哈尔滨工程大学试卷2014级《高等数学下》期末试题

哈尔滨工程大学本科生考试一试卷（2013-2014年第二学期）2014-7-18课程编号：0911002课程名称：微积分A(二)(A卷)题号一二三四五六总分分数评卷人：名姓得分评卷人填空题（每题2分，共20分）一、装1.极限lim(x22y2)sin3x21的值为.x04y2y0订2.设函数f(x,y)ysin(xy)xy2，则偏导数fy(0,1)的值为.3.曲面zez2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程是.线2222：4.设地区D{(x,y)|xy1}，则1xdxdy的值为.号yD学5.设有平面曲线L:x2y21，则曲线积分yds的值为.L6.向量场A(x,y,z)(xyz)i(yzx)j(zxy)k在点P(1,1,1)处的散度divA.7.函数f(x)1在(3,3)内展的幂级数张开式为.x38.假如将函数f(x)x2(0x)张开成周期为2的正弦级数，则系数a1的值：为.级班9.微分方程yyx知足条件y|x11的解为.

10.设空间物体由曲面zx2y2与平面z1围成，内任一点(x,y,z)处的体密度(x,y,z)z，则此空间物体的质量为.得分评卷人二、单项选择题（每题3分，共30分）说明：请将以下单项选择题的答案按题号填入下表中．12345678910xy,(x,y)(0,0)1.设函数f(x,y)x2，则f(x,y)在(0,0)点.y20,(x,y)(0,0)(A)不连续(B)偏导数不存在(C)不能够微(D)偏导数连续2.设函数uu(x,y,z)的全微分存在，则u在点(x,y,z)处的梯度gradu为.(A)uuu(B)uiujukxyzxyz(C)(u)2(u)2(u)2(D)2u2u2ukijz2xyzx2y23.设函数zf(x,y)在点(x0,y0)知足fx(x0,y0)0、fy(x0,y0)0，则函数zf(x,y)在(x0,y0)处.有极值，可能是极大值，也可能是极小值可能无极值必有极大值必有极小值第1页共8页第2页共8页4.互换二次积分I1y.dy0f(x,y)dx的积分序次，则I01x2(B)10(A)dx0f(x,y)dydxx2f(x,y)dy00(C)11(D)1x2dxx2f(x,y)dydx1f(x,y)dy005.设曲面为x2y2z2a2在zh(0ha)的部分，则曲面积分zdS.(A)2a2h2(B)2a2h2d0ardrda2h2ardr00(C)2a2h2a2r2rdr(D)2a2h2a2r2rdrd0d000(n1n6.1).级数2nn1(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性不确立7.已知函数f(x)x，x(1,1]，将f(x)张开为周期为2的傅立叶级数，且其和函数为S(x)，则S(5)的值为.(A)0(B)1(C)1(D)不确立若1(x)、2(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不一样样特解，则该方程的通解为.(A)1(x)2(x)(B)1(x)2(x)(C)C1(x)2(x)(D)C(1(x)2(x))1(x)2(x)29.微分方程xyy4x(x0)的通解为.(A)yC1lnxC2exx2(B)yC1lnxC2exx2(C)yC1lnxC2x2(D)yC1lnxC2xx2

10.已知二元函数zf(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义，且fx(0,0)1，fy(0,0)2，则.(A)dz|(0,0)dx2dy(B)dz|(0,0)2dxdy(C){1,2,1}是曲面zf(x,y)在(0,0,f(0,0))点的法向量(D)limf(x,0)f(0,0)，limf(0,y)f(0,0)x0y0得分评卷人三、计算题（每题8分，共40分）21.设函数zf(x2y2,x),此中f(u,v)拥有二阶连续的偏导数，求z.xy装订线第3页共12页第4页共12页2.计算曲线积分(xy)dx(xy)dy，此中L为逆时针方向不自订交、不经4.求幂级数(1)n1x2n1的收敛域及和函数.Lx2y2n12n1过原点的分段圆滑关闭曲线.：名姓装订3.计算曲面积分(x3yz)dydz(y3xz)dzdx(z3xy)dxdy，此中曲面：线y2与两球面x2y2z21和x2y2z2是由锥面zx24所围建立体号学表面的外侧.：级班第5页共8页第6页共8页5.求微分方程y''4y'4yxex的通解.得分评卷人四、应用题（6分）求平面曲线x3xyy31(x0,y0)上的点到坐标原点的最长与最短距离.装得分评卷人订五、证明题（4分）若级数un2与vn2都收敛，证明：(unvn)2收敛.线n1n1n1第7页共12页第8页共12页微积分A（二）（A卷）参照答案及评分标准2014年7月18日一、填空题（每题2分,共20分）1.0；6.3；2.2；7.xn；3.4(x1)2(y2)0或n03n1：2xy40；8.0；名4.2；9.yx；姓35.0；10..3装二、单项选择题（每题3分,共30分）1.C2.B3.B4.C5.A订6.B7.A8.D9.C10.D线三、计算题（每题8分,共40分）：号1.解答：法1：z2xf1f2；....................................................................4分学x2z2xf112yf212y4xyf112yf12.....................................................4分xy法2：z2yf1；分4y2z2y(2xf11f12)4xyf112yf12............................................................4分xy：P(x,y)xyQ(x,y)xyPx2y22xyQ级2.解答：x2y2,2y2,y(x2y2)2x.x班.................................2分

（1）若原点不在L所围的闭地区内部,由格林公式(xy)dx(xy)dy..................................2分Lx2y20；（2）若原点在L所围的闭地区内部,做小圆L:x2y22,方向为逆时针,记由L所围成的地区为D,则LLLL2分1(xy)dx(xy)dy02L22.....................................................................2分d2D解答：记由曲面所围成的地区为,则有原式=3(x2y2z2)dV..........................................................................分332d4d2dr.....................................................................3分0r4sin016(12)3193(22)..............................................................2分2554.解答：∵lim(1)nx2n1(1)nx2n1x2n2n12n1∴R1，即|x|1时级数收敛.又级数(1)n1x2n1在x1处收敛，故幂级数的收敛域为[1,1]......3分n12n1设S(x)(1)n1x2n1,则当1x1时,有n12n1第9页共8页第10页共8页S(x)(1)n1x2n21n11x2因此(1)n1x2n1arctanx(1x1)..............................................5分n12n15.解答：特点方程为r24r40,解得r1r22,因此原方程对应的齐次方程的通解为：Y(C1+C2x)e2x............................................4分设原方程的特解为y*ex(AxB),代入原方程得A1,B2,因此原方程的特解为y*ex(x2)............................................................................3分原方程的通解为yYy*(C1+C2x)e2xex(x2)................1分四、应用题（6分）解答：令L(x,y,)x2y2(x3xyy31)..........................................1分Lx2x(3x2y)0Ly2y(3y2x)0...................................2分Lx3xyy310假定x0,y0.因为0,因此2x(3x2y)xy1.2y(3y2x)由实诘问题知此问题有最大值和最小值,因此最长距离dMmax{x2y2|(x,y)(1,1),(x,y)(0,1),(x,y)(1,0)}2.最短距离dmmin{x2y2|(x,y)(1,1),(x,y)(0,1),(x,y)(1,0)}1............................