数项级数理论及其应用

刖言我们学习了级数理论，但是我们知道的仅仅是结果，对于过程确实不甚了解。级数理论的发展经历了一个相当漫长的时期，从芝诺（ZenoofElea，约公1111元前490一约公元前425）的二分法涉及到把1分解成无穷级数2，才「+^+侦.…，亚里士多德（Aristotle）也认为这种公比小于1的几何级数有和，到阿基米德（Archimedes，公元前287一公元前212）在他的《抛物线图形求积法》一书中，在求抛物线弓形面积的方法中使用了几何级数，并且求出了它的和，这时中国对于级数也有所发现，中国古代的《庄子•天下》中的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。而级数理论的形成和建立是在19世纪，柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立起完整理论的数学家，之后在经过了几十年，级数理论才得以真正的完善，大致分为数项级数，函数项级数，幕级数，傅里叶级数。级数理论的发展可以分成几个时期：级数的早期工作、函数的展开、级数的求和、收敛与发散的初探、理论的形成、理论的建立、一致收敛、影响与发展、渐近级数、级数的可和性。每个时期都经过很长的时间才得以发展，都是经过很多数学家的共同努力才得出的结果。无穷级数在18世纪的形式发展，促成了数学家在19世纪建立无穷级数理论。无穷级数作为分析的一个有效工具，丰富了数学理论的发展。此外，发散级数在天文、物理上的广泛应用，推动了人类发展的进步。级数理论的发现极大的丰富了数学的内容，也使得数学史上的很多问题得以解决，也使得我们的生活更加便捷。一，数项级数一般概念定义1:给定一个数列｛/｝，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式nu+u+„+u+...（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中u称12nn为数项级数（1）的通项。数项级数（1）也常写作：切un或简单写作Sun。n=1定义2：在数项级数Su中，每一项都是正数时，则称为正项级数。n任意项级数：①若级数的各项符号正负相间，即u—u+u—u+...+（-1）n+1u+...（u>0,n=1,2,...）称为交错级数。②级数TOC\o"1-5"\h\z1234nn-111\o"CurrentDocument"a+aq+aq2+...+aqn+…称为等比级数（几何级数）。③级数1++=+…+—+…称23n为调和级数。数项级数（1）的前n项之和，记为s=£u=u+u+…+u，称它为数项nk12nk=1级数（1）的第n个部分和，也简称部分和。定义2：若数项级数（1）的部分和数列｛七｝收敛于s（即limsn=s），则称ns数项级数（1）收，称s为数项级数（1）的和，记作s=u+u+…u+…或s=Su。12nn若｛S｝是发散数列敛，则称数项级数（1）发散。n又若E|uI收敛，则称级数Su绝对收敛；而Su收敛，但SIuI发散，nnnn则称级数Eun条件收敛。基本性质（1）.级数Eu与Ekun（k是常数）有相同的敛散性，且若Eun=s，则（2），若Eun=a，Ebn=b（即它们收敛），则E（un土bn）=Eun土Eb广a土b；若Eu，Eb之一发散（另一收敛），则E（un±bn）发散；若Eun，Ebn皆发散，则Z（匕土bn）敛散不定。（3）,加减有限不改变其敛散性（若级数收敛，其和有变化）。（4）,收敛级数不改变顺序的任意结合添加括号后，所得级数收敛，且有同一和数；反之任意结合后的级数发散，原级数发散；任意结合后的级数收敛，原级数不一定收敛。级数收敛的判别必要条件limu=0（即limu。0，则Zu发散）。nsnnsnn充要条件（柯西准则）任给£>0，存在N，使当n>N时，对任意正整数m均有Is—S1<£。充分条件（级数收敛的判定）级数收敛的充分条件，即级数收敛的判定条件，我们区分正项级数和任意级数进行讨论：正项级数：①比较法：若a<b，则Zb收敛nNa收敛；Za发散nnnnnnZ气发散。常用的比较级数有：几何级数，调和级数和p-级数。②比值法（达朗贝尔（d’Alembert，J.）判别法）lim土+1=p，若p<1，msunZa收敛；若p>1，Za发散；若p=1，Za敛散不定。nnn③高斯（Gauss，C.F.）判别法："n=入+凹+—，当人>1或X=1，unn2n+1日>1，级数收敛；当X<1或X=1，日<1，级数发散（X，h为常数，。为有界变量）。根值法：limn.a=p，当p<1，Zu收敛；当p>1，Zu发散;TOC\o"1-5"\h\znnnnTs当p=1，Zu敛散不定。积分法（柯西准则）（这里f（n）=u）：jsf（x）d存在nZu收敛；n1xn「f（x）dx不存在nZun发散。其它方法。交错级数（莱布尼兹判别法）：Z（-1）nu,u>0，则当u>u，且\o"CurrentDocument"nnnn+1

lim七=0时，级数收敛。交错级数（莱布尼兹判别法）：Z（-1）nns任意级数：若Eiuni收敛，则Sun亦收敛。几何级数，调和级数，p-级数收敛判别表几何级数Saqkk=01ql<1收敛（和为）1-qlql>1发散调和级数S1kk=1发散P-级数S一（P>0为常数）kpk=0P>1收敛P^1发散4,一般应用例1，若正项级数工an=1（1），数项级数收敛TOC\o"1-5"\h\z与Sb都收敛，试证级数乙演与Sa也收敛。

n例1，若正项级数工an=1n=1n=1n=1证:注意到题设an,bn均为正数，由算数一几何平均值不等式Sb均收敛，则1S(a+b)也收敛，从而£n2nnnnn=1n=1n=1故S土亦收敛。证:故S土亦收敛。n=1令b=-12-，则加b二，匕，注意到SL收敛，n=1值。例2,若级数（1）£'m+i'nna（2）n=值。例2,若级数（1）£'m+i'nna（2）n=1S(L-sin1/收敛，求a，P的n=1解：（1）注意到却+"'nna1.、(n—8时)，na+2\o"CurrentDocument"<n+1-«n〃1、lim/()n—8naa+1Ln2即S'孙-插与S(1-sin1)P同敛散，故a〉nannn=1n=1(2)若p<0,由(1-n1)P#>(n—8)，级数发散；若P>0,将sinx展nn1111.,开成Maclaurin级数有一s卜n=+o(一)(n—8),故nn6n3n3(1-s1)眠一-一+o(1)(n—8)。从而丈(1-sin1)'收敛当且仅当3p>1,nn6PnP3n3nnn=11即p>1时。31„1综上(1)(2)得a>1,P>—。23(2),数项级数求和1的和。例3,求级数尤9k2-3k-2k=119k2—3k—211111(_^—L_)33k-23k+1=_(—(3k+1)(3k-2)33k-23k+1%=£9k2—3k—2='k=1k=11、A1、A11的和。19k2—3k—21(_^—L_)33k-23k+11、A1、A1_11、，11、，11、/(1——)+(———)+(——)+,・・+(34477104477103n—2一日+1)11消相得V3(1一E),故切=limS=—9k2—3k—2〃—8n3k=1n=1解：因为u=xn—2、n+1+un+2,所以nS=<1—2^2+、-；3+还—2、耳+、.4+…+\、—2n+1+：n+2=、—-互■.■^+1—-.■'n+2n，从而S=limS=limGl-克+xn+2—Jn+1)nn—8n—8=lim(1-克+n—8=1-切二，函数项级数

1，一般概念定义1：设(4(x)｝是定义在数集E上的一个函数列，表达式nu(x)+u(x)++u(x)+...,xeE(2)，称为定义在E上的函数项级数，简记TOC\o"1-5"\h\z12\o"CurrentDocument"为Zu(x)或Zu(x)，称s(x)=£u(x),xeE,n=1,2,…为函数项级数(2)的nnnkn=1k=1部分和函数，s(x)为(2)的和函数，则r(x)=s(x)-s(x)称为余和。基本性质定义2：若余和Ir(x)\<&，对n>N时，xeE一致成立，称Zu(x)在E上一致收敛。判别法：对于Zu(x)与Zm(m>0)，若对于xeE总有Iu(x)I<m，又且Zun(x)一致收敛则，①，对于任何LxLE恒有1,2Zmn收敛，则S七3)在E上一致收敛(M-判别法)。性质：⑴，若E七⑴的每项均在E连续，和函数s(x)=Zun(x)也在上E连续，②jx2s(x)d=jx且Zun(x)一致收敛则，①，对于任何LxLE恒有1,2(x)均在E上连续，又Zu'(x)x1x1⑵，若Zu(x)在E上收敛于S(x)，且u'在E上一致收敛，则S'(x)=Zu'(x)。(可逐项微分)一般应用(x)均在E上连续，又Zu'(x)2n—11+xn=1,1—x、

u(x)()n+1解：因为limlu,1—x、

u(x)()n+1解：因为limlunn(x)I=limI—u(x)nT8nT82n+12n—11—x.\=|E1'所以当IIV1，即x>0时，级数绝对收敛。1+x.1一x.„当II>1，即x<0时，级数发散。1+x当1二1=1,即x=0级数为切（一1）=二，这是一个收敛的交错级数。1+x2n-1n=1因此，函数项级数萝^1n（U）n的收敛域为［0，+8）。2n-11+xn=1例2，利用Weiersyrass判别法证明函数项级数尤在［0,+8）上一致收敛。1+n4x2n=1xI2n2x1昇、，亍1证：当x>0时，11=——^―=M，级数乙M=^—1+n4x2（1+n4x2）x2n22n2nn2n2n=1n=1收敛，从而级数£［x在［。,+8）上一致收敛。1+n4x2n=1三，幕级数1,一般概念定义1：由幕级数列I,（x-%）nj所产生的函数项级数（1）它称为幕级数。当x=0时得到幕级数切axn=a+ax+ax2+—axn+—（2）0n012nn=02，基本性质定理1（阿贝尔定理）：若幕级数（2）在x=x^0收敛，则对满足不等式IxKIxI的任何x幕级数（2）收敛而且绝对收敛；若幕级数（2）在x=x时发散，则对满足不等式IxI>IxI的任何x，幕级数（2）发散。幕级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以2R表示区间的长度，则称R为幕级数的收敛半径，称（-R,R）为幕级数（2）的收敛区间。定理2：若幕级数（2）的收敛半径为R>0，则在它的收敛区间（-R,R）内任一闭区间［a,b］上级数（2）都一致收敛。定理3：对于幕级数（2），若lim气：1uI=p，则当nnT3（i）0Kp<+8时，幕级数（2）的收敛半径R=1；p（ii）p=0幕级数（2）的收敛半径R=+8；(iii)p=+8幂级数(2)的收敛半径R—0。在收敛区间内和函数s3)连续，可逐项微分，逐项积分。定理4：(i)幕级数(2)的和函数是(-R,R)内的连续函数；(ii)若幕级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上左(右)连续。定理5：设幕级数(2)在收敛区间(-R,R)上的核函数为f,若x为(-R,R)内任意一点，贝U(i)f在x可导，且f'(x)—工naxn-i;nn—1(ii)f在0与x这个区间上可积，且jxfQ)H-工--a^-Xn+1。0tn+1n—03,函数的幕级数展开定义1:如果函数f在x—x0处存在任意阶的导数，这时称形式为f(x)+f'(x)(x一x)+f(*0)(x一x)2+…+f(n)(*0)(x一x)n+…(3)的级数0002!0n!0称为为函数f在x0的泰勒级数。如果f能在x0的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在x0的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式f(x)=f(x)+f'(x)(x一x)+f(“0)(x一x)2+…+f(n)(“0)(x一x)n+…的右边0002!0n!0为f在x—x0处的泰勒展开式，或称幕级数展开式。在实际应用上，主要讨论函数在x0—0处的展开式，这时(3)式可以写作f(0)+f'(0)x+/"辰x2+...+丑四xn+…称为麦克劳林级数。2!n!一般应用(1)，收敛域与展开例1，将函数f(x)—三展开成(x-2)的幕级数，并指出其收敛域。x2解E=iX-2)(—-2心古，及重要公式上=工(―1)〃-1加-1(1X1<1)，得1+Xn=1f(X)=匕=-胃(—)'X22]+X-2~^2~f[工(-1)n-1(顼)n-1]'2n=12X-2""

=-—(一1)n-12n=2n—1(X—2)n-22n-1=£(-1)n^-1(X—2)n-1(|^-2|<1，即0<X<4)。2n、'2n=2(2)，求和例2,试求级数切(-1)n"2；+1的和。n=0解：所求级数的和为幕级数尤(n2+n+1)Xn在x=-1的值，设n=02S(x)=工(n2+n+1)Xn=工[n(n+1)+1]xnn=0n=0=工n(n+1)Xn+工xn(|x1<1)，n=0n=0不妨再设g(x)=工n(n+1)Xn-1(|xl<1)，n=1则卜[jXg(X)d]d00Ex2Xn+1=XX1—Xn=1故g(x)=(三)"=^^，所以1—X(1—x)3S(X)=切(n2+n+1)xn=x尤n(n+1)xn-1切xnn=0n=1,、12x1=Xg(X)+=+1—X(1—x)31—Xn=01+X2(|X|<1)(1—x)31+X2|(1—X)3X=-_101=272号.n2+n+1乙(—1)nn=010四，傅里叶级数1,一般概念对于级数A+£Asin(n①x+中)，只要当w=1(如果w。1，可用&x代替x)，n=1由于sin（nx+甲）=sin甲cosnx+cos甲sinnx所以A+切Asin（nwx+中）=A+切（Asin中cosnx+Acos中sinnx）（1）。0nn0nnnnn=1n=1a=-20,Asin中=a，Acos中=b,n=1,2,…，则级数（1）可与成a0+工（acosnx+bsinnx）（2），它是由三角函数列1,cosx,sinx,cos2x,sin2_¥,•••,cosnx,sinnx,—所产生的一般形式的三角级数。2,基本性质定理1：若级数伊」+工(|aI+1bI)收敛，则级数(2)在整个数轴上绝对收敛且2nn一致收敛。定理2：若在整个数轴上f(x)=号+切(acosnx+bsinnx)n=0且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式:iRa=f(x)cosnxd,n=0,1,2，…，b=上卜f(x)sinnxd,n=0,1,2，…，(3)n兀一兀x一般地说，若f是以2兀为周期且在L兀,兀］上可积的函数，则可按公式(3)计算出a.和^，它们称为f的傅里叶系数，以f的傅里叶系数为系数的三角级数称为f的傅里叶级数，记作f(x)〜纭+工(acosnx+bsinnx)。(4)定理3：若以2兀为周期的函数f在L兀，兀］上按段光滑，则在每一点xcL兀，兀］f的傅里叶级数(4)收敛于f在点x的左，右极限的算术平均值，即'(**°)+'(*_—=幻+尤(acosnx+bsinnx),其中a,b为f的傅里叶系数。22nnnnn=1预备定理1(贝塞尔(Bessel)不等式)：若函数f在［-兀,兀］上可积，则其中a,,气为f的傅里叶系数，称为贝塞尔不“o+工(a2+b2)<1卜f2(x)d，21其中a,,气为f的傅里叶系数，称为贝塞尔不预备定理2：若f(x)是以2兀为周期的函数，且在L兀,兀］上可积，则它的傅里叶级数部分和S”(x)可写成七(x)=上j兀f(x+1)-Ksin(傅里叶级数部分和S”(x)可写成七(x)=上j兀f(x+1)-Ksin(n+—)td，当t=0时，被2sin't2限来确定。3，以2l为周期的函数的展开式设f是以21为周期的函数，通过变量置换7=t或x=?可以把f变换成以2兀为周期的t的函数F(t)=f(约。若f在L/,/］上可积，则F在L兀,兀］上也可积，兀这时函数F的傅里叶级数展开式是：F(t)〜“o+工(acosnt+bsinnt)n=1TOC\o"1-5"\h\z其中a=—卜F(t)cosntd,n=0,1,2，…，n兀-兀t,1，b=—JF(t)sinntd,n=1,2，…，因为牛=t,所以f(x)=F(t)=f(竺,于是得l兀a，",nnxnn^^1Rnnx,f(x)〜一o+，(acos+bsin)(5)与a=lf(x)cosd,n=0,1,2，…，2nlnlnl-llxn=1b=1jlf(x)sin岑d,n=1,2，…，(6)这里(5)式是以2l为周期的函数f的傅里叶nl-llx系数，(5)式是f的傅里叶级数。设f是以2l为周期的函数，或是定义在Ll,l］上的偶函数，则在Ll,l］上，

是偶函数，是奇函数，方切an—1数。cos竺F称为余弦函数，£bsin竺是偶函数，是奇函数，方切an—1数。4一般应用(1)展开与求和例1,将函数f⑴=2+Ix1(-1<x<1)展开成以2为周期的Fourier级数，并由此求级数£—的和。n2n=1解：函数f(x)是符合Dielchlet条件的偶函数，故级数中的b—0，只需计