北师大版九年级上册数学课件(第4章-图形的相似)

第四章图形的相似4.1成比例线段第四章图形的相似4.1成比例线段1课堂讲解两条线段的比成比例线段比例的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解两条线段的比2课时流程逐点课堂小结作业提升在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片.在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片.1知识点两条线段的比你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？知1－导1知识点两条线段的比你能在下面这些图形中找形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.知1－导形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的知知1－讲1.两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成.其中线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．知1－讲1.两条线段的比：知1－讲2.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，

AB=5cm，A′B′=3cm，AB:A′B′=5:3，就是线段

AB与A′B′的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.

知1－讲2.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′2知识点成比例线段知2－导做一做如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB,AD,EF,EH的长度分别是多少？分别计算的值，你发现了什么？

2知识点成比例线段知2－导做一做知识点知2－讲

1.四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

2.要点精析：

(1)成比例线段是有顺序的，如果说a，b，c，d是成比例线段，那么得到的比例式是其中a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项．

(2)特殊比例线段，如果b＝c，即a∶b＝b∶d，那么b

叫做a，d的比例中项．

知识点知2－讲1.四条线段a，b，c，d，如果a与b的比知识点知2－讲例1下列各组不同长度的线段是成比例线段的是(

)A．3cm,6cm,7cm，9cm

B．2cm,5cm,0.6dm,8cmC．3cm,9cm,1.8dm,6cmD．1cm,2cm,3cm,4cm

C知识点知2－讲例1下列各组不同长度的线段是成比例线段的知识点知2－讲根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析．A.故不是成比例线段；B．0.6dm＝6cm，故不是成比例线段；C．1.8dm＝18cm，从小到大排序为3cm，6cm，

9cm，18cm，故是成比例线段；D.故不是成比例线段．

导引：知识点知2－讲根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析．知识点知2－讲(1)在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同，若长度单位不同，应先统一单位再判断；(2)在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段按长短顺序排列起来，若两条较短线段的长度的比等于两条较长的线段的比，则是成比例线段，否则不是．

归纳知识点知2－讲(1)在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同1下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是(

)A．1，2，3，4B．1，2，2，4C．3，5，9，13D．1，2，2，3已知三个数1，2，，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是________．知2－练

2B1下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的知2－练2B知3－导3知识点比例的性质议一议如果a,b,c,d四个数成比例，即那么ad=bc吗？反过来，如果ad=bc，那么a,b,c,d四个数成比例吗？与同伴交流.

知3－导3知识点比例的性质议一议知3－讲1.比例的基本性质：如果那么ad=bc.

如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么2.易错警示：在运用比例的基本性质时，由比例式得等积式是唯一的，而由等积式得比例式是不唯一的，只要写出的比例式的两内项之积等于两外项之积且与原等积式相同即可．知3－讲1.比例的基本性质：知3－讲例2如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即那么a

的值应当是多少？

知3－讲例2如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=知3－讲解：根据题意可知，AB=am，AE=am，AD=1m.

由得即a2=1.∴a2=3.

开平方，得a=(a=－舍去).

知3－讲解：根据题意可知，AB=am，AE=am21(东营)若的值为(

)A．1B.C.D.如果(

)A.B.C.D.知3－练

DA21(东营)若1.成比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，

c，d叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例的性质:

比例的基本性质：

(1)如果那么ad=bc.(2)如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么1.成比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比4.2平行线分线段成比例第1课时平行线分线段成比例

第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例第1课时平行线分线段成比例1课堂讲解平行线分线段成比例的基本事实平行于三角形一边的直线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解平行线分线段成比例的基本事实2课时流程逐点课堂小结在图中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于格点A1，A2,A3,B1，B2,B3.在图中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3,(1)计算的值，你有什么发现？(2)将l2向下平移到如图的位置，直线m,n与l2的交点分别为A2，

B2，你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？(3)在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？(1)计算1知识点平行线分线段成比例的基本事实1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．数学表达式：如图，∵l3∥l4∥l5，∴可简记为：∴知1－讲1知识点平行线分线段成比例的基本事实1.平行线分线段成比例2.要点精析：

(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；

(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；

(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等．知1－讲2.要点精析：知1－讲知1－讲例1如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是(

)C

知1－讲例1如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点知1－讲平行线分线段成比例的基本事实除基本图形外，主要还有“A”型和“X”型两种类型的图形，图包含这三种图形，从每种图形中找出比例线段即可判断出错误的选项．∵AB∥CD∥EF，∴故选项A，B，D正确；∵CD∥EF，∴故选项C错误．

导引：知1－讲平行线分线段成比例的基本事实除基本图形外，主要还有“1(眉山)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(

)A．4B．5C．6D．8知1－练

C1(眉山)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行2知识点平行于三角形一边的直线的性质知2－导做一做如左图，直线a∥b∥c,分别交直线m，n于点A1，A2，A3，B1，B2，B3，过点A1作直线n的平行线，分别交直线b,c于点C2，C3(如右图）.右图中有哪些成比例线段？2知识点平行于三角形一边的直线的性质知2－导做一做知识点知2－讲1．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．数学表达式：如图，∵DE∥BC，∴2.要点精析：

(1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形一顶点，一条过三角形一边的一种特殊情况．

(2)成比例线段不涉及平行线所过的边上的线段．知识点知2－讲1．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交知识点知2－讲如图，在△ABC中，E,F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.(1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？例2知识点知2－讲如图，在△ABC中，E,F分别是AB和AC上的知2－讲解:(1)∵EF∥BC,∴∵AE=7，EB=5，FC=4，∴AF=(2)∵EF∥BC,∴∵AB=10，AE=6，AF=5，∴AC=∴FC=AC－AF=

知2－讲解:(1)∵EF∥BC,∴知2－讲归纳利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长．（此讲解来源于《》）知2－讲归纳利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的1(河南)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC.若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝________.知2－练

1(河南)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线段成比例的基本思路是：(1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“型”或“型”，得到相应的比例式；(2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线．平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线4.2平行线分线段成比例第2课时平行线分线段成比例的应用第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例第四章图形的相似1．(中考•上海)如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB.(1)求证：；1类型证比例式技巧1中间比代换法证比例式1．(中考•上海)如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是证明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB为平行四边形．∴DE＝BF.∵DE∥BC，∴∵EF∥AB，∴又∵DE＝BF，∴∴证明：∵DE∥BC，EF∥AB，(2)若AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB.解：∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.返回(2)若AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB.解：∵AD∶DB＝2．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过点D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P.求证：技巧2等积代换法证比例式2．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是△ABC内一点返回证明：∵DE∥BC，∴∴PD·PC＝PE·PB.∵DF∥AC，∴∴PD·PC＝PF·PA.∴PE·PB＝PF·PA.∴返回证明：∵DE∥BC，∴3．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于O，交AD于F.求证：BO2＝OF·OE.技巧3等比代换法证比例式3．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交返回证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∴∴即BO2＝OF·OE.返回证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥4．(中考·滨州)如图，已知B，C，E三点在同一条直技巧4平行法证比例式线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：(1)△ACE≌△BCD；4．(中考·滨州)如图，已知B，C，E三点在同一条直技巧4证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS)．证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°＝∠FCE，CD＝CE，∴△GCD≌△FCE(ASA)．∴CG＝CF.∴△CFG为等边三角形．∴∠CFG＝60°＝∠FCE.∴GF∥CE.∴返回(2)∵△ACE≌△BCD，＝∠FCE，CD＝CE，返回5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，2类型证线段相等技巧5等比例过渡法证线段相等点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F.求证：DE＝EF.5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，2类型证明：∵DE∥BC，∴∵点D为AB的中点，∴AD＝DB，即＝1.∵CF∥BA，∴∴DE＝EF.返回证明：∵DE∥BC，∴返回6．如图，已知AC∥FE∥BD.求证：返回证明：∵FE∥AC，∴①.∵FE∥BD，∴②.①＋②，得即6．如图，已知AC∥FE∥BD.求证：返回证明：∵FE∥A第四章图形的相似4.3相似多边形第四章图形的相似4.3相似多边形1课堂讲解相似多边形的定义相似多边形的性质相似比2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解相似多边形的定义2课时流程逐点课堂小结作业提升北师大版九年级上册数学课件(第4章--图形的相似)1知识点相似多边形的定义图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形ABCDEF和投射到银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗？（1）在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测.（2）在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？知1－导1知识点相似多边形的定义图中的两个多边形分别是计算机显示屏上知1－讲1.相似多边形的定义：图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1,∠E与∠E1，∠F与∠F1分别相等，称为对应角；AB与A1B1，

BC与B1C1,CD与C1D1,DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等，称为对应边.知1－讲1.相似多边形的定义：知1－讲2.要点精析：判定相似多边形的条件：(1)所有的角分别相等；(2)所有的边成比例．以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．知1－讲2.要点精析：判定相似多边形的条件：1放大镜中的多边形与原多边形的关系是(

)A．形状不同，大小不同B．形状相同，大小相同C．形状相同，大小不同D．形状不同，大小相同知1－练

B1放大镜中的多边形与原多边形的关系是()知1－练B2(中考·莆田)下列四组图形中，一定相似的是(

)A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形知1－练

D2(中考·莆田)下列四组图形中，一定相似的是()知1－练知2－讲2知识点相似多边形的性质1．相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的度数．知2－讲2知识点相似多边形的性质1．相似多边形的性质：相似多已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k的值；(2)求A′B′和BC的长；(3)求∠D′的大小．

知2－讲例1已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥B(1)相似比就是对应边的比，根据图形可知AD与A′D′

是对应边；(2)由相似多边形的性质可知对应边的比相等，都等于相似比．已知对应边中的一条边的长度就能求出另一条边的长度．(3)根据相似多边形的性质，可知对应角相等，要求∠D′的度数，可求其对应角∠D的度数．

知2－讲导引：(1)相似比就是对应边的比，根据图形可知AD与A′D′知2(1)相似比k＝(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似比k＝∴∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.(3)由题意知，∠D′＝∠D.∵AD∥BC，∠C＝60°，∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.

知2－讲解：(1)相似比k＝知2－讲解：知2－讲

利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住“对应”二字，找准对应边和对应角是解决问题的关键．需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接相等．总结知2－讲利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣总1如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(

)A．87°B．60°C．75°D．120°知2－练

A1如图所示的两个四边形相似，则α的度数是()知2－练A2一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最短边长为6，则另一个四边形的周长是________．知2－练

362一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与知2－练3知2－讲相似比又名相似系数，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.△ABC∽△A'B'C'，若AB:A'B'=k,则相似比为k;△A'B'C'∽△ABC，则相似比为相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;面积的比等于相似比的平方.知2－讲相似比又名相似系数，如果两个边数相知识点知2－讲2.要点精析：

(1)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关；

(2)相似比为1的两个相似多边形为全等多边形．3.想一想

(1)任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？

(2)任意两个菱形相似吗？知识点知2－讲2.要点精析：知识点知2－讲4.做一做一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？知识点知2－讲4.做一做1.相似多边形的定义是判断两个多边形是否相似的依据，即在多边形中，只有“边数相同”“角分别相等”“边成比例”这三个条件同时成立时，才能说明这两个多边形是相似多边形．2．相似比的值与两个多边形的前后顺序有关．3．相似比为1的两个相似多边形是全等多边形．1.相似多边形的定义是判断两个多边形是否相似的第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第1课时利用角的关系判定两三角形相似第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第1课时1课堂讲解相似三角形的定义用角的关系判定两三角形相似定理2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解相似三角形的定义2课时流程逐点课堂小结作业提升复习提问：相似多边形的定义是什么？复习提问：相似多边形的定义是什么？1知识点相似三角形的定义1.相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．数学表达式：如图，在△ABC和△A′B′C′中，

⇔△ABC∽△A′B′C′.知1－讲1知识点相似三角形的定义1.相似三角形的定义：三角分别相等、知1－讲2.要点精析：

(1)判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等，三边成比例；

(2)两个三角形相似又为解题提供了条件；

(3)相似三角形具有传递性，即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″；

(4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．

知1－讲2.要点精析：知1－讲3．易错警示：(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上．(2)求两个相似三角形的相似比，要注意顺序性．若当△ABC∽△A′B′C′时，则当△A′B′C′∽△ABC时，

知1－讲3．易错警示：21下列说法中错误的是(

)A．两个全等三角形一定相似B．两个直角三角形一定相似C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D．相似的两个三角形不一定全等如图，△ABC与△ADE相似，且∠ADE＝∠B，则下列比例式中正确的是(

)知1－练

BD21下列说法中错误的是()知1－练BD2知识点用角的关系判定两三角形相似定理知2－导想一想如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？做一做与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时∠C与∠C′相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.2知识点用角的关系判定两三角形相似定理知2－导想一想知识点知2－讲1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B

＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.2.常见的相似三角形类型：

(1)平行线型：如图①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.(2)相交线型：如图②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.(3)“子母”型：如图③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如图④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝

90°，则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，可以称为“K”型相似．知识点知2－讲1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三知识点知2－讲例1如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，

DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.

解：∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.

知识点知2－讲例1如图，D,E分别是△ABC的边A1如图所示的三个三角形中，相似的是(

)A．(1)和(2)B．(2)和(3)C．(1)和(3)D．(1)和(2)和(3)知2－练

A1如图所示的三个三角形中，相似的是()知2－练A(海南)如图，点P是ABCD边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(

)A．0对B．1对C．2对D．3对知2－练

2D(海南)如图，点P是ABCD边AB上一点，射线知21.相似三角形定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．2.相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.1.相似三角形定义：三角分别相等、三边成比第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第2课时利用边角关系判定两三角形相似第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第2课时1课堂讲解用边角关系判定两三角形相似定理用边角关系判定两三角形相似的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解用边角关系判定两三角形相似定理2课时流程逐点课堂小两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流.小明认为，两边成比例的两个三角形不一定相似.如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？我们先来考虑增加一角相等的情况.相等的角可以是其中一边的对角，也可以是两边的夹角.两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴相等的角可以是1知识点用边角关系判定两三角形相似定理画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小.△ABC和△A′B′C′相似吗？改变k值的大小，再试一试.知1－导1知识点用边角关系判定两三角形相似定理画△ABC与△A′B′知1－讲1.相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，且∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.2.易错警示：运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于判定三角形全等的SAS方法．

知1－讲1.相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的知1－讲例1如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，

AE=1.5，AC=2,BC=3，且求DE的长.知1－讲例1如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上知1－讲∵AE=1.5，AC=2.

又∵∠EAD=∠CAB,∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∵BC=3，∴DE=

解：知1－讲∵AE=1.5，AC=2.解：知1－讲4.想一想如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？小明和小颖分别画出了如图所示的三角形.由此你能得到什么结论？

知1－讲4.想一想1已知△ABC如图所示，则图中与△ABC相似的是(

)知1－练

C1已知△ABC如图所示，则图中与△ABC相似的是()知12知识点用边角关系判定两三角形相似的应用知2－讲例2如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8，在AC上取一点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长．错解：设AE的长为x.∠DAE与∠BAC是公共角，要使△ADE

和△ABC相似，则有，即.

解得x＝6.所以AE的长为6.2知识点用边角关系判定两三角形相似的应用知2－讲例2如图，在知2－讲错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，夹这个角的两边的比必须相等．但两边的对应关系无法确定，所以应分两种情况考虑．设AE的长为x.∠DAE与∠BAC是公共角，要使△ADE和△ABC相似，则有或者，即或者.解得x＝6或x＝1.5.所以AE的长为6或1.5.正解：知2－讲错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，设知2－练

如图，已知，AD＝3cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则DE的长为________cm.4知2－练如图，已知，知2－练

如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为_______________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(不包括全等)．(-1,0)或(1，0)知2－练如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2知2－练

3(贵阳)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为(

)A．P1B．P2C．P3D．P4C知2－练3(贵阳)如图，在方格纸中，△ABC和△E1．“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：虽然它们都表示两个图形相似，但前者对应关系固定，后者对应关系不固定．2．如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不明确时，从对应角入手，相等的角或公共角为对应角，则夹对应角的两边成比例，根据对应分两种情况讨论．1．“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：虽第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第3课时利用三边关系判定两三角形相似第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第3课时1课堂讲解用三边关系判定两三角形相似定理网格中相似三角形的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解用三边关系判定两三角形相似定理2课时流程逐点课堂小复习提问：上几节课我们学习了哪些三角形相似的判定方法？复习提问：知1－导1知识点用三边关系判定两三角形相似定理如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？做一做画△ABC与△A′B′C′，使都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小.△ABC和△A′B′C′相似吗？说说你的理由.改变k值的大小，再试一试.知1－导1知识点用三边关系判定两三角形相似定理如果两个三角形知识点知1－讲1.相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC∽△A′B′C′.2.要点精析：由三边成比例判定两个三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边对应成比例即可．知识点知1－讲1.相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角知识点知1－讲例1如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.解：∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）.∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC—∠DAC=∠DAE—∠DAC，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.

知识点知1－讲例1如图，在△ABC和△ADE中，知1－讲归纳利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似．特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．（此讲解来源于《》）知1－讲归纳利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方1若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与△A′B′C′相似的是(

)A．AB＝2.5cm，BC＝2cm，AC＝3cm；A′B′＝3cm，

B′C′＝4cm，A′C′＝6cmB．AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝4cm；A′B′＝3cm，B′C′

＝6cm，A′C′＝cmC．AB＝10cm，BC＝AC＝8cm；A′B′＝cm，B′C′＝

A′C′＝cmD．AB＝1cm，BC＝cm，AC＝3cm；A′B′＝cm，

B′C′＝2cm，A′C′＝cm知1－练

B1若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与△2知识点网格中相似三角形的判定知2－导议一议如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？2知识点网格中相似三角形的判定知2－导议一议知识点知2－讲例2如图，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举．导引：此题是探索性问题，由相似三角形的判定方法可知△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使这两个三角形相似，只要根据相似三角形的判定方法寻找条件即可．

知识点知2－讲例2如图，点D在△ABC的边AB上，满足知识点知2－讲解：如图.当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.

条件1：∠1＝∠B；条件2：∠2＝∠ACB；条件3：即AC2＝AD·AB.

知识点知2－讲解：如图.当满足以下三个条件之一时，知2－讲归纳解决关于添加条件判定两个三角形相似的方法：首先应明确要判定的两个相似三角形已经具备了什么条件，注意隐含条件的挖掘；然后联想两个相似三角形的每个判定方法所需的条件，根据缺失予以添加即可，这类题答案往往不唯一．（此讲解来源于《》）知2－讲归纳解决关于添加条件判定两个三角形相似的方法：1(中考·荆州)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(

)知2－练

B1(中考·荆州)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.②～⑥中与①相似的是(

)A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥知2－练

2B如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；知2－练2B1．判定两个三角形相似的思路：(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形；(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例；(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例．1．判定两个三角形相似的思路：第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第4课时1课堂讲解黄金分割的定义黄金分割的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解黄金分割的定义2课时流程逐点课堂小结作业提升复习提问：上几节课我们学习了哪些三角形相似的判定方法？复习提问：知1－导1知识点黄金分割的定义一个五角星如图所示.(1)从图中找出相等的角、相等的线段.(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.

小亮认为，你同意他的看法吗？说说你的理由.知1－导1知识点黄金分割的定义一个五角星如图所示.知识点知1－讲1．黄金分割的定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，

AC与AB的比叫做黄金比.知识点知1－讲1．黄金分割的定义：知识点知1－讲例1计算黄金比.解：由得AC2=AB·BC.

设AB=1，AC=x，则BC=1-x.∴x2=1×(1-x).

即x2+x-1=0.

解这个方程，得

x1=x2=(不合题意，舍去).

所以，黄金比

知识点知1－讲例1计算黄金比.知1－讲总结(1)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用如果要求精确到小数点后某位，那么注意在结果的最后再代入估计值0.618，这样能够最大限度地保证结果的精确度．(2)易错警示：一条线段有两个黄金分割点，在实际问题中应明确哪条是较长线段，哪条是较短线段．（此讲解来源于《》）知1－讲总结(1)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是(

)A．如果，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比D．0.618是黄金比的近似值知1－练

2C已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是(知2－导2知识点黄金分割的应用想一想如图是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple),如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？知2－导2知识点黄金分割的应用想一想1(中考·通辽)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士的身高为160cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为(

)A．6cmB．10cmC．4cmD．8cm知2－练

D1(中考·通辽)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接黄金分割：(1)一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.(2)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用如果要求精确到小数点后某位，那么注意在结果的最后再代入估计值0.618，这样能够最大限度地保证结果的精确度．黄金分割：(2)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高1课堂讲解利用相似三角形测量长度2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解利用相似三角形测量长度2课时流程逐点课堂小结作业提活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆

(或路灯杆)的高度.活动方式：分组活动、全班交流研讨.活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆1知识点利用相似三角形测量长度利用阳光下的影子：如图，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长.根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由.知1－讲

1知识点利用相似三角形测量长度利用阳光下的影子：知1－讲知1－讲CAEBD合作探究知1－讲CAEBD合作探究知1－讲例1如图，有一路灯灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向行走到达点F处再测得自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯灯杆AB的高度．导引：先根据人与路灯的平行关系构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质求出路灯灯杆AB的高度．知1－讲例1如图，有一路灯灯杆AB(底部B不能直接到知1－讲解：∵CD∥EF∥AB，∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG.

又∵CD＝EF，∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD＋DF＝BD＋3m，

BG＝BD＋DF＋FG＝BD＋7m，∴BD＝9m．∴BF＝9＋3＝12(m)．

解得AB＝6.4(m)．∴路灯灯杆AB的高度为6.4m.

知1－讲解：∵CD∥EF∥AB，∴△CDF∽△ABF，△AB1如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是(

)A．6.4米B．7.0米C．8.0米D．9.0米知1－练

C1如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在2如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是(

)A．3.25mB．4.25mC．4.45mD．4.75m知1－练

C2如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午利用相似三角形解决实际问题的方法：(1)利用太阳光线平行构造相似，利用同一时刻物高与影长成比例构造比例式；画数学图形找相似解决实际问题；(2)没有相似时可以构造直角三角形；(3)对于不易测量的长度或高度，可以用易测量的对应线段通过成比例来计算．利用相似三角形解决实际问题的方法：第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第四章图形的相似4.7相似三角形的性质1课堂讲解相似三角形对应线段的比相似三角形周长的比相似三角形面积的比2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解相似三角形对应线段的比2课时流程逐点课堂小结作业提如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.

（1）△ACD和△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.

（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模1知识点相似三角形对应线段的比想一想已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.知1－导1知识点相似三角形对应线段的比想一想知1－导知1－讲1.性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．即：相似三角形对应线段的比等于相似比．2.要点精析：对应高、对应角平分线与对应中线是指相似三角形对应边上的高、对应内角的平分线与对应边上的中线．

知1－讲1.性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分知1－讲3.议一议如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D,E在BC边上，点

D′,E′在B′C′边上.(1)若∠BAD=∠BAC,∠B′A′D′=∠B′A′C′,

则等于多少？（2）若BE=BC,B′E′=B′C′,则等于多少?（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.

知1－讲3.议一议知1－讲例1如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.

当SR=BC时，求DE的长.如果SR=BC呢？

知1－讲例1如图，AD是△ABC的高，AD=h，点知1－讲解：∵SR⊥AD，BC⊥AD,∴SR∥BC.∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似）.(相似三角形对应高的比等于相似比），当SR=BC时，得解得DE=h.

当SR=BC时，得解得DE=h.

知1－讲解：∵SR⊥AD，BC⊥AD,∴SR∥BC.21(重庆)已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为________．(曲靖)如图，若△ADE∽△ACB，且,DE＝10，则BC＝________．知1－练

4∶11521(重庆)已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相知下面是小明同学提供的作法：知2－导如图，由已知，得2知识点相似三角形周长的比下面是小明同学提供的作法：知2－导如图，由已知，得2知识点知2－讲性质定理：相似三角形的周长比等于相似比．知2－讲性质定理：相似三角形的周长比等于相似比．1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为(

)A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5知2－练

A1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，C知3－导3知识点相似三角形面积的比分别作△ABC和△A′B′C′的高CD，C′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴(相似三角形对应高的比等于相似比).知3－导3知识点相似三角形面积的比分别作△ABC和△A′B知3－讲1．性质定理：相似三角形的面积比等于相似比的平方；反之，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．2．易错警示：在利用相似三角形的性质解决问题时，常出现面积比等于相似比或由面积比求相似比时不进行开方，反而平方的错误．为了避免这些错误，在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意结合图形，搞清面积比与相似比的关系．知3－讲1．性质定理：知3－讲议一议两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？知3－讲议一议知3－讲

例2如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC

与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC

的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.解：根据题意，可知EG∥AB.∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.知3－讲例2如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DE知3－讲

（相似三角形的面积比等于相似比的平方），∴EC2=2.∴EC=∴BE=BC－EC=2－即△ABC平移的距离为2－知3－讲用相似三角形对应边上的高的比解决三角形内接四边形问题应掌握两点：(1)常见图形：常见图形如右图，即三角形中存在一个矩形；(2)基本方法：利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比列方程求解．用相似三角形对应边上的高的比解决三角形内接四边形问题应掌握两相似图形的周长、面积的计算方法：1.常见图形结构：“A”形图与“X”形图，应用平行线构造相似三角形，多与平行四边形联系在一起；2.解题关键：一是准确把握相似三角形周长的比与面积的比和相似比的关系；二是掌握同底等高或等底同高的三角形面积之间的相等关系．相似图形的周长、面积的计算方法：第四章图形的相似4.8图形的位似第1课时位似图形第四章图形的相似4.8图形的位似第1课时位似1课堂讲解图形的位似的定义位似图形的性质位似图形的画法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解图形的位似的定义2课时流程逐点课堂小结作业提升如图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成.在图片①和图片②上任取一组对应点A，A′，可以发现：直线AA′都经过镜头中心点O，且都等于一个固定值.请你实际试一试.如图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成.在图片1知识点图形的位似的定义如图是两个相似五边形，设直线AA′与BB′相交于点O，那么直线CC′，DD′，EE′是否也都经过点O？知1－导1知识点图形的位似的定义如图是两个相似五边形，设直线AA′知1－讲1.位似多边形的定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一个点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心．k就是这两个相似多边形的相似比．要点精析：(1)位似图形必须同时满足：①两个图形是相似图形；②两个相似图形的每组对应点的连线都经过同一点．二者缺一不可．知1－讲1.位似多边形的定义：知1－讲

(2)位似中心可能在两个位似图形的一侧，也可能在两个位似图形之间．(3)常见的位似构成如图所示：知1－讲(2)位似中心可能在两个位似图形的一侧，也可能在两知1－讲2．位似与相似的关系：

(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点．

(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况．知1－讲2．位似与相似的关系：知1－讲（来自《》）例1判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形，如果是，请指出其位似中心．解：①是位似图形，位似中心为点A；②是位似图形，位似中心为点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心为点O；⑤不是位似图形．知1－讲（来自《》）例1判断如图所示的各图中的两个图总结知1－讲

判断两个图形是否是位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，然后看对应顶点的连线是否交于一点．总结知1－讲判断两个图形是否是位似图形的方法：知1－练

1图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(

)A．点MB．点NC．点OD．点P2如图，在下列四种图形变换中，该图案不包括的变换是

(

)A．平移B．轴对称

C．旋转D．位似DA知1－练1图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(2知识点位似图形的性质知2－讲1.位似图形对应顶点的连线必过位似中心．2.位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比．3.位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比相等．4.两个图形位似，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．注：利用位似图形的性质可将图形放大或缩小．2知识点位似图形的性质知2－讲1.位似图形对应顶点的连线必过知2－讲例2（广西·玉林）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC

的面积是3，则△A′B′C′的面积是(

)

A.3B.6C.9D.12

导引：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4.∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12.D知2－讲例2（广西·玉林）△ABC与△A′B′C′是位似图知2－练

1(咸宁