最新人教版高中数学选修定积分在物理中的应用课件

第五节三、功与平均功率一、液体静压力二、引力定积分在物理学上的应用

第十章第五节三、功与平均功率一、液体静压力二、引力定积分在物面积为A的平板一.液体静压力设液体密度为深为h

处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受静压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••面积为A的平板一.液体静压力设液体密度为深为h小窄条上各点的压强例1.

的液体,

求桶的一个端面所受的静压力.解:

建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,静压力元素端面所受静压力为方程为一水平横放的半径为R

的圆桶,内盛半桶密度为小窄条上各点的压强例1.的液体,求桶的一个端面所受说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受二.引力质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.二.引力质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:例2.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a

单位处有一质量为

m

的质点

M,该棒对质点的引力.解:

建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算例2.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质说明:2)

若考虑质点克服引力沿y

轴从a

处1)

当细棒很长时,可视

l

为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b

(a<b)处时克服引力作的功,则有说明:2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细引力大小为注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,引力大小为注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,三.功与平均功率设物体在连续变力

F(x)作用下沿x

轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为三.功与平均功率设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴例3.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点r

时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明:位正电荷沿直线从距离点电荷

a

处移动到b处(a<b),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,例3.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点例4.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a

处移动到点b

处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强

p

与体积V

成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S

的圆柱形容器中盛有一定量的气例4.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容例5.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ

)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,例5.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立例6.求在一个周期解:在纯电阻电路中，已知交流电压为内消耗在电阻R上的能量W，并求与之相当的直流电压.在直流电压下，功率那么在时间内所作的功为现在V为交流电压，瞬时功率为例6.求在一个周期解:在纯电阻电路中，已知交流电压为内消耗在于是功的微元为故平均功率为即交流电压在一个周期上的平均功率与直流电压的功率是相当的.于是功的微元为故平均功率为即交流电压在一个周期上的平均功率与(99考研)思考与练习提示:

作x轴如图.1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s

的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x

提升dx

所作的功为米重50N,(99考研)思考与练习提示:作x轴如图.1.为清除井底提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至x

处所需时间:克服抓斗自重:提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重4002.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:

如图.在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.2.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为作业P2591.;3.;7.;10.作业P2591.;3.;7.;10故所求旋转体体积为3.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:

曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则故所求旋转体体积为3.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积4.

半径为R,密度为的球沉入深为H(H>2R)的水池底,

水的密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度4.半径为R,密度为的球沉入深为H(H>2因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”5.

设有半径为R

的半球形容器如图.(1)以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0<h<R)时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?

解:

过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过t

秒容器内水深为h,5.设有半径为R的半球形容器如图.(1)以每秒a(1)求由题设,经过t

秒后容器内的水量为而高为

h

的球缺的体积为半球可看作半圆绕y

轴旋转而成体积元素:故有两边对t

求导,得at

(升)

,(1)求由题设,经过t秒后容器内的水量为而高为h(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于微元体积:微元的重力:薄层所需的功元素故所求功为到池沿高度所需的功.(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于微元体第五节三、功与平均功率一、液体静压力二、引力定积分在物理学上的应用

第十章第五节三、功与平均功率一、液体静压力二、引力定积分在物面积为A的平板一.液体静压力设液体密度为深为h

处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受静压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••面积为A的平板一.液体静压力设液体密度为深为h小窄条上各点的压强例1.

的液体,

求桶的一个端面所受的静压力.解:

建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,静压力元素端面所受静压力为方程为一水平横放的半径为R

的圆桶,内盛半桶密度为小窄条上各点的压强例1.的液体,求桶的一个端面所受说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受二.引力质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.二.引力质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:例2.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a

单位处有一质量为

m

的质点

M,该棒对质点的引力.解:

建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算例2.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质说明:2)

若考虑质点克服引力沿y

轴从a

处1)

当细棒很长时,可视

l

为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b

(a<b)处时克服引力作的功,则有说明:2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细引力大小为注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,引力大小为注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,三.功与平均功率设物体在连续变力

F(x)作用下沿x

轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为三.功与平均功率设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴例3.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点r

时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明:位正电荷沿直线从距离点电荷

a

处移动到b处(a<b),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,例3.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点例4.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a

处移动到点b

处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强

p

与体积V

成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S

的圆柱形容器中盛有一定量的气例4.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容例5.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ

)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,例5.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立例6.求在一个周期解:在纯电阻电路中，已知交流电压为内消耗在电阻R上的能量W，并求与之相当的直流电压.在直流电压下，功率那么在时间内所作的功为现在V为交流电压，瞬时功率为例6.求在一个周期解:在纯电阻电路中，已知交流电压为内消耗在于是功的微元为故平均功率为即交流电压在一个周期上的平均功率与直流电压的功率是相当的.于是功的微元为故平均功率为即交流电压在一个周期上的平均功率与(99考研)思考与练习提示:

作x轴如图.1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s

的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x

提升dx

所作的功为米重50N,(99考研)思考与练习提示:作x轴如图.1.为清除井底提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至x

处所需时间:克服抓斗自重:提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重4002.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:

如图.在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.2.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为作业P2591.;3.;7.;10.作业P2591.;3.;7.;10故所求旋转体体积为3.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:

曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则故所求旋转体体积为3.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积4