高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件

第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.高考定位利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三真题感悟

1.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(

)A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1解析f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x<－2或x>1时，f′(x)>0，当－2<x<1时，f′(x)<0，则f(x)极小值为f(1)＝－1.答案A真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f答案y＝x＋1答案y＝x＋13.(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围.3.(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件考

点

整

合1.导数的几何意义

函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

易错提醒

求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.考点整合1.导数的几何意义2.四个易误导数公式2.四个易误导数公式3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(热点一导数的几何意义【例1】(1)(2017·鹰潭一模)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.热点一导数的几何意义解析(1)∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2，9).(2)因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2.所以f(x)在点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案(1)(－2，9)

(2)2x－y＝0解析(1)∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，答案探究提高1.(1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化，其中关键是求出切点的坐标.(2)以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解.2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.探究提高1.(1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件答案(1)A

(2)1答案(1)A(2)1高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件探究提高

1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.2.解答本例容易出现以下错误：(1)忽略函数的定义域，在函数解析式中含有对数必须满足x>0.(2)对k分类讨论不全，题目中已知k>0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面.探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)【迁移探究1】

若将本例中的条件“k>0”变为“k<0”，其他条件不变，f(x)在(0，2)上的单调性如何？【迁移探究1】若将本例中的条件“k>0”变为“k<0”，其【迁移探究2】

在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，＋∞)，其他条件不变，求函数f(x)的单调区间.【迁移探究2】在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，＋高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件探究提高1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.探究提高1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f【训练2】

已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数). (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围；【训练2】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件解(1)∵f(x)＝ex·cosx－x，∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，∴f′(0)＝0，∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1.解(1)∵f(x)＝ex·cosx－x，∴f(0)＝1，高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件命题角度2与函数极值点个数有关问题【例3－2】

(2017·衡水中学月考)已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值.命题角度2与函数极值点个数有关问题高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件探究提高1.求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右附近函数值的符号.2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解.3.求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.探究提高1.求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间[a，b]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；也有逆向思维——已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.高考定位利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三真题感悟

1.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(

)A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1解析f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x<－2或x>1时，f′(x)>0，当－2<x<1时，f′(x)<0，则f(x)极小值为f(1)＝－1.答案A真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f答案y＝x＋1答案y＝x＋13.(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围.3.(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件考

点

整

合1.导数的几何意义

函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

易错提醒

求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.考点整合1.导数的几何意义2.四个易误导数公式2.四个易误导数公式3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(热点一导数的几何意义【例1】(1)(2017·鹰潭一模)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.热点一导数的几何意义解析(1)∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2，9).(2)因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2.所以f(x)在点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案(1)(－2，9)

(2)2x－y＝0解析(1)∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，答案探究提高1.(1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化，其中关键是求出切点的坐标.(2)以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解.2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.探究提高1.(1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件答案(1)A

(2)1答案(1)A(2)1高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件探究提高

1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.2.解答本例容易出现以下错误：(1)忽略函数的定义域，在函数解析式中含有对数必须满足x>0.(2)对k分类讨论不全，题目中已知k>0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面.探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)【迁移探究1】

若将本例中的条件“k>0”变为“k<0”，其他条件不变，f(x)在(0，2)上的单调性如何？【迁移探究1】若将本例中的条件“k>0”变为“k<0”，其【迁移探究2】

在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，＋∞)，其他条件不变，求函数f(x)的单调区间.【迁移探究2】在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，＋高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件探究提高1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.探究提高1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f【训练2】

已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数). (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围；【训练2】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件解(1)∵f(x)＝ex·cosx－x，∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，∴f′(0)＝0，∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1.解(1)∵f(x)＝ex·cosx－x，∴f(0)＝1，高中-高考文科数学专项复习-函数与导数、不等式-导数与函数的单调性、极值、最值问题课件命题角度2与函数极值点个数有关问题【例3－2】

(2017·衡水中学月考)已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值.