2022-2023学年人教版初中数学专题《圆与函数的综合》含答案解析

专题圆题型四：圆与函数的综合一、解答题1．（2022·江苏常州·九年级期末）如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)、【分析】（1）将点A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数解析式进行求解即可．（2）连接，利用两点间距离公式以及勾股定理证明为直角三角形，得到，通过∠DCP=∠BCQ得到，求出直线解析式，利用斜率乘积为以及点坐标，求出直线解析式，最后联立直线解析式与二次函数解析式求出点坐标即可．（3）设直线切⊙与点，连接、，作于点，利用圆与相切的性质得到，，利用边与角的关系，证明是等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，设，分别用点坐标表示出和的长，最后即可得到关于的方程，然后求解方程，得到答案．(1)解：由题意可知：点A（-1，0）、B（3，0）在抛物线y=-x2+bx+c上，，解得：，抛物线的函数解析式为：．(2)解：连接，如下图所示：由可知：对称轴为：直线，（0,3），（1,4），由两点间距离公式可得：，，在中，，为直角三角形，且，，且，，即，设直线解析式为：，直线解析式为：，，解得：，直线解析式为：，，，即，直线解析式为：，将代入得：，故直线解析式为：，联立与有：解得：或，点P的坐标为．(3)解：设直线切⊙与点，连接、，作于点，如下图所示：由题意可知：，，由可知：对称轴为：直线，（0,3），（1,4），，，即，是等腰直角三角形，，，，为等腰直角三角形，设，故，在中，，由勾股定理可知：，，解得：，、．【点睛】本题主要是考查了二次函数的几何综合问题，熟练掌握圆的性质以及垂直与直线斜率之间的关系，是求解该问题的关键．2．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图1，对于的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：(1)如图2，已知点，点B在直线上．①若点，点，则在点O，C，A中，点______是关于点B的内联点；②若关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围；(2)已知点，点，将点D绕原点O旋转得到点F，若关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标n的取值范围．【答案】(1)①C，A②(2)和【分析】（1）①由内联点的定义可知C，A满足条件②结合图象可知当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，且符合内联点定义，故时均符合题意．（2）由（1）问可知，当OE与OF，或OF与EF垂直时有一个公共点且满足内联点的定义，故由此可作图，作图见解析，即可由勾股定理、斜率的性质，解得和（1）①如图所示，由图像可知C，A点是关于点B的内联点②如图所示，当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，符合内联点定义故．（2）如图所示，以O为圆心的圆O为点F点的运动轨迹，由（1）问可知当∠EFO或∠FOE为90°时，关于点E的内联点存在且只有一个，故当F点运动到和的范围内时，关于点E的内联点存在．设F点坐标为（x，y），则，由图象即题意知当F点在点时，，即有，当F点在点时，，即有即当F点在点时，，即有即解得或故，当F点在点时，，即化简得且即即化简得联立解得或x=0故综上所述，F