14年数学试卷分析

2014年天津高考数学卷（理科）分析及备考建议数学李老师这次分析是对照高考数学试卷一题一题的分析，主要分析考题背后的知识点及其失分点，并结合多年教学经验对相关知识点的复习备考提出了一些建议，希望对15年参加高考的考生有所帮助。另有其他一些复习备考资料，考虑到实际情况，并不能全部以附件的形式附上，有需要的可以留邮箱，我会及时发给大家。分析对比2013年和2014年的天津高考理科数学试题，不难总结得出这样一个规律一一“重基础，强调能力”，在考查基础知识的同时注重学科思想和学科能力的考查。就2014年天津高考理科数学而言，试卷的难度设置上加重了基础题和能力题的比例，中等难度的题目比例有所下降，这样的设置使得试卷的区分层次化。难度较13年稍有上升，平均分92.96分，较13年下降2.31分。选择和填空的难度较2013年有明显的降低，得分率上升，考点基本涵盖了高频考点。选择题第1题虚数作为高考数学的必考点每年都考，而且难度不大属于送分题的范畴。考试类型基本局限在虚数的四则运算，即便如此，考生也应当慎重，特别是那些计算能力较弱，易粗心的考生。与2013年考查虚数的乘法相比2014年的这一题考查虚数的出发，知识点和方法完全一样。失分点：计算问题，特别是符合“+：'-''第2题沿袭2013年的考查模式，2014年的高考理科数学第二题考查线性规划问题，细心的考生可以发现，无论是从约束条件还是从目标函数，与13年都有惊人的相似，甚至有约束条件完全一样，可见此类题目命题时的随性”。像这一类题，我们称之为简单题”，命题人并不会在这一类题上做过多的设计。但是这道题今年的失分率很高，主要原因在于考生盲目的运用交点法”做题，忽略了图形的真实可行域，可行域不封闭，联立求交点带入比大小失效。失分点：“交点法”导致的解在区域外情况策略：严格运用图像法”第3题近几年的第三题都是考查流程图问题，很多同学以为此类题目是考查推理能力，确实如此，可是往往也正因为如此，使得很多考生在做题时与正确答案相差一步，正可谓功亏一簧对于这类题目有一种直接快速有效的方法一一列举法，可以确保准确性。失分点：结束条件没有明确，导致提前结束或者滞后结束第4题考查复合函数的单调区间问题，意料之外，却在情理之中。考生只需掌握复合函数单调性的判断口诀“同增异减”，即可以轻松应付。失分点：定义域，失去了定义域的单调性就是“空中楼阁”策略：只要是函数问题，入手先求定义域第5题圆锥曲线作为高考数学的必考知识点，以1+1的形式长期“雄霸”高考题，考虑到解答题主要考查椭圆，选择题在命题时，大多涉及抛物线和双曲线，特别是双曲线。在解答这类题目时，考生一定切忌小题大做"，与解答题不同，这道选择题一般都是围绕双曲线的定义及简单性质切入，有时会通过结合实际的几何意义，与三角形、圆等结合考查。题目特点“灵活多变，想定义”失分点：忽视定义、盲目联立第6题与13年的高考理科数学相比，14年将圆的证明的相关题目由填空题提到了选择题，理论上应该是降低难度，提高得分率，可是出题人在设计时，为了维持难度和得分率，将这道题目设计成多选，这样一来对于相关知识点的考查更加全面，考生哪怕一个知识点的缺失都会导致全盘皆输”。其实圆的证明设计的无非就是眩"、割"、切”之间的围绕角度和边长的几个定理，最终转换为找相似三角形。失分点：此题失分全在于相关知识点的不熟练小窍门：有关角（甚至相似三角形）的问题，巧妙使用量角器，屡试不爽。第7题14年的这道题可谓“千呼万唤始出来”，13年的高考理科数学虽然有涉及命题真假的判断，可是却没有考查命题的逻辑性。这一类题属于简单题，但是需要考生仔细判断，在平时备考中要重视这类基础知识，熟练掌握真假命题”、充分必要性”、四大命题”等失分点：概念不清策略：想定义、找反例第8题向量的题目一般都属于较难题，一般得分率较低，但事实上，考生只要掌握了一些典型题型，处理这类题目并不难。解决这类题目的常用方法是一一“基底法”，这种方法的原理是选取两个模长和家教都已知的向量作为向量基”表示其他的向量，这类方法对于向量的运算能力要求很高，而且需要考生有较强的向量分解能力。分析近几年的向量题，我们发现题目背景往往是平行四边形、菱形、等边三角形、等腰三角形、60度、120度等，这就提示我们一些题目可以通过建立直角坐标系解题，这种建系法”简单有效、准确率极高。策略：选基底、找特例、想建系填空题第9题考查统计的相关知识，属于简单概念题。第10题三视图一直都是高考数学的热门考点，近三年理科数学就考了两次，主要考查考生空间想象能力，以及对于常见的几何体（立方体、圆柱、圆锥等）的体积及表面积求法的掌握。考生在处理此类型的题目时一定要清楚主视图、侧视图、俯视图三者之间的参数关系，深刻理解高对齐、宽相等”的处理原则，学会以一个图作为突破口，通过拉伸、压缩还原立体图。失分点：几何体还原有误、表面积和体积混淆第11题2014年高考数学的第11题考查数列，这在12、13的高考中是没有的。解决这道题目的关键是需要熟练掌握等差数列和等比数列的定义以及等差数列的前n项和公式，在此基础上，拿下此题是必然的。然而，针对数列的小题目，是否有更简单有效，甚至更迅速的方法？往往，我们说，在数列中开可以考虑特例法或者列举法。失分点：公式运用错误、计算错误第12题三角形是高考数学的必考题。而在解决与三角形有关的题目时，一定要明确知道自己有什么工具”可以用。往往在三角形的解题过程中我们主要围绕“3+1”解题。“3是指三个定理（正弦定理、余弦定理、勾股定理），“1是指一个常识（三角形内角和180度），然后根据所求熟练变换。例如2014年的这道题，根据条件讲的是正弦之间的关系，我们要想到用正弦定理处理，得到b和c之间的关系，题目要求A的余弦值，肯定是用余弦定理。这样思路一开，解题自然是水到渠成。策略：3化边、1化角，根据条件找技巧第13题参数方程、极坐标方程作为高考理科数学的常考点，难度并不大，考生需要记住一句话所有的方程都转换到直角坐标系中解决”就能游刃有余的解决此类问题。作为前提，考生必须熟练掌握参数方程的消参法、极坐标的转换以及一些几何运算技巧。以2014年的这道题为例，考生就需要对等边三角形的性质和点到直线的距离有深刻的理解。此类题目可能会出现陷阱，具体可以参考2014年南开区三模11题。失分点：转换有误、未结合图形讨论策略：数形结合第14题填空题的最后一题往往属于难题范畴，考试中，考生可以根据自己的实际情况选择做与否。从近几年的高考理科数学命题趋势看，14题往往是对函数的考查、对于不等式的考查。对于函数而言，特别是研究零点个数、交点个数、斜率问题、参数讨论问题，考生一定要静下心来画出题型，严格按照数形结合的思想，一步步拆解题目，从图形中找解题思路，往往对于图形的把握是此类题目的突破口。以14年这道题目为例，将f(x)的图像画出后，将问题转化为f(x)与a|x-1|有四个交点，就是判断直线的斜率变化。13年的14题考查不等式，根据考试说明，要求考生掌握的不等式归根到底就是一个均值不等式，常用形式也就无外乎四种，我们称之为不等式串”，考生只需比对形式合理选择即可。失分点：函数问题忽视定义域、临界情况判断不精确；不等式忽视“在、2定、3相等”策略：函数问题数形结合，代入试试；不等式比照形式、对症下药解答题今年的解答题分化较为严重，前三题难度较低，得分率高，后三道题难度较大，特别是最后两道题，相对难度最大，得分率非常低。第15题本题考查三角函数的相关知识，仔细的考生可以发现，2014年的考查点和2013年完全一样。第一问考查最小正周期，其实就是考查考生的三角变换能力，看考生是否能够熟练的掌握幅角变化、倍角公式、升降哥等三角函数的常见变换；第二问都是考查固定区间的最值，做对这一问考生应该对三角函数的图像、单调性等性质有准确的把握，并能够熟练掌握图形的伸缩、平移变化。所以此类题属于简单题。策略：基本函数图像心中挂，平移、伸缩都不怕，看标准，想所求，单调最值全都有第16题概率这道道题目虽然会经过出题人的设计，但是基本模型是确定的，大致分为三类：古典概型、二项分布、超几何分布，2013年考的是古典概型，2014年考的是超几何分布和古典概型相结合，后两者都有明确的求解公式，只需考生判断好情况，带入即可，第一类古典概型属于比较复杂的，因为涉及的模型比较广，难度大时又和排列组合相结合。第二问通常都是建立在第一问的基础上列出分布列求随机变量。在备考时考生应该掌握古典概型、互斥事件、离散随机变量分布、数学期望等基础知识。失分点：情况讨论不完全第17题本题属于立体几何，今年主要考查了空间两条直线的位置关系、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，知识点及题型与2013年相似度达90%属于“典型题型典型考法”。对于理科生而言，这道题目就是考查用空间向量解决立体几何问题，考查空间想象能力和运算能力。在今后的备考中，考生只要熟练掌握一些典型问题的求解方法，并勤于联系，就可以保证考试时少十分甚至不失分。失分点：建系坐标有误、直线夹角范围、二面角三角函数的正负策略：两两垂直找建系，写好坐标审一审，求解角度要注意，看清大小和方向第18题本题考查椭圆的几何性质、直线的方程、圆的方程的结合，往往这里类题目是很多考生的拦路虎”，无论是从思路上还是从计算量上都难住不少考生。2014年的解析几何难度与2013年相比有很明显的提升，特别是第二问，考生应当想到平时在处理线段长度时的处理办法一一向量法，转换为在坐标情况下讨论几何性质，再利用点到直线的距离来衡量相切条件即可。回顾考生的解答情况，十分还是体现在问题的转化和计算的准确性上。这些技能需要考生在接下来的备考中通过大量的练习来提升。失分点：问题转换思想的薄弱、计算错误第19题本题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n项和公式，不等式的证明等多个知识点。虽然这道题难住了不少考生，但是确实是一道十分出色的题目，综合性很强。大多数考生在做完前面的选择填空后，不禁要问今年为什么没有考查集合、不等式的相关知识点，这不19题就融合了进来。其实静下心来想一想，19题并不难。首先第一问就是一个简单的问题分析和简化，只要读懂题目，拿下这一问不成问题，接下来的第二问相对而言比较难，难在考生不知道考查什么。实际上考生只需要静下心来思考这道题的具体含义即可快速入手，这道题具体来讲，就好比90000和89999比较大小，不管个十百千位的数如何大，90000只要最高位的数比89999大，整体就比89999大。(90000=9*10A4+0*10A3+0*10A2+0*10A1;89999=8*10A4+9*10A3+9*10A2+9*10A1)即使这样，通过放缩法来证明不等式对于许多的学生来说还是比较陌生。失分点：不写、数学归纳法第20题作为本套试卷的压轴题，全市的平均得分只有1.几分，基本上只有第一问稍有得分。本题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基本知识金和方法，我们还注意到本题考查的数学思想和能力比较多：函数思想、化归思想、抽象概括能力、综合分析能力，这是是它之所以难的原因所在。在今后的备考中，我们并不能完全将目标根据2014年的第20题而定，还应当参考2013年一类的导数题目，用导数的方法分析函数的单调性、最值、零点存在情况，以及将导数和不等式相结合进行相应的数学证明。将最基础的知识点和方法打牢固，才是制胜的关键。备考建议：1、深刻解读《考试说明》，做到考点、难点、重点、薄弱点心中有数；2、围绕基础，步步紧跟，高考难度比为7:2:1,最基础的也就是说占到百分之七十，这部分是最容易拿到的，只有基础的过关了才有基础去攻克难的部分；3、胆大心细，做题目既要讲求方法，又要讲求技巧，既要保证准确率，又要提高解题速度，复习的过程中确保逐个过关，保证效率；4、在平时的备考复习中，注意培养数学思维，对于一些重要的数学能力要熟练掌握，例如转化思想、数形结合、方程与函数、分类讨论等；5、注意养成好习惯，做到对于知识点分类整合，并归纳题型，形成牢固的只是链条，牵一处而动全身；筹建并重视错题，难题，重难点，每个人情况不同，只有自己的错题本才是提分利器，制胜法宝；要想，花大量的时间去思考，思考知识点的内层含义，深刻理解知识点，将知识点融到血液