随机变量及其分布论述课件

离散型随机变量的概率分布

随机变量的分布函数

连续型随机变量的概率密度

随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布

随机变量返回主目录离散型随机变量的概率分布

第二章随机变量及其分布随机§1随机变量第二章随机变量及其分布一．随机变量的概念例

1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为§1随机变量返回主目录§1随机变量第二章随机变量及其分布一．随机变量的概例

1（续）我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1，2，3．因此，X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例1（续）我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1例

1（续）第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例1（续）第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间S上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

表示至少取出2个黑球这一事件，等等．第二章随机变量及其分布§1随机变量例

1（续）

表示取出2个黑球这一事件；返回主目录由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应我们定义了随机变随机变量的定义设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本空间上的函数为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合都是随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量ReS随机变量的定义设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本说明第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录说明第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目例

2掷一颗骰子，令：X：出现的点数．则X就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6．

表示掷出的点数不超过4这一随机事件；

表示掷出的点数为偶数这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例2掷一颗骰子，令：表示掷出的点数不超过4这一随机例

3一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品．现从中取出6件，令：

X：取出6件产品中的次品数．则X就是一个随机变量．它的取值为0，1，2，…，6．

表示取出的产品全是正品这一随机事件；

表示取出的产品至少有一件这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例3一批产品有50件，其中有8件次品，42件正例

4上午8:00～9:00在某路口观察，令：

Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件．注意

Y的取值是可列无穷个！第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例4上午8:00～9:00在某路口观察，令：表示通例

5观察某生物的寿命（单位：小时），令：

Z：该生物的寿命．则Y就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数．表示该生物的寿命大于3000小时这一随机事件．表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量注意

Z的取值是不可列无穷个！返回主目录例5观察某生物的寿命（单位：小时），令：表示该生物的寿命大例

6掷一枚硬币，令：则X是一个随机变量．第二章随机变量及其分布§1随机变量说明在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．返回主目录例6掷一枚硬币，令：则X是一个随机变量．第二章随机变量例

7掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：等等．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例7掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示等等．第一.离散型随机变量的概念与性质第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量的定义如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量．§2离散型随机变量返回主目录一.离散型随机变量的概念与性质第二章随机变量及其分布§2第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的所有可能取值为并设则称上式或为离散型随机变量X的分布律．返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量的说明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量分布律的性质:返回主目录说明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．第二章例

1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．解：

X的取值为5，6，7，8，9，10．并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量具体写出，即可得X的分布律：返回主目录例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：第二章例

2将1枚硬币掷3次，令：X：出现的正面次数与反面次数之差．试求X的分布律．解：X的取值为-3，-1，1，3．并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例2将1枚硬币掷3次，令：第二章随机变量及其分例

3设离散型随机变量X的分布律为

则第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例3设离散型随机变量X的分布律为则第二章随机例

3（续）第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例3（续）第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回例

4设随机变量X的分布律为解：由随机变量的性质，得第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量该级数为等比级数，故有所以返回主目录例4设随机变量X的分布律为解：由随机变量的性质，得第二第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量

设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X

的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3p可爱的家园例5第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量设一汽车在开第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量解：

以p

表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X

的分布律为：Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或写成

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

例5(续)返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量解：以p表第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625例5(续)返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量以p=1二、一些常用的离散型随机变量第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量1)Bernoulli分布如果随机变量X的分布律为或则称随机变量X服从参数为p的Bernoulli分布．返回主目录二、一些常用的离散型随机变量第二章随机变量及其分布§2离Bernoulli分布也称作0-1分布或二点分布．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量Bernoulli分布的概率背景进行一次Bernoulli试验，设：令：X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．或者说：令返回主目录Bernoulli分布也称作0-1分布或二点分布．第二章例615件产品中有4件次品，11件正品．从中取出1件令

X：取出的一件产品中的次品数．则X的取值为0或者1，并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例615件产品中有4件次品，11件正品．从中取出1件第2）二项分布如果随机变量X的分布律为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录2）二项分布如果随机变量X的分布律为第二章随机说明显然，当n=1时第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录说明显然，当n=1时第二章随机变量及其分布§二项分布的概率背景进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中令X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录二项分布的概率背景进行n重Bernoulli试验，设在每次试分布律的验证⑴．由于以及n为自然数，可知⑵．又由二项式定理，可知所以是分布律．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录分布律的验证⑴．由于以及n为自然数，可知⑵．又由二项式定例7一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例7一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，则答5道例

7（续）所以第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例7（续）所以第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布先是随着k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少．这个使得第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布先是随着k的增可以证明：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录可以证明：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主例8对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．令：

则由题意第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例8对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命则由例8（续）因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例8（续）因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为第二章3）Poisson分布如果随机变量X的分布律为

则称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录3）Poisson分布如果随机变量X的分布律为则分布律的验证⑴由于可知对任意的自然数k，有第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量⑵又由幂级数的展开式，可知所以是分布律．返回主目录分布律的验证⑴由于可知对任意的自然数k，有第二章随Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一．自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分例9设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X的分布律为由已知第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例9设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已例9（续）得由此得方程得解所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例9（续）得由此得方程得解所以，第二章随机变量及其分布例10第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例10第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目例10（续）解：设B={此人在一年中得3次感冒}则由Bayes公式，得第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例10（续）解：设B={此人在一年中得3次感冒}则由Poisson定理证明：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量Poisson定理证明：第二章随机变量及其分布§2离散型Poisson定理的证明(续)对于固定的k，有第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的证明(续)对于固定的k，有第二章随Poisson定理的证明(续)所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的证明(续)所以，第二章随机变量及其分Poisson定理的应用由Poisson定理，可知第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的应用由Poisson定理，可知第二章例11设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）．解：设B={600次射击至少命中3次目标}

进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例11设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次例11（续）所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例11（续）所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300

台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于

0.01？

解：设需配备

N

人，记同一时刻发生故障的设备台数为X，则X~b(300，0.01），需要确定最小的

N

的取值，使得：例12返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量为了保证设备正常查表可知，满足上式的最小的

N是8,因此至少需配备8个工人。第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录查表可知，满足上式的最小的N是8,因此至少需配备设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法：其一，由4人维护，每人负责20台其二，由3人,共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量例13返回主目录设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的

解：按第一种方法.

以X记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”，则X~b(20，0.01）.以Ai

表示事件“第i人负责的台中发生故障不能及时维修”，则80台中发生故障而不能及时维修的概率为：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量例13(续)返回主目录解：按第一种方法.以X记“第1人负责的20

按第二种方法.

以

Y记

80台中同一时刻发生故障的台数，则Y~b(80，0.01）.

故

80台中发生故障而不能及时维修的概率为：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量例13(续)

第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源。返回主目录按第二种方法.以Y记80台中同一时刻发生4）几何分布若随机变量X的分布律为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录4）几何分布若随机变量X的分布律为第二章随机变分布律的验证⑴由条件⑵由条件可知综上所述，可知是一分布律．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录分布律的验证⑴由条件⑵由条件可知综上所述，几何分布的概率背景在Bernoulli试验中，试验进行到A首次出现为止．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量即返回主目录几何分布的概率背景在Bernoulli试验中，试验进行到A例

14对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，令：

X：所需射击次数．试求随机变量X的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率．解：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量例14对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率第二章随例

14（续）由独立性，得X的分布律为：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例14（续）由独立性，得X的分布律为：第二章随机变5）超几何分布如果随机变量X的分布律为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录5）超几何分布如果随机变量X的分布律为第二章超几何分布的概率背景一批产品有N件，其中有M件次品，其余N-M件为正品．现从中取出n件．令：X：取出n件产品中的次品数．则X的分布律为§2离散型随机变量第二章随机变量及其分布返回主目录超几何分布的概率背景一批产品有N件，其中有M件次品，1.概念

定义

设X是一个随机变量，x

是任意实数，函数称为

X

的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX§3随机变量的分布函数返回主目录1.概念定义设X是一个随机变量，x例1

设随机变量X

的分布律为：求

X的分布函数.Xpk

-123解：当

x<-1

时，满足0２xX３-1x2.例子§3随机变量的分布函数返回主目录例1设随机变量X的分布律为：求X的分当满足Xx的X取值为X=-1,

２xX３-1x当满足Xx的X取值为X=-1,或

2

Xpk

-123§3随机变量的分布函数返回主目录当满足Xx的X取值为X=-1,２xX３-1x同理当-10123

x1§3随机变量的分布函数返回主目录同理当-10123-10123

x1§3随机变量的分布函数-10123-1

0123

x1

分布函数F(x)

在x=xk

(k=1,2,…)处有跳跃，其跳跃值为

pk=P{X=xk}.Xpk

-123§3随机变量的分布函数返回主目录-10123

例2

一个靶子是半径为2

米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.

试求随机变量X的分布函数.解：（1）若

x<0,则是不可能事件，于是（2）X§3随机变量的分布函数例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶（3）若

,则是必然事件，于是§3随机变量的分布函数返回主目录（3）若,则01231F(x)x§3随机变量的分布函数返回主目录01231F(3.

分布函数的性质

分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看出，分布函数

F(x)具有以下基本性质：10F(x)是一个不减的函数．

0

1231F(x)x§3随机变量的分布函数返回主目录3.分布函数的性质分别观察离散型、2030-10123

x1§3随机变量的分布函数返回主目录2030-1012用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函例3§3随机变量的分布函数返回主目录例3§3随机变量的分布函数返回主目录例3（续）§3随机变量的分布函数返回主目录例3（续）§3随机变量的分布函数返回主目录例4设随机变量X的分布函数为解：由分布函数的性质，我们有§3随机变量的分布函数返回主目录例4设随机变量X的分布函数为解：§3随机变例4（续）解方程组得解§3随机变量的分布函数返回主目录例4（续）解方程组得解§3随机变量的分布函数返§4

连续型随机变量的概率密度

概率密度及其性质

指数分布

均匀分布

正态分布与标准正态分布返回主目录§4连续型随机变量的概率密度概率密度及其性质

返回主一.连续型随机变量的概念与性质§4

连续型随机变量的概率密度定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)， 存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X

为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X

的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量X由其密度函数唯一确定．返回主目录一.连续型随机变量的概念与性质§4连续型随机变量的概率§4

连续型随机变量的概率密度

由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：f(x)0x1返回主目录§4连续型随机变量的概率密度由定义知道，概率密度ff(x)x0§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录f(x)x0§4连续型随机变量的概率密度返回主目录注意

连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！§4

连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的一个重要特点返回主目录注意连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机§4

连续型随机变量的概率密度证明：

所以有返回主目录§4连续型随机变量的概率密度证明：所以有返回主目录说明⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录说明⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我§4例1设X是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴．由密度函数的性质§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例1设X是连续型随机变量，其密度函数为解：§4连例1（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例1（续）§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例1（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例1（续）§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例2某电子元件的寿命（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.解：设：A={某元件在使用的前150小时内需要更换}§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例2某电子元件的寿命（单位：小时）是以为密度函数的连续型随例2（续）检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验．

B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时}§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例2（续）检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5§4

连续型随机变量的概率密度例3返回主目录§4连续型随机变量的概率密度例3返回主目录例4§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例4§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例4（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例4（续）§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例4（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例4（续）§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例4（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例4（续）§4连续型随机变量的概率密度返回主目录二.一些常用的连续型随机变量§4

连续型随机变量的概率密度1．均匀分布若随机变量X的密度函数为记作X~U[a,b]返回主目录二.一些常用的连续型随机变量§4连续型随机变量的概率密密度函数的验证§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证§4连续型随机变量的概率密度返回主目录说明⑴．类似地，我们可以定义§4连续型随机变量的概率密度返回主目录说明⑴．类似地，我们可以定义§4连续型随机变量均匀分布的概率背景§4

连续型随机变量的概率密度XXabxll0返回主目录均匀分布的概率背景§4连续型随机变量的概率密度XXab均匀分布的分布函数§4

连续型随机变量的概率密度abxF(x)01返回主目录均匀分布的分布函数§4连续型随机变量的概率密度abxF例5

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率．解：设该乘客于7时X分到达此站．§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例5设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,例5（续）令：B={候车时间不超过5分钟}§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例5（续）令：B={候车时间不超过5分钟}§4连例6§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例6§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例6（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例6（续）§4连续型随机变量的概率密度返回主目录2．指数分布如果随机变量X的密度函数为§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录2．指数分布如果随机变量X的密度函数为§4连密度函数的验证§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证§4连续型随机变量的概率密度返回主目录指数分布的分布函数§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录指数分布的分布函数§4连续型随机变量的概率密度返回主目例7§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例7§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例7（续）令：B={等待时间为10~20分钟}§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例7（续）令：B={等待时间为10~20分钟}§43．正态分布§4

连续型随机变量的概率密度xf(x)03．正态分布§4连续型随机变量的概率密度xf(标准正态分布§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录标准正态分布§4连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证§4连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证(续)§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证(续)§4连续型随机变量的概率密度返回主密度函数的验证(续)§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证(续)§4连续型随机变量的概率密度返回主密度函数的验证(续)§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证(续)§4连续型随机变量的概率密度返回主密度函数的验证(续)§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证(续)§4连续型随机变量的概率密度返回主密度函数的验证(续)§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证(续)§4连续型随机变量的概率密度返回主正态分布密度函数的图形性质§4

连续型随机变量的概率密度xf(x)0正态分布密度函数的图形性质§4连续型随机变量的概率密度正态分布密度函数的图形性质（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录正态分布密度函数的图形性质（续）§4连续型随机变量的概正态分布密度函数的图形性质（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录正态分布密度函数的图形性质（续）§4连续型随机变量的概正态分布密度函数的图形性质（续）§4

连续型随机变量的概率密度xf(x)0返回主目录正态分布密度函数的图形性质（续）§4连续型随机变量的概正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．§4

连续型随机变量的概率密度⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．返回主目录正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下标准正态分布的计算§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录标准正态分布的计算§4连续型随机变量的概率密度返回主目标准正态分布的计算（续）§4

连续型随机变量的概率密度x0x-x标准正态分布的计算（续）§4连续型随机变量的概率密度x一般正态分布的计算§4

连续型随机变量的概率密度一般正态分布的计算§4连续型随机变量的概率密度一般正态分布的计算（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录一般正态分布的计算（续）§4连续型随机变量的概率密度返例8§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例8§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例9§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例9§4连续型随机变量的概率密度返回主目录§4

连续型随机变量的概率密度例9续返回主目录§4连续型随机变量的概率密度例9续返回主目录§4

连续型随机变量的概率密度例9续返回主目录§4连续型随机变量的概率密度例9续返回主目录例10§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例10§4连续型随机变量的概率密度返回主目录例10（续）§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录例10（续）§4连续型随机变量的概率密度返回主目录§4

连续型随机变量的概率密度0§4连续型随机变量的概率密度0§4

连续型随机变量的概率密度4.-分布.返回主目录§4连续型随机变量的概率密度4.-分布.返回主目录Γ-函数§4

连续型随机变量的概率密度返回主目录Γ-函数§4连续型随机变量的概率密度返回主目录§4

连续型随机变量的概率密度说明：§4连续型随机变量的概率密度说明：§4

连续型随机变量的概率密度说明：返回主目录§4连续型随机变量的概率密度说明：返回主目录§5随机变量的函数的分布

离散型

连续型

定理及其应用返回主目录§5随机变量的函数的分布离散型

返回主目录随机变量的函数§5随机变量的函数的分布返回主目录随机变量的函数§5随机变量的函数的分布返回主目录一、离散型随机变量的函数§5随机变量的函数的分布返回主目录一、离散型随机变量的函数§5随机变量的函数的分布返回第一种情形§5随机变量的函数的分布返回主目录第一种情形§5随机变量的函数的分布返回主目录第二种情形§5随机变量的函数的分布返回主目录第二种情形§5随机变量的函数的分布返回主目录例1§5随机变量的函数的分布返回主目录例1§5随机变量的函数的分布返回主目录例1（续）§5随机变量的函数的分布返回主目录例1（续）§5随机变量的函数的分布返回主目录

设随机变量

X

具有以下的分布律，试求

Y=(X-1)2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:

Y有可能取的值为0，1，4.

且Y=0对应于(X-1)2=0，解得X=1，所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,§5随机变量的函数的分布例2返回主目录设随机变量X具有以下的分布律，试求pkX-1同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律为：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2§5随机变量的函数的分布例2（续）返回主目录同理,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0例3§5随机变量的函数的分布返回主目录例3§5随机变量的函数的分布返回主目录例3（续）§5随机变量的函数的分布例3（续）§5随机变量的函数的分布二.连续型随机变量函数的分布§5随机变量的函数的分布解题思路二.连续型随机变量函数的分布§5随机变量的函数的分布设随机变量X

具有概率密度：试求Y=2X+8

的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8

的分布函数

FY(y)：§5随机变量的函数的分布例4返回主目录设随机变量X具有概率密度：试求Y=2X+8的概率密§5随机变量的函数的分布例4（续）返回主目录§5随机变量的函数的分布例4（续）返回主目录

整理得Y=2X+8

的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式§5随机变量的函数的分布例4（续）整理得Y=2X+8的概率密度为：本例用到变限的定积分设随机变量

X

具有概率密度求

Y=X2

的概率密度.解：(1)

先求Y=X2

的分布函数

FY(y)：§5随机变量的函数的分布例5返回主目录设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度.§5随机变量的函数的分布例5（续）返回主目录§5随机变量的函数的分布例5（续）返回主目录例如,设X~N(0,1),其概率密度为：则

Y=X2

的概率密度为：§5随机变量的函数的分布返回主目录例如,设X~N(0,1),其概率密度为：则Y=X2例6§5随机变量的函数的分布返回主目录例6§5随机变量的函数的分布返回主目录例6（续）§5随机变量的函数的分布返回主目录例6（续）§5随机变量的函数的分布返回主目录

定理

设随机变量X

具有概率密度则Y=g(X)

是一个连续型随机变量Y，其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数，即§5随机变量的函数的分布返回主目录定理设随机变量X具有概率密度则Y=g(X)是§5随机变量的函数的分布

定理（续）返回主目录§5随机变量的函数的分布定理（续）返回主目录§5随机变量的函数的分布返回主目录§5随机变量的函数的分布返回主目录定理的证明§5随机变量的函数的分布返回主目录定理的证明§5随机变量的函数的分布返回主目录定理的证明§5随机变量的函数的分布返回主目录定理的证明§5随机变量的函数的分布返回主目录定理的证明§5随机变量的函数的分布返回主目录定理的证明§5随机变量的函数的分布返回主目录§5随机变量的函数的分布补充定理：若g(x)在不相叠的区间上逐段严格单调，其反函数分别为均为连续函数，那么Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为返回主目录§5随机变量的函数的分布补充定理：上逐段严格单调，其例7§5随机变量的函数的分布返回主目录例7§5随机变量的函数的分布返回主目录例7（续）§5随机变量的函数的分布返回主目录例7（续）§5随机变量的函数的分布返回主目录证

X的概率密度为：§5随机变量的函数的分布例8返回主目录证X的概率密度为：§5随机变量的函数的分布例8由定理的结论得：§5随机变量的函数的分布例8(续)返回主目录由定理的结论得：§5随机变量的函数的分布例8(续)例9均匀分布，试求电压V的概率密度.解：§5随机变量的函数的分布返回主目录例9均匀分布，试求电压V的概率密度.解：§5随机变§5随机变量的函数的分布返回主目录§5随机变量的函数的分布返回主目录

1引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表示随机事件。

2给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布函数示事件的概率。

3给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。

4给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。

5会求随机变量的简单函数的分布。第二章小结返回主目录作业：1引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表第二章离散型随机变量的概率分布

随机变量的分布函数

连续型随机变量的概率密度

随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布

随机变量返回主目录离散型随机变量的概率分布

第二章随机变量及其分布随机§1随机变量第二章随机变量及其分布一．随机变量的概念例

1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为§1随机变量返回主目录§1随机变量第二章随机变量及其分布一．随机变量的概例

1（续）我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1，2，3．因此，X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例1（续）我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1例

1（续）第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例1（续）第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间S上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

表示至少取出2个黑球这一事件，等等．第二章随机变量及其分布§1随机变量例

1（续）

表示取出2个黑球这一事件；返回主目录由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应我们定义了随机变随机变量的定义设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本空间上的函数为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合都是随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量ReS随机变量的定义设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本说明第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录说明第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目例

2掷一颗骰子，令：X：出现的点数．则X就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6．

表示掷出的点数不超过4这一随机事件；

表示掷出的点数为偶数这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例2掷一颗骰子，令：表示掷出的点数不超过4这一随机例

3一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品．现从中取出6件，令：

X：取出6件产品中的次品数．则X就是一个随机变量．它的取值为0，1，2，…，6．

表示取出的产品全是正品这一随机事件；

表示取出的产品至少有一件这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例3一批产品有50件，其中有8件次品，42件正例

4上午8:00～9:00在某路口观察，令：

Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件．注意

Y的取值是可列无穷个！第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例4上午8:00～9:00在某路口观察，令：表示通例

5观察某生物的寿命（单位：小时），令：

Z：该生物的寿命．则Y就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数．表示该生物的寿命大于3000小时这一随机事件．表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量注意

Z的取值是不可列无穷个！返回主目录例5观察某生物的寿命（单位：小时），令：表示该生物的寿命大例

6掷一枚硬币，令：则X是一个随机变量．第二章随机变量及其分布§1随机变量说明在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．返回主目录例6掷一枚硬币，令：则X是一个随机变量．第二章随机变量例

7掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：等等．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例7掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示等等．第一.离散型随机变量的概念与性质第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量的定义如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量．§2离散型随机变量返回主目录一.离散型随机变量的概念与性质第二章随机变量及其分布§2第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的所有可能取值为并设则称上式或为离散型随机变量X的分布律．返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量的说明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量分布律的性质:返回主目录说明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．第二章例

1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．解：

X的取值为5，6，7，8，9，10．并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量具体写出，即可得X的分布律：返回主目录例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：第二章例

2将1枚硬币掷3次，令：X：出现的正面次数与反面次数之差．试求X的分布律．解：X的取值为-3，-1，1，3．并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例2将1枚硬币掷3次，令：第二章随机变量及其分例

3设离散型随机变量X的分布律为

则第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例3设离散型随机变量X的分布律为则第二章随机例

3（续）第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例3（续）第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回例

4设随机变量X的分布律为解：由随机变量的性质，得第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量该级数为等比级数，故有所以返回主目录例4设随机变量X的分布律为解：由随机变量的性质，得第二第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量

设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X

的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3p可爱的家园例5第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量设一汽车在开第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量解：

以p

表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X

的分布律为：Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或写成

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

例5(续)返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量解：以p表第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625例5(续)返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量以p=1二、一些常用的离散型随机变量第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量1)Bernoulli分布如果随机变量X的分布律为或则称随机变量X服从参数为p的Bernoulli分布．返回主目录二、一些常用的离散型随机变量第二章随机变量及其分布§2离Bernoulli分布也称作0-1分布或二点分布．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量Bernoulli分布的概率背景进行一次Bernoulli试验，设：令：X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．或者说：令返回主目录Bernoulli分布也称作0-1分布或二点分布．第二章例615件产品中有4件次品，11件正品．从中取出1件令

X：取出的一件产品中的次品数．则X的取值为0或者1，并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例615件产品中有4件次品，11件正品．从中取出1件第2）二项分布如果随机变量X的分布律为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录2）二项分布如果随机变量X的分布律为第二章随机说明显然，当n=1时第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录说明显然，当n=1时第二章随机变量及其分布§二项分布的概率背景进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中令X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录二项分布的概率背景进行n重Bernoulli试验，设在每次试分布律的验证⑴．由于以及n为自然数，可知⑵．又由二项式定理，可知所以是分布律．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录分布律的验证⑴．由于以及n为自然数，可知⑵．又由二项式定例7一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例7一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，则答5道例

7（续）所以第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例7（续）所以第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布先是随着k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少．这个使得第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布先是随着k的增可以证明：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录可以证明：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主例8对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．令：

则由题意第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例8对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命则由例8（续）因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例8（续）因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为第二章3）Poisson分布如果随机变量X的分布律为

则称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录3）Poisson分布如果随机变量X的分布律为则分布律的验证⑴由于可知对任意的自然数k，有第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量⑵又由幂级数的展开式，可知所以是分布律．返回主目录分布律的验证⑴由于可知对任意的自然数k，有第二章随Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一．自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分例9设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X的分布律为由已知第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例9设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已例9（续）得由此得方程得解所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例9（续）得由此得方程得解所以，第二章随机变量及其分布例10第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例10第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目例10（续）解：设B={此人在一年中得3次感冒}则由Bayes公式，得第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例10（续）解：设B={此人在一年中得3次感冒}则由Poisson定理证明：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量Poisson定理证明：第二章随机变量及其分布§2离散型Poisson定理的证明(续)对于固定的k，有第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的证明(续)对于固定的k，有第二章随Poisson定理的证明(续)所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的证明(续)所以，第二章随机变量及其分Poisson定理的应用由Poisson定理，可知第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的应用由Poisson定理，可知第二章例11设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）．解：设B={600次射击至少命中3次目标}

进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例11设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次例11（续）所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例11（续）所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300

台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于

0.01？

解：设需配备

N

人，记同一时刻发生故障的设备台数为X，则X~b(300，0.0