线性代数-第二章对于行数和列数较高矩阵为了

一、矩阵的对于行数和列A，为运算化成小矩阵的运体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 Aa a

B1100 a00b0111bB2B B 30 0 A

0

1a0100b100b1A

C2C 4a a

0 A

0

1 C b 0A

0

O

其中A

1

B

b 0 A

0

A其中A0 1

b 1二、分块矩阵的运1A与B的行数相同相同的分块法有

列数相采 B1rA

, B s sr

s

sr其中AijBij的行

列数相同那AB

As

s

B1r.

A1r2设A

为数那AA

AsrA

sr

A44

1 2 322A3 2 124 5 62 6 28 83设A为ml矩阵B为ln矩阵分块

A1t B1r, , A

B ABAB s

Ast t B 其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别等于B1jB2j,,的行数

1rAB CC s

Csr

k

Bkj

i1,,s;j1,,r

A1r

s14设A

则

⁝

T

AT sr

sr5设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 块都为零矩阵,且非零子块是方阵. O OA

,, AsA

,,AsAii1,2,s都是那末称A为分块对角矩阵.分块对角矩阵的行列式具有下述性质AA1A2As , , As若

0i1,2,s,

0,并有

o A

ss 0 0

A2 0

0

11 0 0

例

00102110A001021100 1

1 0解把AB分块成110000 A0

100

E O,

0

EA A 1 10011001004202B21 O EAB E

B22 A1B11

A1B22AB

.A1B11

A1B22又A

2

0 0

1 2 4 0 4,

1 2

A

1

1 0 1于 AB

A1B11

A1B22 0 13 3 1 0例 设A

01 1 b 0B

0 0求A

b 将A,B分

1A0

0

a

1 A 其

2

A

1b

0

0

aB0

0 其 2

B 0

bA

0 0 A2 A1 A2B2AB

1

0

a a

A

1 0 1

b b

A

0 0 A2 A1 A2B2 0 0 1 2b

0

0 A2 B2 A2

0

A2B2A2AB

2a21

a3aAB

2b21

0 0 0 A2 B2 A1B1 a3 2a2

a3 2b 0 b32b 0 b32b 0AA例 1

A1 012 012 0 A

1 012 2012 1

A

A1

5

A 1A 5

;A;;A; O

3 A1

A100

001. 3 例：AmnOmn的充分必要条件是方阵ATAOnn．证明：A按列分块A(aij)mn1,2,,n

T2 T2

nATA

2,,,

n⁝

T

n那

a1j

n

a ,a ,,

2j

2

2

2 1 2

⁝ 1 2 1 2 1 2

a a mj

线性方程组的几种a11x1a12x2a1n x x x2利用矩阵乘系数矩阵按列分成n三、分块矩阵之间的运分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质加数乘

数k乘矩阵A,需k乘A的每个子若A与B相乘,需A的列的划分与B转

AT

1r

T

A

AT sr

sr分块对角阵的行列A

AA1A2AsAsA

AsAAi可逆i1,2,sA1diagA1,A1,,A1 设A D,其中B和C都 C证明A可逆,并求A1思考 由B,C可逆,有ABC