多元函数的偏导数和全微分

6．2多元函数的偏导数和全微分偏导数的概念与计算偏导数定义对于二元函数zf(x,y)，如果只有自变量x变化而自变量y固定这时它就是xxzf(x,y)x的偏导数。0 0 0 定义：设函数zf(x,y)在点(xy)的某一邻域内有定当y固定在y而x在x处有增x相应地函数有增量f(x x,y)f(x,y0 0 0 0 0 0 0f(x x,y)f(x,y)如果极限lim 0 0 0 0

存在则称此极限为函数zf(x,y)在点(xx0 x 0zxy )处对的偏导zxy 00 xx0

x

z 00x xx00

(x,y)。x 0 0fxyy0 yy0 yfxf(x x,y)f(x,y)即：fx

(x,y0

)limx0

0 0 0 0 x0 zf(x,y)在点(xyy0 limy0

f(x,y0

y)f(x,y)0 0 y记作：

，zyxzyyy0y0

xxy0ffyy

，zy xx0yy0

，或fy

(x,y)。0 0偏导函数：如果函数zf(x,y)D内每一点(x,yx那么这个偏导数就是x、y的函数它就称为函数zf(x,y)对自变量x的偏导函数记作zx，

f，z，或f(x,y)。x x x偏导函数的定义式：f

(x,y)lim

f(xx,y)f(x,y)xzf(x,y)y记为z fy

z ，或f (x,y)。y y y偏导函数的定义式：f

(x,y)limy0

f(x,yy)f(x,y)y偏导数的计算f f

yx

x暂时看作常量而对y求导数。讨论：下列求偏导数的方法是否正确？f (x,yx 0

)fx

(x,y)

yxxy0y0

，f (x,yy 0

)fy

(x,y)

xx ，yy0y0f (x,yx 0

)[ddx

f(x,y0

，fxx0

(x,y0

)[ddy

f(x0

,y)]

。yy0偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为f(x,y,z)limx

f(xx,z)f(x,z)xzxzy其中yz)uf(xyz)1zx23xyy2zxzy解2x3y z3x2y

21328

227y

x1y2

x1y2例2求zx2sin2y的偏导数。z解

2xsin2yz2x2cos2y。y3zxy(xx

xz1 z2zzyx lnxzz证xyxy1

yxylnxxz

1 z

yxy

xylnxxyxy2zyx lnxy y lnxx2yx2y2z2

的偏导数。x2y2z2x2y2z2解 x x2y2z2x2y2z2r r例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)求证pV求证V T

1证因为pRT pRTV V V2VRT VRp T pTpV

TVR p RpV

RTRVRT1V T

V2 p R pV例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商。偏导数的几何意义一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率，那么二元函数的偏导在几何上表示什么呢？我们知道，二元函数zf(x,y)(xy0 0

)处对x求偏导时把y看成常量，这时z是关于x的一元函数，所以zx(x,zx0 0

表示曲面zf(x,y)与平面yy0

的交线在(x,y0

)处沿x

表(x,y)00示曲面在该点处沿y轴正向的切线斜率．偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如xy x2y20f(x,y)x2y2 0

x2y20在点(00)有f(00)0f(00)0但函数在点(00)并不连续x y提示：f(x,0 fy)0fd[f(x,0)]0 fd[fy)]0x dx y dy当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时有lim(x,

f(x,y)limf(x,lim00x0 x0当点P(xy)沿直线ykx趋于点(00)时有lim

xy lim kx2 k (x,y)(0,0)x2y2ykx

x0x2k2

k2因此

lim f(xyf(xy)在(00)(x,y)(0,0)全微分全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有f(xxyf(xy)f(xy)x，xf(xx,y)f(x,y)为函数对x的偏增 f(x,y)xf(xy)x为函数对x的偏微x xf(x,yy)f(x,y)f(x,y)y，yf(x,yyf(x,y为函数yf(x,y)yy的偏微分。yzf(xxyyf(x,y)计算全增量比较复 我们希望用xy的线性函数来近似代替定义如果函数zf(xy)在点(xy)的全增量zf(xx,yy)f(x,y)可表示为

(x)2(y)2zAxBy(x)2(y)2、Bxy、yzf(x在点(x而称AxBy为函数zf(xy)在点(xy)的全微分记作dz即dzAxBy如果函数在区域D内各点处都可微分那么称这函数在D内可微分可微与连续可微必连但偏导数存在不一定连这是因 如果zf(xy)在点(xy)可则zf(xxyy)f(xy)AxByo()于是 limz00从而 lim f(xx,yy)lim[f(x,y)z]f(x,y)(x,y)(0,0)因此函数zf(xy)在点(xy)处连续可微条件定理1(必要条件)

0

zzf(x(xy)则函数在该点的偏导数y且函数zf(xy)dz

x

zy。x y证设函数zf(xy)在点P(xy)可微分于是对于点P的某个邻域内的任意一点P(xxyy)有zAxByo()特别当y0时有f(xxy)f(xy)Axo(|x|)上式两边各除以x，再令x0而取极限，就得limx0

f(xx,y)f(x,y)Ax 从而偏导数z存在且z x x 同理可证偏导数z存在且z y y 所以：dzzxz x yz偏导数x、y存在是可微分的必要条件但不是充分条件 xy x2y20例如函数f(x,y) x2y2 在点(00)处虽然有

(00)0及x

(00)0y 0 x2y20但函数在(00)不可微分即z[f(00)xf(00)y]不是较高阶的无穷小x y这是因为当(xy)沿直线yx趋于(00)时z[f0)xf0)y]x y

xy xx 10(x)2(y)2 (x)2(x)2 2充分条件)

z如果函数zf(xy)的偏导数x、y在点(xy)连续则函数在该点可微分定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、y分别记作dx、dy并分别称为自变量的微分则函数zf(xy)的全微分可写作dzzdxzdyx y二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数例如函数uf(xyz)的全微分为duudxudyudzx y z例1计算函数zx2yy2的全微分解因为2xy zx22yy所以dz2xydx(x22y)dy例2计算函数zexy在点(21)处的全微分解因为yexy zxexyzzxx2y1

x2y1

2e2所以 dze2dx2e2dyy例3计算函数uxsin2eyz的全微分解因为1 1cosyzeyz yeyz2 2 所以 dudx(1cosyzeyz)dyyeyzdz2 2*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数zf(x在点P(xy)的两个偏导数f (xy)f连并|x|都较x y小时有近似等式zdzf (xy)xfy)yx y即 fyy)f(xy)f (xy)xf(xy)yx y我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例4 有一圆柱受压后发生形它的半径由20cm增大到2005cm高度由减少到99cm求此圆柱体体积变化的近似解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V则有Vr2h已知r20h100r005h1根据近似公式有VdVVrVh2rhrr2hr h220100005202(1)200(cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了200例5 计算(104)202的近似解设函数f(xy)xy显然要计算的值就是函数在x104y202时的函数值f(104202)取x1y2x004y002由于f(xxyy)f(xy)f(xy)xf(xy)yx yxyyxy1xxylnxy所以(104)20212212100412ln1002108例6 利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是g2lT2lTl=100±0.1cmT=2±0.004s.lTg的绝对误差和相对误差各为多少？解如果把测量lT与|ΔT|,则利用上述计算公式所产生的误差g2l|Δg|.由于|Δl||ΔT|dg来近T2似地代替Δg这样就得到g的误差为|ggll T

T|gl l

|gT T2(1T2 lT

)T其中与lTl=100T=2,=0.1,g的绝对误差l T l T约为2(0.121000.004)g 22 2s2).g2 0.50 g 2022z=f(x,y),xy的绝对误差分别为、,即x y|Δx|, |Δy,x y则z的误差|z||dz||zxzy|z||x||z||y|z|zx y从而得到z的绝对误差约为

x y

x x y yz的相对误差约为

|z||z|x x y yzz|z| z x

zz y方向导数方向导数的定义现在我们来讨论函数zf(xy)在一点P沿某一方向的变化率问题lxOyP(xy)e(coscosl同方向的单位向0 0 0 l量l的参数方程为0 xxtcosyytcos(t0)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zf(xy)P(xyU(P)P(xtcosytcosl上PU(P)f(xtcosytcosy)PP|PP0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f(x0

tcos,y0

tcos)f(x,y)0 0t0 0 当P沿着l趋于P(即tt)时的极限存 则称此极限为函数f(x在点P沿方向l0 0 向导数记作

即(x0 0f(xtcos,ytcos)f(xlim 0 0 0 0 (x,y0 0 0 0

t0 t从方向导数的定义可知变化率方向导数的计算

(x,y0 0

就是函数f(xy)在点P(xy)处沿方向l的0 0 定理zf(xy)P(xy)l的方向导0 0 (x,0 0

f (x,yx 0

)cosfy

(x,y0

)cos其中coscos是方向l的方向余弦简要证明设xtcosytcos则0 0 0 0 0 0 0 f(xtcosytcos)f(xy)f(xy)tcosf(xy)tcoso(t)0 0 0 0 0 0 0 x y所以f(xtcos,ytcos)f(x,y)lim 0 0 0

f(x,

)cosf

(x,y

)sint0 t

x 0

y 0 0这就证明了方向导数的存在且其值为(x,0 0

f(x,yx 0

)cosf

(x,yy 0

)cos提示f(x0

x,y0

y)f(x,y0 0

)

(x,y0

)x

(x,y0

)yo( (x)2(y)2)(x)2(y)2xtcos(x)2(y)2

t讨论函数zfy)在点P沿x轴正向和负 沿y轴正向和负向的方向导数如提示：沿x轴正向时coscos0

ffl x沿x轴负向时cos1cos0

f例1求函数zxe2y在点P(10)沿从点P(10)到点Q(21)的方向的方向导数解这里方向l即向量PQ(1,1)的方向与l同向的单位向量为e(l

,1)12212

e2y 1 zy

2xe2

2所以所求方向导数为122(1) 2122 20 0 0 对于三元函数f(xyz)来说它在空间一点P(xyz)沿e(coscoscos)0 0 0 l导数为(x,y,0 00

limt0

f(x0

tcos,y0

tcos,z0t

tcos)f(x0

,y,z)0 0 0 0 如果函数f(xyz)在点(xyz)可微分则函数在该点沿着方向e(coscoscos0 0 l的方向导数为(x,y,0 00

f(xx

,y,z0

)cosfy

(x,y,z0 0

)cosfz

(x,y,z0 0

)cos例2求f(xyz)xyyzzx在点(112)沿方向l的方向导数其中l的方向角分别为604560解与l同向的单位向量为e(cos60coscos60(1

2,1)l因为函数可微分且f(112)(yz)|

3

2 2 2x (112)f(12)(xz)| 3y (112)f(112)(yx)| 2z(1,1,2)

(112)13 2211(532)2 2 2 2梯度zf(xDP0(x0y0)D都可 i 确定一个向量f(x y i x 0 0 y 0 0 这向量称为函数f(xy)在点P(x y)的梯度记作 0 0 0 0 0 i gradf(x y) i 0 0 x 0 0 y 0 0梯度与方向导数0 0 0 f(xy)P(xy)e(coscosl0 0 0 (x,0 0

f(x,yx 0

)cosf

(x,yy 0

)cosegradf(xye0 0 le|gradf(xy)|cos(gradf(xy)^ )e0 0 0 0 l这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系特别当向量egradf(xy)方向导数

取得最大值这个最大值l 0 0

(x,y)0 就是梯度的模|gradf(xy)|这就是说函数在一点的梯度是个向量0 点的方向导数取得最大值的方向它的模就等于方向导数的最大值f讨论 l的最大结论函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值等值线zf(xy)zc(c是常数)L的方程为zzf(xzLxOyxOyf(xy)cczf(xy)的等值线0 0 fff(xy)cP(xy)0 0 x yf2(x,y)f2(x,y)f2(x,y)x 0 0y 0 0

(x,y0

),

(x,y0

)) 这表明梯度gradf(x y的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 0 0导数 n就等于|gradf(x y)| 于是n0 0gradf(x,y0 0

)nn这就是说0 0 0 f(xyGP(xyz)G0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f(xyz)if(xyz)jf(xyz0 0 0 0 0 0 0 0 x y z0 0 0 0 0 0 这向量称为函数f(xyz)在点P(xyz)的梯度记为gradf(xyz)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 gradf(xyz)f(xyz)if(xyz)jf(xyz)k0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y z结论三元函数的梯度也是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致如果引进曲面f(xyz)c0 0 0 0 f(xyP(xyz)的梯度的方向与过点P的等量f(xyz)c0 0 0 0 例3求grad 1 x2y2解这里f(x,y) 1 x2y2f因为

2x (x2y2)2

f 2y y (x2y2)2所以 grad 1 2x i 2y jx2y2 (x2y2)2 (x2y2)24f(xyz)x2y2z2gradf(12)解gradf(fxfyfz)(2x2y2z)于是 gradf(12)(224)*5。数量场与向量场Gf(M)G)f(M)来M相对应的是一个向量F(M)则称在这空间区域G)一个向量场可用一个向量函数F(M)而F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k其中P(M)Q(M)R(M)是点M的数量函数利用场的概念我们可以说向量函数gradf(M)确定了一个向量场——梯度场它是由数量场f(M)通常称函数f(M)必须注例5试求数量场m所产生的梯度场其中常数m>0rx2y2z2r Ox2y2z2解(m)mmxr r2r3同理 (m)my (m)mzy r r3 r r3从而 gradmm(xiyjzk)rx y

r2 r r r记e i jk它是与OM 同方向的单位向则r r r rgradmmer r2 r上式右端在力学上可解释为 位于原点O而质量为m质点对位于点M而质量为l这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比这引力的方向由点M指向原因此数量场m的势场即梯度场gradm称为引力场 而函r r数m称为引力势r高阶偏导数设函数zf(xy)在区域D内具有偏导数f(x,y) zf(x,y)x y yDfy)、fy则称它们是x y函数zf(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zf(xy)在区域D内的偏导数f(xy)、f(xy)也具有偏导数x y则它们的偏导数称为函数zf(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数(z)2zf (x,y) (z)2zf (x,y)x x x2 xx y x xy xy(z)

2zf

(x,y)

(z)2z

(x,