt/XPBQ中，\PN\=\BN\.设。为坐标原点，连接0M图略)，贝UON±PQ,所以|OF|2=|ON|2+|pm2=|0杯+网2,所以w+V+a—iy+cy—1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为j^-Vy1—x—y—1=0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练2(1)当点P在圆/+尸=1上运动时，连接它与定点Q(3,0),则线段产。的中点M的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=l B.(x—3>+丁=1C.(2x-3)2+4/=1 D.(2x+3)2+4/=1答案C解析设M(x,y),P(x0,y0),因为尸Q的中点为M,(xo+3x=2，所以《,yo+0l>=2'所以xo所以xo=2x-3,.yo=2y,又因为P在圆/+y2=i上，所以(2%—3)2+4产=1，所以M的轨迹方程即为(版-3)2+4产=1.(2)自圆C：。-3)2+&+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q,PQ的长度等于点P到原点。的距离，则点P的轨迹方程为( )

A.8x-6y-21=0 B.8x+6y—21=0C.6x+8y-21=0 D.6x—8y—21=0答案D解析由题意得，圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,连接PC,C。(图略)，因为伊。=1尸。1，且尸。_LC。，所以|PO|2+/=|PC|\所以a2+j2+4=(x—3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点尸的轨迹方程为6x-8y-21=0.题型三与圆有关的最值问题命题点1利用几何性质求最值例3已知Af(x,y)为圆C：f+y2—4x—14y+45=0上任意一点，且点。(-2,3).⑴求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值：(3)求y-x的最大值和最小值.解(1)由圆C：f+V-4x-14y+45=0,可得。-2)2+。-7)2=8,二圆心C的坐标为(2,7),半径「=2啦.又1。@=、(2+2)2+(7—3)2=4啦,工IMQImax=4啦+2啦=/|MQ|min=4啦一2啦=2<!(2)可知皆|表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y—3=%(x+2),即kx—y+2%+3=0.•・•直线M。与圆C有交点，|2%-7+22+3]:|2%-7+22+3]:・小+正W2啦,的最大值为2+4,的最大值为2+4,最小值为2—小.(3)设y—x=b,则x~y+b=0.当直线y=x+b当直线y=x+b与圆C相切时，截距分取到最值,.|2-7+fe|,\l2+(-l)2-：.b=9或b=l..•.y-x的最大值为9,最小值为1.命题点2利用函数求最值例4(2022・湘潭质检)设点P(x,y)是圆—3尸=1上的动点，定点A(2,0),B(—2,0).则丽•丽的最大值为.答案12解析由题意，得B4=(2—x,—y),PB=(—2—x,—y),所以成•丽=/+9一4,由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程f+(y-3)2=l,故/=—(y—3)2+1,所以该•丽=一。-3)2+1一4=6y—12.易知2<y<4,所以当y=4时，前•丽的值最大，最大值为6义4-12=12.延伸探究若将本题改为“设点P(x,y)是圆(x-3)2+V=4上的动点，定点4(0,2),仇0,一2)”，则顽+丽|的最大值为.答案10解析由题意，知以=(—x,2-y),PB=(—x,—2—y),所以两+丽=(-2r,~2y),由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程。-3)2+9=4,故炉=一(x-3>+4,所以|两+丽尸山^+但=2-\)6x—5.由圆的方程(x—3)2+9=4,易知lWx《5,所以当x=5时，|荷+丽|的值最大，最大值为246X5—5=10.【教师备选】1.已知圆C：(x—3尸+0-4)2=1和两点A(—0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得NAPB=90。，则tn的最大值为( )A.7B.6C.5D.4答案B解析♦.•在RtZXAPB中，原点O为斜边中点，[48|=2机(机>0),：.\OC\-r^m^\OP\^\OC\+r,又C(3,4),r=l,...4W|OP|<6,即4《/nW6.2.若点P为圆/+丁=1上的一个动点，A(-l,0),8(1,0)为两个定点，则|B4|+|PB|的最大值为()A.2B.2y[2C.4y[2D.4答案B解析由已知得线段A8为圆的直径.所以照F+|pb|2=%由基本不等式得r\PA\+\PB[\.\PA\2+\PB\2、所以|刑+|P8区2yL当且仅当|B4|=|P8|=啦时，等号成立.思维升华与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如〃=)二f=ar+/?y,(x—a)2+(y—6)2形式的最值问题.(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如1PM+1尸N|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.跟踪训练3⑴已知A(—2,0),8(2,0),点P是圆C：3)2+。一巾)2=1上的动点，则(4砰+逐尸|2的最小值为()A.9B.14C.16D.26答案D解析设O为坐标原点，P(x,y),则忸2|2+|8/12=。+2)2+丁+0—2)2+产=2(f+V)+8=2|POF+8.圆C的圆心为C(3,巾)，半径为r=l,OC=4,所以|POF的最小值为(OC-货=(4-1>=9,

所以|AP|2+|BP|2的最小值为26.(2)已知x,y满足f+产一以一29一4=0,则2x：j；+3的最大值为()cc17-29-134nA.2BqC.亍D.——答案B解析由x2+y2—4x—2y—4=0得(x-2)2+(y-l)2=9.2x+3y+3।y-1 .f~=2+3X3=2+3弧,其中4(一3,1)为定点，点P(x,y)为圆上一点.设过定点4的直线/:y-l=©x+3)与圆相切,则一尸勾一=33解得仁专，1 3 3所以一4＜攵以《不所以空普2所以空普2的最大值为1743-4课时精练E基础保分练.圆/+尸+4》-6丫-3=0的圆心坐标和半径分别为( )A.(4,-6),16 B.(2,-3),4C.(-2,3),4 D.(2,-3),16答案C解析将圆的一般方程化为标准方程得(x+2)2+。-3)2=16,则圆心坐标为(-2,3),半径为4..圆3—1)2+。-2)2=1关于直线丫=工对称的圆的方程为()A.(x-2)2+(y-l)2=l B.(x+l)2+(y-2)2=lC.(x+2)2+(y—1)2=1 D.(x—l)2+(y+2)2=1答案A解析已知圆的圆心C(l,2)关于直线y=x对称的点为C'(2,1),所以圆(x-l)2+(y-2)2=l关于直线y—X对称的圆的方程为(x—2)2+(y—1)2=1.

.已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为()B.x2+y2+4x=0B.x2+y2+4x=0D.x1+y1-4x=0C.x2+y1+2x-3=0答案D解析设圆心为(a,0)(a>0),=r=2,解得a=2,所以圆心坐标为(2,0),则圆C的方程为。-2)2+9=4,化简得f+丁-4x=0,故选D..点P(4,—2)与圆/+丁=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)A.(x-2)2+(y+l)2=lC.(x+4)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+1尸4D.(x+2)2+(y—1>=1答案解析解得，答案解析解得，xq=2jc-4,jo=2y+2.设圆上任一点为Q(xo,jo),PQ的中点为M(x,y),因为点。在圆^+/=4上，所以高+4=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1..(多选)已知aABC的三个顶点为A(-l,2),8(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A.圆M的圆心坐标为(1,3)B.圆M的半径为小C.圆Af关于直线x+y=0对称D.点(2,3)在圆M内答案ABD解析设△4BC的外接圆圆M的方程为/+9+£)*+互y+F=0,‘1+4—O+2E+F=0, [D=-2,贝4+l+2O+E+F=0,解得；E=-6,、9+16+3O+4E+F=0, l尸=5.所以△ABC的外接圆圆M的方程为W+y2-2r-6y+5=0,即(工一"+6—3产=5.故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为小，因为直线x+y=O不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=O对称.因为(2—1尸+(3—3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内..(多选)设有一组圆Q：(x-k)2+(y—k)2=4(k&R),下列命题正确的是()A.不论人如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Q均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆C*有且只有一个D.所有圆的面积均为47r答案ABD解析圆心坐标为伏，k),在直线y=x上，A正确；令(3-斤>+(0—.2=4,化简得23-6%+5=0,VJ=36-40=-4<0,...2乒-64+5=0无实数根，AB正确；由(2—4+(2—©2=4,化简得好—4%+2=0,Vzf=16-8=8>0,有两个不相等实根，经过点(2,2)的圆Ci有两个，C错误；由圆的半径为2,得圆的面积为4兀，D正确..已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点4-1,1),8(1,3),若M(m,黄)在圆C内，则机的取值范围为.答案(。,4)解析设圆心为C(a,0),由|CA|=|C8|,得(a+1>+12=(。-1)2+3?,解得a=2.半径r=|CA|=a/(2+1)2+12=Vk).故圆C的方程为(x—2)2+9=10.由题意知⑺-2)2+(、后)2<10,解得0<机<4..已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上，点。在圆C：x2+y2-4x-2y=0上，则|%|+伊。|的最小值是.答案24解析因为圆C：W+y2—4x—2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心，半径「=小的圆.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),n+2

2卜n+2

2卜2=0,n—2

jn~0解得n=—2故A'(—4,—2).连接A'C交圆C于Q(图略)，由对称性可知\PA\+\PQ\=\A'P|+FQ|》H'QI=|A，C\~r=2y[5..已知圆心为C的圆经过点和8(—2,-2),且圆心在直线/：x+y-l=0上.(1)求圆心为C的圆的标准方程；(2)设点尸在圆C上，点Q在直线x-y+5=0上，求|PQ|的最小值.解(1)设圆的标准方程为(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0),•.,圆经过点A(—1,1)和8(—2,-2),且圆心在直线/：x+y—1=0上，((―1-a)2+(l—Z?)2=r2,(—2—a)2+(~2—b)2=r2,la+6—1=0,解得a=3,b=—2,r=5,...圆的标准方程为。—3)2+。+2)2=25.⑵•.•圆心C到直线x-y+5=0的距离为|3+2+5|rd-rz=5yj2>5,.•.直线与圆C相离，；.|PQ|的最小值为d—r=5立一5..已知点A(—3,0),仇3,0),动点已满足|网=2|尸风(1)若点尸的轨迹为曲线C,求此曲线的方程；(2)若点。在直线/i：x+y+3=0上，直线6经过点。且与曲线C只有一个公共点M,求|QM的最小值.解(1)设点P的坐标为(x,y),则人(》+3)2+产=2\/(x-3)2+歹,化简可得。-5)2+产=16,此方程即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.由题意知直线，2是此圆的切线，连接CQ,则|QMriCQjcM?=a/|CQ|2-16,当IQM最小时，|CQ最小，此时CQJJi,|5+3|I-icei=1-3-1=4-V2,则IQM的最小值为版32—16=4.C技能提升练.点A为圆。-1)2+产=1上的动点，阳是圆的切线，I以1=1，则点P的轨迹方程是()A.(x-l)2+y2=4 B.(x-l)2+y2=2C.y^—1x D.y^=-2x答案B解析V|M|=1,...点P和圆心的距离恒为正，又圆心坐标为(1,0),设P(x,y),.•.由两点间的距离公式，得。-1)2+9=2.12.等边△ABC的面积为州3,且△ABC的内心为M,若平面内的点N满足则丽•标的最小值为()A.-5—2小 B.—5~4y/3C.—6~2y/3 D.~6—4y/3答案A解析设等边△ABC的边长为a,则面积5=坐/=丽，解得a=6.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.由M为AABC的内心，则M在0C上，且OM=：OC,则A(—3,0),8(3,0),C(0,3小)，Af(0,小)，由|A/N|=1,则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.设Mx，y),则f+(y-S)2=l,即1+9-2小y+2=0,且由一1WyW1H-\/3,又两=(-3-x,-y),NB=(3~x,-y),所以协•彷=(x+3)(x-3)+V+户9=2弧一11^2^/3X(^/3-1)-11=-5-2a/3..(多选)已知圆C过点M(l,—2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2,—1)在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4啦答案ACD解析因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(l,-2),所以设圆心坐标为(a,-a)(a>0),故圆心在直线y=-x上，A正确；圆C的方程为(x-a)2+(y+a)2=a2,把点M的坐标代入可得6a+5=0,解得a=l或a=5,则圆心坐标为(1