2020版北师大版高中数学选修2-1课件：充分条件与必要条件-充分条件与判定定理-123

§2充分条件与必要条件2.1充分条件与必要条件2.2充分条件与判定定理2.3必要条件与性质定理§2充分条件与必要条件2020版北师大版高中数学选修2-1课件：充分条件与必要条件--充分条件与判定定理-1231.充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件【思考】“若p,则q”与“p⇒q”是一样的吗?提示:不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”,即“p⇒q”⇔“若p,则q”为真命题.【思考】2.判定定理与充分条件,性质定理与必要条件(1)判定定理给出了结论成立的充分条件.(2)性质定理给出了结论成立的必要条件.2.判定定理与充分条件,性质定理与必要条件【思考】如何理解“充分”以及“必要”的含义?提示:①说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有它即可”,它符合上述的“若p,则q”为真的形式.②必要就是必须,必不可少,“无它不可”,它满足上述的“若¬p,则¬q”为真的形式.【思考】【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件. (

)(2)“x>5”是“x>3”的必要条件. (

)(3)“a=2”是“a2=4”的充分条件 (

)(4)p:a=0或b=0,q:a·b=0.则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (

)【素养小测】提示:(1)√.由充分、必要条件的定义判断.(2)×.“x>5”是“x>3”的充分条件,不是必要条件.(3)√.“若a=2,则a2=4”是真命题.(4)√.“若p,则q”是真命题.提示:(1)√.由充分、必要条件的定义判断.2.“a<0,b<0”的一个必要条件为 (

)A.a+b<0 B.a-b>0 C.D.【解析】选A.若a<0,b<0,则一定有a+b<0.2.“a<0,b<0”的一个必要条件为 ()3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的________条件.

【解析】a=3时A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B时a=2或3.所以a=3是A⊆B的充分不必要条件.答案:充分不必要3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”类型一充分条件、必要条件【典例】指出下列命题中,p是q的什么条件?(1)p:x2=2x+1,q:;(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(3)p:x=1或x=2,q:;(4)p:sinα>sinβ,q:α>β.类型一充分条件、必要条件【思维·引】判断命题“若p,则q”的真假,由充分、必要条件的定义判断.【思维·引】【解析】(1)因为x2=2x+1,x=⇒x2=2x+1,所以p是q的必要不充分条件.(2)因为a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,a+b=0a2+b2=0,所以p是q的充分不必要条件.【解析】(1)因为x2=2x+1,(3)因为当x=1或x=2时,可得x-1=成立,反过来,当x-1=成立时,可以推出x=1或x=2,所以p既是q的充分条件,也是q的必要条件.(4)由sinα>sinβ不能推出α>β,反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ,所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.(3)因为当x=1或x=2时,可得x-1=成立,反【内化·悟】充分、必要条件的判断看什么?提示:看命题“若p,则q”的真假.命题为真:则p是q的充分条件,q是p的必要条件;命题为假,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.反之亦然.【内化·悟】【类题·通】充分条件、必要条件判断的定义法(1)分清命题的条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论.【类题·通】(2)找推式:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假(也可判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假,不好判断时可根据等价命题的真假性相同作答).(3)根据推式及条件得出结论.(2)找推式:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假(也可判断命题【习练·破】1.用“充分条件”或“必要条件”填空.(1)四边形的对角线相等是四边形为矩形的________.

(2)a>5是a为正数的________.

【习练·破】【解析】(1)矩形的对角线相等,故四边形的对角线相等是四边形为矩形的必要条件.(2)“若a>5,则a是正数”是真命题,故a>5是a为正数的充分条件.答案:(1)必要条件(2)充分条件【解析】(1)矩形的对角线相等,故四边形的对角线相等是四边形2.填空(写出一个满足条件即可)(1)“ab=0”的一个充分条件是________.

(2)“x<3”的一个必要条件是________.

2.填空(写出一个满足条件即可)【解析】(1)“a=0”或“b=0”都能得到“ab=0”,故可填“a=0”,“b=0”,“a=0且b=0”等.(2)“x<3”可以得到“x<4”,“x<8”等.答案:(1)a=0

(2)x<4(答案不唯一)【解析】(1)“a=0”或“b=0”都能得到“ab=0”,故【加练·固】判断下列说法是否正确,如果不正确,分析错误的原因.(1)x2=x+2是的充分条件.(2)x2=x+2是的必要条件.【加练·固】【解析】(1)x2=x+2⇔x=,x=⇔x2=,故x2=x+2=x2.故说法错误.(2)=x2⇔x=0或x=(其中x为正数),故=x2x2=x+2.故说法错误.【解析】(1)x2=x+2⇔x=,类型二充分、必要条件与集合的关系【典例】已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 世纪金榜导学号类型二充分、必要条件与集合的关系【思维·引】求出集合P,根据S⊆P,列方程组求解.【思维·引】求出集合P,根据S⊆P,列方程组求解.【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.则【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,解得0≤m≤3.所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].解得0≤m≤3.【内化·悟】充分、必要条件与集合之间具有什么关系?提示:设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.若A⊆B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p⇒q.类似地,B⊆A与q⇒p等价.【内化·悟】【类题·通】利用集合的关系判断充分必要条件(1)设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p⇒q可得A⊆B;q⇒p可得B⊆A;p⇔q可得A=B,若p是q的充分不必要条件,则A

B.【类题·通】(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系,要注意范围的端点值.提醒:注意充分条件与子集、充分不必要条件与真子集之间的区别和联系.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集【习练·破】已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若M是N的充分条件,则a的取值范围为________.

【习练·破】【解析】由(x-a)2<1得,-1<x-a<1,所以a-1<x<a+1.又由x2-5x-24<0得,-3<x<8.因为M是N的充分条件,所以M⊆N,所以解得-2≤a≤7,故a的取值范围是-2≤a≤7.答案：[-2,7]【解析】由(x-a)2<1得,-1<x-a<1,【加练·固】1.已知全集U=R,集合A={x|x2-5x+6<0},B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}.(1)当a=时,求(UB)∩A.(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.【加练·固】【解析】(1)A={x|2<x<3}.当a=时,B= ,所以UB= .所以(UB)∩A= .【解析】(1)A={x|2<x<3}.(2)由p是q的充分条件,知p⇒q,则A⊆B,又因为a2+2>a,所以B={x|a<x<a2+2}.所以所以a≤-1或1≤a≤2.故a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,2].(2)由p是q的充分条件,知p⇒q,则A⊆B,2.是否存在实数m,使得“2x+m<0”是“x2-2x+3>0”的充分条件?必要条件?2.是否存在实数m,使得“2x+m<0”是“x2-2x+3>【解析】设A={x|2x+m<0},则A=,设B={x|x2-2x+3>0},则B=R,若为充分条件,则A⊆B,故实数m可取任意值;若为必要条件,则B⊆A,不存在这样的实数m.【解析】设A={x|2x+m<0},则A=,类型三充分、必要条件的应用【典例】设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,q:实数x满足 若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.世纪金榜导学号类型三充分、必要条件的应用【思维·引】确定命题p,q对应的集合A,B⇒根据p是q的必要不充分条件得出A,B两集合的关系B

A⇒利用集合关系求参数的取值范围.【思维·引】确定命题p,q对应的集合A,B⇒根据p是q【解析】p是q的必要不充分条件,即pq,q⇒p,设A={x|p(x)}={x|x2-4ax+3a2<0,a>0}={x|a<x<3a}.B={x|q(x)}=={x|2<x≤3}.则BA,即所以1<a<2.又因为a=2时也满足BA.所以1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2].【解析】p是q的必要不充分条件,即pq,q⇒p,【素养·探】

充分、必要条件求参的过程中,渗透着逻辑推理这种核心素养.通过对条件的分析,探索解答的思路,选择合适的方法求解参数的范围.若把典例中条件改为“若p是q的充分不必要条件”,则结论如何?【素养·探】【解析】p是q的充分不必要条件,即p⇒q且qp,设A={x|x2-4ax+3a2<0,a>0}={x|a<x<3a},B=⇒{x|2<x≤3}.则AB,即解集为∅,即不存在实数a使p是q的充分不必要条件.【解析】p是q的充分不必要条件,即p⇒q且qp,【类题·通】充分必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,尤其是求满足某种条件下的参数的取值范围问题.【类题·通】(2)方法:首先应把p与q之间的关系转化为p,q确定的集合之间的包含关系,然后,构建满足条件的不等式(组)求解.同时要注意命题的等价性的应用.提醒:在求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的验证,不等式中的等号是否能够取得,决定着端点的取值.(2)方法:首先应把p与q之间的关系转化为p,q确定的集【习练·破】已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0,如果p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是________.

【习练·破】【解析】由q:(x+1)(2-x)<0,得x<-1或x>2,又p是q的充分不必要条件,所以k>2,即实数k的取值范围是(2,+∞).答案:(2,+∞)【解析】由q:(x+1)(2-x)<0,得x<-1或x>2,【加练·固】

已知p:-x2+6x+16≥0,q:x2-4x+4-m2≤0(m>0).(1)若p为真命题,求实数x的取值范围.(2)若p是q成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.【加练·固】【解析】(1)由-x2+6x+16≥0,解得-2≤x≤8;所以当p为真命题时,x的取值范围为-2≤x≤8.(2)方法一:若q为真,可由x2-4x+4-m2≤0(m>0),解得2-m≤x≤2+m(m>0).若p是q成立的充分不必要条件,则[-2,8]是[2-m,2+m]的真子集,【解析】(1)由-x2+6x+16≥0,解得-2≤x≤8;所所以(两等号不同时成立),得m≥6,所以实数m的取值范围是m≥6.所以(两等号不同时成立),得m≥6,所以实数方法二:设f(x)=x2-4x+4-m2(m>0),若p是q成立的充分不必要条件,则有(两等号不同时成立),解得m≥6.所以实数m的取值范围是m≥6.方法二:设f(x)=x2-4x+4-m2(m>0),若p是q§2充分条件与必要条件2.1充分条件与必要条件2.2充分条件与判定定理2.3必要条件与性质定理§2充分条件与必要条件2020版北师大版高中数学选修2-1课件：充分条件与必要条件--充分条件与判定定理-1231.充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件【思考】“若p,则q”与“p⇒q”是一样的吗?提示:不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”,即“p⇒q”⇔“若p,则q”为真命题.【思考】2.判定定理与充分条件,性质定理与必要条件(1)判定定理给出了结论成立的充分条件.(2)性质定理给出了结论成立的必要条件.2.判定定理与充分条件,性质定理与必要条件【思考】如何理解“充分”以及“必要”的含义?提示:①说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有它即可”,它符合上述的“若p,则q”为真的形式.②必要就是必须,必不可少,“无它不可”,它满足上述的“若¬p,则¬q”为真的形式.【思考】【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件. (

)(2)“x>5”是“x>3”的必要条件. (

)(3)“a=2”是“a2=4”的充分条件 (

)(4)p:a=0或b=0,q:a·b=0.则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (

)【素养小测】提示:(1)√.由充分、必要条件的定义判断.(2)×.“x>5”是“x>3”的充分条件,不是必要条件.(3)√.“若a=2,则a2=4”是真命题.(4)√.“若p,则q”是真命题.提示:(1)√.由充分、必要条件的定义判断.2.“a<0,b<0”的一个必要条件为 (

)A.a+b<0 B.a-b>0 C.D.【解析】选A.若a<0,b<0,则一定有a+b<0.2.“a<0,b<0”的一个必要条件为 ()3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的________条件.

【解析】a=3时A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B时a=2或3.所以a=3是A⊆B的充分不必要条件.答案:充分不必要3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”类型一充分条件、必要条件【典例】指出下列命题中,p是q的什么条件?(1)p:x2=2x+1,q:;(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(3)p:x=1或x=2,q:;(4)p:sinα>sinβ,q:α>β.类型一充分条件、必要条件【思维·引】判断命题“若p,则q”的真假,由充分、必要条件的定义判断.【思维·引】【解析】(1)因为x2=2x+1,x=⇒x2=2x+1,所以p是q的必要不充分条件.(2)因为a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,a+b=0a2+b2=0,所以p是q的充分不必要条件.【解析】(1)因为x2=2x+1,(3)因为当x=1或x=2时,可得x-1=成立,反过来,当x-1=成立时,可以推出x=1或x=2,所以p既是q的充分条件,也是q的必要条件.(4)由sinα>sinβ不能推出α>β,反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ,所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.(3)因为当x=1或x=2时,可得x-1=成立,反【内化·悟】充分、必要条件的判断看什么?提示:看命题“若p,则q”的真假.命题为真:则p是q的充分条件,q是p的必要条件;命题为假,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.反之亦然.【内化·悟】【类题·通】充分条件、必要条件判断的定义法(1)分清命题的条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论.【类题·通】(2)找推式:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假(也可判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假,不好判断时可根据等价命题的真假性相同作答).(3)根据推式及条件得出结论.(2)找推式:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假(也可判断命题【习练·破】1.用“充分条件”或“必要条件”填空.(1)四边形的对角线相等是四边形为矩形的________.

(2)a>5是a为正数的________.

【习练·破】【解析】(1)矩形的对角线相等,故四边形的对角线相等是四边形为矩形的必要条件.(2)“若a>5,则a是正数”是真命题,故a>5是a为正数的充分条件.答案:(1)必要条件(2)充分条件【解析】(1)矩形的对角线相等,故四边形的对角线相等是四边形2.填空(写出一个满足条件即可)(1)“ab=0”的一个充分条件是________.

(2)“x<3”的一个必要条件是________.

2.填空(写出一个满足条件即可)【解析】(1)“a=0”或“b=0”都能得到“ab=0”,故可填“a=0”,“b=0”,“a=0且b=0”等.(2)“x<3”可以得到“x<4”,“x<8”等.答案:(1)a=0

(2)x<4(答案不唯一)【解析】(1)“a=0”或“b=0”都能得到“ab=0”,故【加练·固】判断下列说法是否正确,如果不正确,分析错误的原因.(1)x2=x+2是的充分条件.(2)x2=x+2是的必要条件.【加练·固】【解析】(1)x2=x+2⇔x=,x=⇔x2=,故x2=x+2=x2.故说法错误.(2)=x2⇔x=0或x=(其中x为正数),故=x2x2=x+2.故说法错误.【解析】(1)x2=x+2⇔x=,类型二充分、必要条件与集合的关系【典例】已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 世纪金榜导学号类型二充分、必要条件与集合的关系【思维·引】求出集合P,根据S⊆P,列方程组求解.【思维·引】求出集合P,根据S⊆P,列方程组求解.【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.则【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,解得0≤m≤3.所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].解得0≤m≤3.【内化·悟】充分、必要条件与集合之间具有什么关系?提示:设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.若A⊆B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p⇒q.类似地,B⊆A与q⇒p等价.【内化·悟】【类题·通】利用集合的关系判断充分必要条件(1)设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p⇒q可得A⊆B;q⇒p可得B⊆A;p⇔q可得A=B,若p是q的充分不必要条件,则A

B.【类题·通】(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系,要注意范围的端点值.提醒:注意充分条件与子集、充分不必要条件与真子集之间的区别和联系.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集【习练·破】已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若M是N的充分条件,则a的取值范围为________.

【习练·破】【解析】由(x-a)2<1得,-1<x-a<1,所以a-1<x<a+1.又由x2-5x-24<0得,-3<x<8.因为M是N的充分条件,所以M⊆N,所以解得-2≤a≤7,故a的取值范围是-2≤a≤7.答案：[-2,7]【解析】由(x-a)2<1得,-1<x-a<1,【加练·固】1.已知全集U=R,集合A={x|x2-5x+6<0},B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}.(1)当a=时,求(UB)∩A.(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.【加练·固】【解析】(1)A={x|2<x<3}.当a=时,B= ,所以UB= .所以(UB)∩A= .【解析】(1)A={x|2<x<3}.(2)由p是q的充分条件,知p⇒q,则A⊆B,又因为a2+2>a,所以B={x|a<x<a2+2}.所以所以a≤-1或1≤a≤2.故a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,2].(2)由p是q的充分条件,知p⇒q,则A⊆B,2.是否存在实数m,使得“2x+m<0”是“x2-2x+3>0”的充分条件?必要条件?2.是否存在实数m,使得“2x+m<0”是“x2-2x+3>【解析】设A={x|2x+m<0},则A=,设B={x|x2-2x+3>0},则B=R,若为充分条件,则A⊆B,故实数m可取任意值;若为必要条件,则B⊆A,不存在这样的实数m.【解析】设A={x|2x+m<0},则A=,类型三充分、必要条件的应用【典例】设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,q:实数x满足 若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.世纪金榜导学号类型三充分、必要条件的应用【思维·引】确定命题p,q对应的集合A,B⇒根据p是q的必要不充分条件得出A,B两集合的关系B

A⇒利用集合关系求参数的取值范围.【思维·引】确定命题p,q对应的集合A,B⇒根据p是q【解析】p是q的必要不充分条件,即pq,q⇒p,设A={x|p(x)}={x|x2-4ax+3a2<0,a>0}={x|a<x<3a}.B={x|q(x)}=={x|2<x≤3}.则BA,即所以1<a<2.又因为a=2时也满足BA.所以1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2].【解析】p是q的必要不充分条件,即pq,q⇒p,【素养·探】

充分、必要条件求参的过程中,渗透着逻辑推理这种核心素养