连续时间信号与系统的复频域分析课件

第4章

连续时间信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换4.2单边拉氏变换的性质4.3单边拉氏反变换4.4连续系统的复频域分析4.5系统函数H(s)4.6系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系4.7系统的稳定性4.8系统函数与系统频率特性第4章连续时间信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变14.1拉普拉斯变换4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换4.1.2拉普拉斯变换的收敛域4.1.3常用信号的单边拉氏变换返回首页4.1拉普拉斯变换4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变24.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换由第3章已知，当函数f(t)满足狄里赫利条件时，便存在一对傅里叶变换式：返回本节4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换由第3章已知，当函数34.1.2

拉普拉斯变换的收敛域连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式f(s)是否存在，取决于f(t)乘以衰减因子以后是否绝对可积，即：4.1.2拉普拉斯变换的收敛域连续时间信号f(t)的拉普4图4-1收敛域的划分图4-1收敛域的划分5图4-2右边指数衰减信号与其收敛域图4-2右边指数衰减信号与其收敛域6图4-3左边指数增长信号与其收敛域图4-3左边指数增长信号与其收敛域7图4-4双边信号与其收敛域返回本节图4-4双边信号与其收敛域返回本节84.1.3

常用信号的单边拉氏变换1．单位阶跃信号2．单位冲激信号3．指数信号4．正弦信号5．t的正幂信号4.1.3常用信号的单边拉氏变换1．单位阶跃信号91．单位阶跃信号即：1．单位阶跃信号即：102．单位冲激信号即：2．单位冲激信号即：113．指数信号即：3．指数信号即：124．正弦信号即：4．正弦信号即：135．t的正幂信号利用分部积分法，得：所以：5．t的正幂信号利用分部积分法，得：所以：14表4-1

常用信号的拉氏变换返回本节表4-1常用信号的拉氏变换返回本节154.2单边拉氏变换的性质4.2.1线性4.2.2时移（延时）特性4.2.3尺度变换4.2.4频移特性4.2.5时域微分定理4.2.6时域积分定理4.2.7频域微分定理4.2.8频域积分定理4.2.9初值定理4.2.10终值定理4.2.11卷积定理返回首页4.2单边拉氏变换的性质4.2.1线性返回首页164.2.1线性返回本节4.2.1线性返回本节174.2.2时移（延时）特性4.2.2时移（延时）特性18

（a）

（b）

（c）（d）

（e）图4-5几种时移情况（a）（194.2.3尺度变换4.2.3尺度变换204.2.4频移特性返回本节4.2.4频移特性返回本节214.2.5时域微分定理4.2.5时域微分定理22

（a）三角脉冲

（b）三角脉冲的一阶导数

（c）三角脉冲的二阶导数图4-7三角脉冲及其导数返回本节（a）三角脉冲（b）三角脉冲的一阶导234.2.6时域积分定理4.2.6时域积分定理244.2.7频域微分定理返回本节4.2.7频域微分定理返回本节254.2.8频域积分定理返回本节4.2.8频域积分定理返回本节264.2.9初值定理例：4.2.9初值定理例：274.2.10终值定理例：4.2.10终值定理例：284.2.11卷积定理1．时域卷积定理

2．复频域卷积定理

4.2.11卷积定理1．时域卷积定理291．时域卷积定理

1．时域卷积定理302．复频域卷积定理

2．复频域卷积定理31连续时间信号与系统的复频域分析32连续时间信号与系统的复频域分析33返回本节返回本节344.3单边拉氏反变换4.3.1查表法4.3.2部分分式展开法返回首页4.3单边拉氏反变换4.3.1查表法返回首页35

4.3.1查表法返回本节查表得：所以：4.3.1查表法返回本节查表得：所以：364.3.2部分分式展开法4.3.2部分分式展开法374.3.2部分分式展开法4.3.2部分分式展开法38连续时间信号与系统的复频域分析39返回本节返回本节404.4连续系统的复频域分析4.4.1用拉氏变换法分析系统4.4.2用拉氏变换法分析电路返回首页4.4连续系统的复频域分析4.4.1用拉氏变换法分析414.4.1

用拉氏变换法分析系统首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个代数方程求出的响应象函数包含了零输入响应和零状态响应再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。4.4.1用拉氏变换法分析系统首先对描述系统输入输出关系42例4-18

描述LTI系统的微分方程为：

例4-18描述LTI系统的微分方程为：434.4.2

用拉氏变换法分析电路1．电阻元件的s域电路模型2．电容元件的s域电路模型3．电感元件的s域电路模型4．用拉氏变换法分析电路4.4.2用拉氏变换法分析电路1．电阻元件的s域电路模型441．电阻元件的s域电路模型电阻元件的时域伏安关系为：

对上式取拉氏变换，得：

1．电阻元件的s域电路模型电阻元件的时域伏安关系为：对上式45

（a）时域电路模型

（b）s域电路模型图4-8电阻元件时域与s域电路模型（a）时域电路模型462．电容元件的s域电路模型电容元件的时域伏安关系为：2．电容元件的s域电路模型电容元件的时域伏安关系为：47

（a）时域电路模型

（b）s域串联电路模型

（c）s域并联电路模型图4-9电容元件时域与s域电路模型（a）时域电路模型（b）s域串联电路模型483．电感元件的s域电路模型3．电感元件的s域电路模型49（a）时域电路模型

（b）s域串联电路模型

（c）s域并联电路模型图4-10电感元件时域与s域电路模型（a）时域电路模型（b）s域串联电路模型504．用拉氏变换法分析电路得到一般电路的s域模型;应用电路的基本分析方法（节点法、网孔法等）和定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复频域的方程;求解得到响应的象函数;对象函数进行拉氏反变换，即得出响应的时域解。4．用拉氏变换法分析电路得到一般电路的s域模型;51（a）时域电路模型

（b）s域电路模型图4-11例4-20图（a）时域电路模型52图4-12例4-21图图4-12例4-21图53

（a）s域全响应电路模型

（b）s域零输入响应电路模型

（c）s域零状态电路模型图4-13s域电路模型返回本节（a）s域全响应电路模型（b）s域零544.5系统函数H(s)4.5.1系统函数的定义4.5.2系统函数的求解方法返回首页4.5系统函数H(s)4.5.1系统函数的定义返回首554.5.1

系统函数的定义4.5.1系统函数的定义564.5.2

系统函数的求解方法4.5.2系统函数的求解方法57（a）时域电路模型

（b）s域电路模型图4-16例4-23图返回本节（a）时域电路模型584.6系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系4.6.1系统函数的零、极点与零、极点图4.6.2系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系返回首页4.6系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系4.6.594.6.1

系统函数的零、极点与零、极点图LTI连续系统的系统函数h(s)通常是复变量的有理分式，即：

4.6.1系统函数的零、极点与零、极点图LTI连续系统的60例如某系统的系统函数为：4.6.1

系统函数的零、极点与零、极点图例如某系统的系统函数为：4.6.1系统函数的零、极点与零61图4-17h(s)的零、极点分布图返回本节图4-17h(s)的零、极点分布图返回本节624.6.2

系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系1．左半平面极点2．虚轴上极点3．右半平面极点4.6.2系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系1．63图4-18h(s)零、极点分布与时域响应特性的关系返回本节图4-18h(s)零、极点分布与时域响应特性的关系返回本64

4.7系统的稳定性4.7.1稳定系统的定义4.7.2系统稳定的条件返回首页4.7系统的稳定性4.7.1稳定系统的定义返回首页654.7.1稳定系统的定义一个连续系统，如果对于任意有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统。即对于一个稳定系统，若输入信号：则输出响应：返回本节4.7.1稳定系统的定义一个连续系统，如果对于任意有界输664.7.2系统稳定的条件1．时域的稳定条件

2．频域的稳定条件

4.7.2系统稳定的条件1．时域的稳定条件671．时域的稳定条件

设连续时间系统的输入信号x(t)满足|x(t)|≤Mx，则系统的零状态响应：或写成：1．时域的稳定条件设连续时间系统的输入信号x(t)满足|x682．频域的稳定条件

（1）稳定系统

（2）不稳定系统

（3）临界稳定系统

2．频域的稳定条件（1）稳定系统69（a）时域电路模型

（b）域电路模型图4-19例4-24图（a）时域电路模型70图4-20例4-25图返回本节图4-20例4-25图返回本节714.8系统函数与系统频率特性4.8.1频率特性4.8.2频率特性的矢量作图法返回首页4.8系统函数与系统频率特性4.8.1频率特性返回首724.8.1频率特性系统在正弦信号激励的作用下，稳态响应随着激励信号频率的变化特性，称为系统的频率特性。包括幅度随频率变化而变化的幅频特性和相位随频率变化而变化的相频特性。

4.8.1频率特性系统在正弦信号激励的作用下，稳态响应随734.8.1频率特性下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳态响应及频率特性。设系统函数为h(s)，正弦激励信号为，其拉氏变换为：4.8.1频率特性下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳744.8.1频率特性则系统响应的拉氏变换为：返回本节4.8.1频率特性则系统响应的拉氏变换为：返回本节754.8.2频率特性的矢量作图法矢量作图法是根据系统函数h(s)在s平面的零、极点分布绘制的频率响应特性曲线，包括幅频特性曲线和相频特性曲线。设稳定的因果系统，其系统函数为：

4.8.2频率特性的矢量作图法矢量作图法是根据系统函数h764.8.1频率特性系统的频率特性为：4.8.1频率特性系统的频率特性为：77图4-21零点与极点的矢量表示图4-21零点与极点的矢量表示78

图4-22例4-26电路图

图4-22例4-26电路图79

图4-23例4-26电路频率特性分析图4-23例4-26电路频率特性分析80（a）幅频特性曲线（b）相频特性曲线图4-24一阶RC高通滤波器的频率特性曲线返回本节（a）幅频特性曲线81本章小结（1）拉氏变换是傅里叶变换的进一步推广，它描述了信号时域与复频域之间的对应关系，可以用于分析更为广泛的信号与系统，是分析线性系统强有力的工具。

（2）拉氏变换的性质反映了信号的时域特性与复频域特性之间的密切关系。（3）复频域分析法将时域微分方程的求解变换为s域代数方程的求解，从而使解决问题的方法变得简单。

（4）系统函数h(s)是系统响应的象函数y(s)与系统激励的象函数x(s)之比。

（5）从系统函数h(s)的零、极点分布可以很方便地确定系统时域冲激响应的特性、系统的稳定性和系统的频率特性，因此系统函数成为系统分析和综合设计的依据。本章小结（1）拉氏变换是傅里叶变换的进一步推广，它描述了信号82第4章

连续时间信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换4.2单边拉氏变换的性质4.3单边拉氏反变换4.4连续系统的复频域分析4.5系统函数H(s)4.6系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系4.7系统的稳定性4.8系统函数与系统频率特性第4章连续时间信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变834.1拉普拉斯变换4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换4.1.2拉普拉斯变换的收敛域4.1.3常用信号的单边拉氏变换返回首页4.1拉普拉斯变换4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变844.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换由第3章已知，当函数f(t)满足狄里赫利条件时，便存在一对傅里叶变换式：返回本节4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换由第3章已知，当函数854.1.2

拉普拉斯变换的收敛域连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式f(s)是否存在，取决于f(t)乘以衰减因子以后是否绝对可积，即：4.1.2拉普拉斯变换的收敛域连续时间信号f(t)的拉普86图4-1收敛域的划分图4-1收敛域的划分87图4-2右边指数衰减信号与其收敛域图4-2右边指数衰减信号与其收敛域88图4-3左边指数增长信号与其收敛域图4-3左边指数增长信号与其收敛域89图4-4双边信号与其收敛域返回本节图4-4双边信号与其收敛域返回本节904.1.3

常用信号的单边拉氏变换1．单位阶跃信号2．单位冲激信号3．指数信号4．正弦信号5．t的正幂信号4.1.3常用信号的单边拉氏变换1．单位阶跃信号911．单位阶跃信号即：1．单位阶跃信号即：922．单位冲激信号即：2．单位冲激信号即：933．指数信号即：3．指数信号即：944．正弦信号即：4．正弦信号即：955．t的正幂信号利用分部积分法，得：所以：5．t的正幂信号利用分部积分法，得：所以：96表4-1

常用信号的拉氏变换返回本节表4-1常用信号的拉氏变换返回本节974.2单边拉氏变换的性质4.2.1线性4.2.2时移（延时）特性4.2.3尺度变换4.2.4频移特性4.2.5时域微分定理4.2.6时域积分定理4.2.7频域微分定理4.2.8频域积分定理4.2.9初值定理4.2.10终值定理4.2.11卷积定理返回首页4.2单边拉氏变换的性质4.2.1线性返回首页984.2.1线性返回本节4.2.1线性返回本节994.2.2时移（延时）特性4.2.2时移（延时）特性100

（a）

（b）

（c）（d）

（e）图4-5几种时移情况（a）（1014.2.3尺度变换4.2.3尺度变换1024.2.4频移特性返回本节4.2.4频移特性返回本节1034.2.5时域微分定理4.2.5时域微分定理104

（a）三角脉冲

（b）三角脉冲的一阶导数

（c）三角脉冲的二阶导数图4-7三角脉冲及其导数返回本节（a）三角脉冲（b）三角脉冲的一阶导1054.2.6时域积分定理4.2.6时域积分定理1064.2.7频域微分定理返回本节4.2.7频域微分定理返回本节1074.2.8频域积分定理返回本节4.2.8频域积分定理返回本节1084.2.9初值定理例：4.2.9初值定理例：1094.2.10终值定理例：4.2.10终值定理例：1104.2.11卷积定理1．时域卷积定理

2．复频域卷积定理

4.2.11卷积定理1．时域卷积定理1111．时域卷积定理

1．时域卷积定理1122．复频域卷积定理

2．复频域卷积定理113连续时间信号与系统的复频域分析114连续时间信号与系统的复频域分析115返回本节返回本节1164.3单边拉氏反变换4.3.1查表法4.3.2部分分式展开法返回首页4.3单边拉氏反变换4.3.1查表法返回首页117

4.3.1查表法返回本节查表得：所以：4.3.1查表法返回本节查表得：所以：1184.3.2部分分式展开法4.3.2部分分式展开法1194.3.2部分分式展开法4.3.2部分分式展开法120连续时间信号与系统的复频域分析121返回本节返回本节1224.4连续系统的复频域分析4.4.1用拉氏变换法分析系统4.4.2用拉氏变换法分析电路返回首页4.4连续系统的复频域分析4.4.1用拉氏变换法分析1234.4.1

用拉氏变换法分析系统首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个代数方程求出的响应象函数包含了零输入响应和零状态响应再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。4.4.1用拉氏变换法分析系统首先对描述系统输入输出关系124例4-18

描述LTI系统的微分方程为：

例4-18描述LTI系统的微分方程为：1254.4.2

用拉氏变换法分析电路1．电阻元件的s域电路模型2．电容元件的s域电路模型3．电感元件的s域电路模型4．用拉氏变换法分析电路4.4.2用拉氏变换法分析电路1．电阻元件的s域电路模型1261．电阻元件的s域电路模型电阻元件的时域伏安关系为：

对上式取拉氏变换，得：

1．电阻元件的s域电路模型电阻元件的时域伏安关系为：对上式127

（a）时域电路模型

（b）s域电路模型图4-8电阻元件时域与s域电路模型（a）时域电路模型1282．电容元件的s域电路模型电容元件的时域伏安关系为：2．电容元件的s域电路模型电容元件的时域伏安关系为：129

（a）时域电路模型

（b）s域串联电路模型

（c）s域并联电路模型图4-9电容元件时域与s域电路模型（a）时域电路模型（b）s域串联电路模型1303．电感元件的s域电路模型3．电感元件的s域电路模型131（a）时域电路模型

（b）s域串联电路模型

（c）s域并联电路模型图4-10电感元件时域与s域电路模型（a）时域电路模型（b）s域串联电路模型1324．用拉氏变换法分析电路得到一般电路的s域模型;应用电路的基本分析方法（节点法、网孔法等）和定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复频域的方程;求解得到响应的象函数;对象函数进行拉氏反变换，即得出响应的时域解。4．用拉氏变换法分析电路得到一般电路的s域模型;133（a）时域电路模型

（b）s域电路模型图4-11例4-20图（a）时域电路模型134图4-12例4-21图图4-12例4-21图135

（a）s域全响应电路模型

（b）s域零输入响应电路模型

（c）s域零状态电路模型图4-13s域电路模型返回本节（a）s域全响应电路模型（b）s域零1364.5系统函数H(s)4.5.1系统函数的定义4.5.2系统函数的求解方法返回首页4.5系统函数H(s)4.5.1系统函数的定义返回首1374.5.1

系统函数的定义4.5.1系统函数的定义1384.5.2

系统函数的求解方法4.5.2系统函数的求解方法139（a）时域电路模型

（b）s域电路模型图4-16例4-23图返回本节（a）时域电路模型1404.6系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系4.6.1系统函数的零、极点与零、极点图4.6.2系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系返回首页4.6系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系4.6.1414.6.1

系统函数的零、极点与零、极点图LTI连续系统的系统函数h(s)通常是复变量的有理分式，即：

4.6.1系统函数的零、极点与零、极点图LTI连续系统的142例如某系统的系统函数为：4.6.1

系统函数的零、极点与零、极点图例如某系统的系统函数为：4.6.1系统函数的零、极点与零143图4-17h(s)的零、极点分布图返回本节图4-17h(s)的零、极点分布图返回本节1444.6.2

系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系1．左半平面极点2．虚轴上极点3．右半平面极点4.6.2系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系1．145图4-18h(s)零、极点分布与时域响应特性的关系返回本节图4-18h(s)零、极点分布与时域响应特性的关系返回本146

4.7系统的稳定性4.7.1稳定系统的定义4.7.2系统稳定的条件返回首页4.7系统的稳定性4.7.1稳定系统的定义返回首页1474.7.1稳定系统的定义一个连续系统，如果对于任意有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统。即对于一个稳定系统，若输入信号：则输出响应：返回本节4.7.1稳定系统的定义一个连续系统，如果对于任意有界输1484.7.2系统稳定的条件1．时域的稳定条件

2．频域的稳定条件

4.7.2系统稳定的条件1．时域的稳定条件1491．时域的稳定条件

设连续时间系统的输入信号x(t)满足|x(t)|≤Mx，则系统的零状态响应：或写成：1．时域的稳定条件设连续时间系统的输入信号x(t)满足|x1502．频域的稳定条件

（1）稳定系统

（2）不稳定系统

（3）临界稳定系统

2．频域的稳定条件（1）稳定系统151（a）时域电路模型

（b）域电路模型图4-19例4-24图（a