方法技巧专题10 圆锥曲线中的垂径定理(原卷版)

有心圆锥曲线的垂彳圣定理r直径问题J切线问题L过中心的弦问题中点弦问题切线问题r过中心的弦问题「中点弦问题-切线问题j渐近线问题双曲线的垂径定理椭圆的垂径走理屮点弦问题圆的垂彳至定理问题背景：直线斜率存在)图1问题背景：直线斜率存在)图1图2图3如图1,在圆0中，E为弦AB中点，则0E丄AB,即k-k=-1OEAB如图2,在圆0中，l与圆0相切于E点，则0E丄l，即k-k=-1.OEAB(若切点坐标为E(x,y)，可得切线l方程：xx+yy二r2)0000如图3，AB为圆0直径，E圆上异于A、B两点的动点，则BE丄AE，即k-k=-1.AEBE垂径定理垂径定理(问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下)11•椭圆中的垂径定理（以焦点在x轴的椭圆方程兰+兰=1（a>b>0）为例）a2b2TOC\o"1-5"\h\z「图1图2图3b2（1）如图1,在椭圆C中，E为弦AB的中点，则k-k=-;OEABa2（证明：用点差法）b2（2）如图2,在椭圆C中，l与椭圆相切于E点，则k-k=-；OEla2（证明：法一：极限思想，当A无穷接近B点；法二：换元法变换为x'2+y‘2二1证明即可；法三:导数）b2（3）如图3,l过中心O,交椭圆于A,B两点,E是椭圆上异于A、B点的动点则k-k=-.BEAEa2（证明：取AE重点M,连接0M,即可用（1）证明）【注意：若焦点在y轴上的椭圆方程乂+兰=1（a>b>0）,b2a2则上面结论变为：—-，即k-k二k-k二k-k=--】b2OEABOE/BEAEb2

⑵如图31与双曲线相切于E点’则k0E-ki=a2;b2(3)如图4,过。点的1交双曲线于A,B两点，E是双曲线上异于A、B点的动点，则kBE-kAE=02-⑷如图5,1交上双曲线两渐近线于A,B两点，E为线段AB的中点，则k0E-kAB=02-y2x2b>0)，则上面斜率乘积结论变为：一，【注意：若焦点在yb>0)，则上面斜率乘积结论变为：一，02b2即k-k=k-k=k-k=-】TOC\o"1-5"\h\zOEABOE1BEAEb2圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为(统称为有心圆锥曲线)：x2y2厂小n(1)若方程一^―=1(m>0且n>0,或mn<0)存在以上关系，则上述结论可表述为：，mnm即kOE-kAB=kOE-k1=kBE-5=一冷，其中"分别是系数的倒数.A(2)若方程Ax2+By2=1(A>0且B>0,或AB<0)存在以上关系，则上述结论可表述为：—不,B即k-即k-k=k-k=k-kOEABOE1BEAE=-A，其中A，B分别是x2,y2系数.BTOC\o"1-5"\h\zx2y2【例1】过点M(1,1)作斜率为—恳的直线与椭圆C：一+1=1(a>b>0)相交于A,B两点，若M是线段ABa2b2的中点，则该椭圆的离心率为.VIVIx2y2【例2】已知A、B为椭圆一+厂=1(a>b>0)的左右顶点，P为椭圆上异于A、B的点，PA、PB的斜率a2b23分别为k,k，且kk=-了，则该椭圆的离心率为12124TOC\o"1-5"\h\zx2y2【例3】设双曲线C：a2-b2=1(a>°’b>°)的顶点为Ai，A2，P为双曲线上一点’直线舉交双曲线C的一条渐近线于M点，直线AM和AP的斜率分别为k,k，若AM丄PA且k+4k=°，则双曲线C22122112离心率为()5A、2B、C、D、42y2x2【例4】已知A、B是双曲线二—厂=1(a>°,b>°)的两个顶点，P是双曲线上异于A、B的另一点，P关a2b24于y轴的对称点为Q，记直线AP、BQ的斜率分别为k,k，且kk=-二，则双曲线的离心率为12125x2y2【例5】过双曲线一-厂=1(a>b>°)的左焦点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A、B两a2b2点，记线段AB的中点为M,且|FM|等于半焦距，则双曲线的离心率e=x2【例6】已知直线l的斜率为1,且与双曲线q-y2=1相切于第一象限于点A，则点A的坐标为.【例1】已知直线l交椭圆4x2+5y2二8°于M、N两点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l的方程为P(m,0)P(m,0)满足|PA|=|PB，则该双曲线的离心率是.【例2】已知椭圆〒+y2=1,P是椭圆的上顶点，过P作斜率为k（k丰0）的直线1交椭圆于另一点A,设4点A关于原点的对称点为B,（1）求厶PAB面积的最大值（2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N,若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围x2y2【例3】设直线x-3y+m=0（m丰0）与双曲线一=1（a>0,b>0）两条渐近线分别交于A，B,若点a2b2【例4】已知某椭圆的焦点是F(-4,0),F(4,0)，过点F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且122IFBI+1FB1=10.椭圆上不同的两点A(x,y),C(x,y)满足条件：IFAI、丨FBI、丨FCI成等差数列.121122222(1)求该椭圆的方程；⑵求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.x2y21•如图，已知椭圆一+二=1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于点P、A两点(其中点P在第一象限)，过点P作x轴的垂线，垂线为C,连AC并延长交椭圆于B,若PA丄PB，则椭圆的离心率为

x2y22•已知双曲线a2-b2=i(a>°，b>°)的左右焦点为Ff2‘右顶点为Ap为双曲线右支上一点，?交双曲线的左支于点Q,与渐近线y=-x交于点R,线段PQ的中点为M,若RF丄PF,AM丄PF，贝冈a211x2y23•如图，已知椭圆一+1=1(->b>°)的左右顶点分别为A、B,P为第一象限内一点，且PB丄AB，连-2b2x2y24•如图，-，F2分别是双曲线C：-2-=1(a>°，b>°)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线¥与Cx2y25•过点p(l,l)作直线1与椭圆T+迈=1交于A，B两点，求AB的中点M的轨迹W的方程。6.过点P(1,1)作直线l与有心圆锥曲线C:kx2+y2二1(k丰0)交于E、F两点，是否存在这样的直线l使点P为线段EF的中点？若存在，求直线1的方程；若不存在，说明理由.x2y