江苏省扬州市2022～2023学年初三数学第一学期期末考试试卷【含答案】

江苏省扬州市2022～2023学年初三数学第一学期期末考试试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）1.方程的解是（）A B. C. D.2.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1 B. C. D.3.如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（）A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：44.把二次函数化为的形式，下列变形正确的是（）A. B. C. D.5.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（）A.9280mm B.6280mm C.6140mm D.457mm6.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A. B.C. D.7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表:s2甲、s2乙、s2丙分别表示三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是（）As2甲＞s2乙＞s2丙 B.s2丙＞s2乙＞s2甲C.s2丙＞s2甲＞s2乙 D.s2乙＞s2甲＞s2丙8.如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．把答案填在答题卡中对应的横线上）．9.一个布袋里面装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是_______．10.已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=_____．11.若关于的方程有两个相等的实数根，则式子的值为__________．12.国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是________________．13.二次三项式﹣x2﹣2x＋3的最大值是______.14.如果在比例尺为1：的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是_____千米．15.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，若∠A=25°，则∠C=_____°．16.已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为_____cm2．（结果保留π）17.在二次函数y＝﹣x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则m、n的大小关系为m______n．（填“＜”，“＝”或“＞”）18.如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是______.三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）19.（本题满分8分）解方程：（1）计算：；（2）解方程：．20.在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．（1）这50名同学捐款众数为元，中位数为元；（2）求这50名同学捐款的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．21.一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22.如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…设游戏者从圈A起跳．（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？23.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且．（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．24.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）25.（本题满分10分）小明在一次高尔夫球的练习中，在点O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中y（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．（1）求抛物线的顶点坐标及球飞行的最大水平距离；（2）若小明第二次仍从点O处击球，球飞行的最大高度不变且刚好进洞，求球飞行的抛物线路线满足的函数表达式．26.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．27.问题提出某商店经销《超能陆战队》超萌“小白”（图1）玩具，“小白”玩具每个进价60元．为进行促销，商店制定如下“优惠”方案：如果一次销售数量不超过10个，则销售单价为100元/个；如果一次销售数量超过10个，每增加一个，所有“小白”玩具销售单价降低1元/个，但单价不得低于80元/个．一次销售“小白”玩具的单价y（元/个）与销售数量x（个）之间的函数关系如图2所示．（1）求m的值并解释射线BC所表示的实际意义；（2）写出该店当一次销售x个时，所获利润w（元）与x（个）之间函数关系式；（3）店长经过一段时间的销售发现：即并不是销量越大利润越大（比如，卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多）．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把原来的最低单价80（元/个）至少提高到多少元/个？28.（本题满分12分）如图，Rt△中，，，点为斜边的中点，点为边上的一个动点．连结，过点作的垂线与边交于点，以为邻边作矩形．（1）如图1，当，点在边上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设，矩形的面积为，求y关于的函数表达式；（3）若，且点恰好落在Rt△的边上，求的长．江苏省扬州市2022～2023学年初三数学第一学期期末考试试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）1.方程的解是（）A. B. C. D.C【详解】试题分析：x2－x＝0，x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，所以x1＝0，x2＝1，故选C．点睛：本题主要考查了解一元二次方程，常见的解法有配方法，公式法和因式分解法，恰当的选择方法是解决此题的关键．本题也可采用选项验证的方法．2.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1 B. C. D.C【详解】.故选C.3.如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（）A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4D【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB=1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是边AB的中点，∴AD：AB＝1：2，∴＝（）2＝．故选：D．此题考查相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．4.把二次函数化为的形式，下列变形正确的是（）A. B. C. D.D【详解】.故选D5.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（）A.9280mm B.6280mm C.6140mm D.457mmC【详解】由题意可得，一条弧的长度为：（mm），∴两条弧的长度为3140mm，∴这段变形管道的展直长度约为3140+3000=6140（mm）.故选C.6.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A. B.C. D.C【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，故选：C．本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表:s2甲、s2乙、s2丙分别表示三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是（）A.s2甲＞s2乙＞s2丙 B.s2丙＞s2乙＞s2甲C.s2丙＞s2甲＞s2乙 D.s2乙＞s2甲＞s2丙B【详解】∵=(7×1+8×3+9×3+10×1)÷8=8.5，则s2甲=[（7-8.5）2+3×（8-8.5）2+3×（9-8.5）2+（10-8.5）2]÷8=0.75；∵=(7×2+8×2+9×2+10×2)÷8=8.5，∴s2乙=[2×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+2×（9-8.5）2+2×（10-8.5）2]÷8=1.25∵=(7×3+8×1+9×1+10×3)÷8=8.5，∴s2丙=[3×（7-8.5）2+（8-8.5）2+（9-8.5）2+3×（10-8.5）2]÷8=1.75，∴s2丙>s2乙>s2甲，故选B．8.如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A.B.C.D.B【详解】根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，②P在弧AC之间，∠DME保持36°，大小不变，③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选B．点睛：本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．把答案填在答题卡中对应的横线上）．9.一个布袋里面装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是_______．．【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．【详解】解：∵布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：．故．本题考查概率公式．10.已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=_____．30°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】∵tanA＝，∴∠A＝30°．故30此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．11.若关于的方程有两个相等的实数根，则式子的值为__________．【分析】根据根的判别式即可得出

Δ=(-m)2-4m=0，由此可得m2-4m=0的值，再代入变形后的代数式即可求出答案．【详解】解：由题意可知，

Δ=(-m)2-4m=0，∴m2-4m=0，∴=2(m2-4m)+1=1．故答案为1.本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型．12.国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是________________．10%【分析】设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，可列方程：60（1-x）2=48.6，由此求解即可.【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意得：60（1-x）2=48.6，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价百分率是10%．故10%．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.二次三项式﹣x2﹣2x＋3的最大值是______.4【详解】∵﹣x2﹣2x＋3=-（x2+2x-3）=-（x2+2x+1-4）=-(x+1)2+4,∴﹣x2﹣2x＋3的最大值是4.14.如果在比例尺为1：的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是_____千米．【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．【详解】解：设A、B两地的实际距离为则：解得千米A、B两地的实际距离为千米故本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键．15.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，若∠A=25°，则∠C=_____°．40【详解】连接OD.∵CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°.∵∠＝25°，∴∠COD=25°+25°=50°,∴∠C=90°-50°=40°.点睛：本题考察了切线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质和三角形外角的性质是解答本题的关键.16.已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为_____cm2．（结果保留π）60π【详解】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积．考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线.17.在二次函数y＝﹣x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则m、n的大小关系为m______n．（填“＜”，“＝”或“＞”）＜【详解】∵x=4时，y=-7；x=-2时，y=7，∴，解之得，∴二次函数的解析式为y=−x2+2x+1，∴当x=-1时，m=−1-2+1=-2；x=2时，n=−4+4+1=1，∴m<n.18.如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是______.3【详解】试题分析：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=3，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF=GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=3．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）19.（本题满分8分）解方程：（1）计算：；（2）解方程：．（1）；（2），【详解】试题分析：（1）第一、二项按照特殊角的三角函数解答，第三项非零数的零次方等于1；（2）先把-2移到右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式，然后开平方即可..（1）原式==（2）配方得：直接开平方得点睛：本题主要考查了特殊角的三角函数值及配方法解一元二次方程方程，熟练掌握特殊角的三角函数值及配方的方法是解答本题的关键.20.在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．（1）这50名同学捐款的众数为元，中位数为元；（2）求这50名同学捐款的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．（1）15，15；（2）13（元）；（3）7800（元）．【详解】试题分析：（1）根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位数的定义得出即可；（2）利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算即可；（3）利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．解：（1）数据15元出现了20次，出现次数最多，所以众数是15元；数据总数为50，所以中位数是第25、26位数的平均数，即（15+15）÷2=15（元）．故答案为15，15；（2）50名同学捐款的平均数=（5×8+10×14+15×20+20×6+25×2）÷50=13（元）；（3）估计这个中学的捐款总数=600×13=7800（元）．考点：条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．21.一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．4cm【详解】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm，则围成的长方体纸盒的底面长是（30-2x）cm,宽是（30-2x）cm,根据底面积等于264cm2列方程求解.解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm．由题意，得(30-2x)(20-2x)=264．整理，得x2-25x+84=0．解方程，得，（不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形的边长为4cm．22.如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…设游戏者从圈A起跳．（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？（1）；（2）可能性一样．【详解】试题分析：（1）根据概率公式求解即可；（2）列表求出所有等可能的结果，再求得淇淇随机掷两次骰子，最后落回到圈A的概率，比较即可解决.试题解析：（1）掷一次骰子，有4种等可能结果，只有掷到4时，才会回到A圈.P1=(2)列表如下，12341（1,1）（2,1）（31）（4,1）2（1,2）（2,2）（3,2）（4,2）3（1,3）（2,3）（3,3）（4,3）4（1,4）（2.4）（3,4）（4，4）所有等可能的结果共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍数，即（1,3），（2,2），（3,1），（4,4）时，才可落回A圈，共4种，∴.∴可能性一样.点睛：本题主要考查了用列表法（或画树形图法）求概率，正确列表（或画树形图法）是解题的关键.23.如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且．（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．（1）相等，理由见解析；（2）相似，理由见解析【分析】（1）由，得到△ABC∽△AED，推出∠BAC＝∠EAD，即可得到∠1＝∠2；（2）由得，根据两边对应成比例且夹角相等得到△ABE∽△ACD．【详解】（1）∠1与∠2相等．理由如下：在△ABC和△AED中，∵，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠2．（2）△ABE与△ACD相似．理由如下：由得：．在△ABE和△ACD中，∵，∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．24.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）宣传牌CD高约2.7米.【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，∴∠BAH=30°∴BH=AB=5（米）.答：点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15.在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15.∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.答：宣传牌CD高约2.7米.25.（本题满分10分）小明在一次高尔夫球的练习中，在点O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中y（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．（1）求抛物线的顶点坐标及球飞行的最大水平距离；（2）若小明第二次仍从点O处击球，球飞行的最大高度不变且刚好进洞，求球飞行的抛物线路线满足的函数表达式．（1）8m；（2）或【详解】试题分析：（1）将抛物线配方化顶点式，可求出顶点坐标；令y=0，解方程可求出球飞行的组大水平距离．（2）根据飞行高度不变可得抛物线的顶点坐标，设出顶点式，进而把原点坐标代入即可求得相应的解析式.解：（1）∵=-,∴抛物线顶点坐标为（4，4）．解得：x1=0，x2=8，∴球飞行的最大水平距离为8m．（2）∵最大高度为4，球刚好进洞，即（10，0），∴顶点为（5，4）,设关系式为：,把（0,0）代入得，,∴,∴26.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）根据等腰三角形性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC==，设DF=4x，DC=5x，∴CF==3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴，即，解得AE=，即⊙O的直径为．27.问题提出某商店经销《超能陆战队》超萌“小白”（图1）玩具，“小白”玩具每个进价60元．为进行促销，商店制定如下“优惠”方案：如果一次销售数量不超过10个，则销售单价为100元/个；如果一次销售数量超过10个，每增加一个，所有“小白”玩具销售单价降低1元/个，但单价不得低于80元/个．一次销售“小白”玩具的单价y（元/个）与销售数量x（个）之间的函数关系如图2所示．（1）求m的值并解释射线BC所表示的实际意义；（2）写出该店当一次销售x个时，所获利润w（元）与x（个）之间的函数关系式；（3）店长经过一段时间的销售发现：即并不是销量越大利润越大（比如，卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多）．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把原来的最低单价80（元/个）至少提高到多少元/个？（1）m=30，当一次销售数量超过30个以后，都是按单价80元/个销售；（2）当0＜x≤10时，w=40x；当10＜x≤30时，w=﹣x2+50x；当x＞30时，w=20x；（3）店家应把最低价每个80元至少提高到每个85元．【详解】试题分析：（1）利用价格变化规律，进而求出m的值，然后根据解析式解释线段AB所表示的实际优惠销售政策即可；（2）分类讨论：当0＜x≤10时，当10＜n≤30