某师范大学数学分析课件

一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的

性质无论是单元微积分还是多元微积分,其中所讨论的函数,最重要的一类就是连续函数.二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些;而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质,二者完全相同.§3二元函数的连续性数学分析

第十六章多元函数的极限与连续*点击以上标题可直接前往对应内容一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的定义11.连续性若只要,就有则称f关于集合D在点

连续.在不致误解的情形下,也称f在点

连续.若f在D上任何点都关于集合D连续,则称f为D

上的连续函数.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质二元函数的连续性概念设f为定义在点集上的二元函数,后退前进目录退出定义11.连续性若只要,就有则称f关由上述定义知道:若

是D的孤立点,则

必定是

若

是D的聚点,则f关于集合D在点连续等价于如果

是D的聚点,而(2)式不成立(其含义与一元函数的对应情形相同),则称

是f

的不连续点(或

特别当(2)式左边极限存在,但不等于是f的可去间断点.时,§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质f的连续点.称间断点).由上述定义知道:若是D的孤立点,则§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续又若把上述例3的函数改为上，其中m为固定实数,亦即函数f只定义在

因此f在原点沿着直线是连续的．§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质这时由于又若把上述例3的函数改为上，其中m为固定实数,亦即因此此时f

在原点连在坐标原点的连续性．例1讨论函数解

由于当而当不存在，

此时在原点间断．

§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质续;因此此时f在原点连在坐标原点的连续性．例1讨论函数2.全增量与偏增量设量形式来描述连续性,为函数f在点

的全增量.

时,f在点

连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质和一元函数一样,可用增即当2.全增量与偏增量设量形式来描述连续性,为函数f如果在全增量中取

则相应得到的

增量称为偏增量,一般说来,全增量并不等于相应的两个偏增量之和.若一个偏增量的极限为零,

如则表示当固定

时,

作为x的函数,它

固定时，在y0连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质分别记作则表示当

同理,在

x0连续.如果在全增量中取则相应得到的增量称为偏增量,一般说来容易证明:当f在其定义域的内点连续时,在x0与

在y0都连续.由二元函数对单个自变量都连续，函数的连续性(除非另外增加条件).在原点处显然不连续,因此它在原点处对x和对y分别都连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是反过来,例如二元函数一般不能保证该但由于f(0,y)=f(x,0)=0,容易证明:当f在其定义域的内点连续时,在x0与3.连续函数的局部性质以及相应的有理运算的各个法则.若二元函数在某一点连续,则与一元函数一样,可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性复合函数的连续性定理,其余留给读者自己去练习.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质下面只证明二元3.连续函数的局部性质以及相应的有理运算的各个法则.定理16.7（复合函数连续性）则复合函数

在点P0也连续.

使得当

的某邻域内有定义,并在点Q0连续,时,有§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数和

在点的某邻域内有定义,并在点连续;

f(u,v)在点证

由f在点Q0连续可知：其中

定理16.7（复合函数连续性）则复合函数又由、在点P0连续可知:对上述

使得当时,有综合起来,当

时,便有所以在点连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质时,有又由、在点P0连续可知:对上述使得当时定理16.8（复合函数连续性）本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.上有界且能取得最大值与最小值.倘若不然,则

存

使得在§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质有界闭域上连续函数的性质若二元函数f在有界闭域

上连续,证

先证明

f在D上有界.则f在D,

定理16.8（复合函数连续性）本段讨论有界闭域于是得到一个有界点列

,且能使中有无

由聚点定理的推论,

存在收敛

子列设又因f在D上连续,当然在点

也连续,这与不等式(3)矛盾，所以f

是D上的有界函数.下面证明f

在D上能取到最大、小值.

§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质穷多个不同的点.因D是闭域,从而为此设于是有可证必有一点,使(同理可证最小值)

于是得到一个有界点列,且能使中有无由聚点定理的如若不然,对任意都有由前面的证明知道,F在D上有界.上达到上确界M,使

.在D上有界的结论相矛盾,到最大值.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质考察D上的正值连续函数又因f

不能在D于是有这导致与F

所以存在收敛点列从而证得f

在D上能取

如若不然,对任意都有由前面的证明知道,F在D定理16.9（一致连续性定理）证本定理可参照第七章的方法,运用有限覆盖定理来证明.这里我们用聚点定理证明.

倘若f在D上连续而不一致连续,则存在某对于任意小的例如相应的,虽然,§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若函数f在有界闭域上连续,即存在只依赖于的必有

的点切满足致连续.则

f在D上一使得对一总有

定理16.9（一致连续性定理）证本定理可由于D为有界闭域,因此存在收敛子列并设再在中取出与下

标相同的子列

有.这与相矛盾,上一致连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是

则因最后,由f在P0连续,得所以f在D

由于D为有界闭域,因此存在收敛子列并设再在中取出与下定理16.10（介值性定理）任意两点,且则对任何满足不等式证作辅助函数的实数,必存在点易见F仍在D上连续,且由(4)式知道下面证明必存在,使§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数

f

在区域

上连续,若P1,P2为D中使得定理16.10（介值性定理）任意两点,且则对图16-18

由于D为区域,我们可以用有限段都在D中的折线连结P1和P2(如图16-18).的函数值为0,则定理得证.

否则从一端开始逐段检查,在它两端的函数值异号.必定存在某直线段,使得F

§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若有某一个连接点所对应图16-18由于D为区域,我们可以用有限段不失一般性,设连结P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线段含于D,

在此直线段上,F变为关于t的复合函数：由于G为[0,1]上的一元连续函数,且§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质其方程为不失一般性,设连结P1(x1,y1),P2(x2,y因此由一元函数根的存在定理,在(0,1)内存在一点使得记则有,使得续函数,则f(D)必定是一个区间(有限或无限).注1由定理16.10又可知道,若f为区域D上的连§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质因此由一元函数根的存在定理,在(0,1)内存在一点有连通性的.界闭集(证明过程无原则性变化).中所考察的点集D只能假设是一区域,这是为了保证它具有连通性,注2定理16.8与16.9中的有界闭域D可以改为有例3§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是介值性定理而一般的开集或闭集是不一定具有连通性的.界闭证

由定理16.9知道这就证得§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质证由定理16.9知道这就证得§3二元函数的连续性1.在一元函数连续性定义中,如何引入“孤立点必为连续点”这个概念？这两种说法有何不同？你喜欢哪一种说法?等函数都是在其定义区间上的连续函数”.当引入了“孤立点必为连续点”后，上述结论便可简单地说成是:“任何初等函数在其定义域上处处连续.”试讨论2.在讨论一元初等函数时有一个重要结论:“任何初1.在一元函数连续性定义中,如何引入“孤立点必为连续点”一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的

性质无论是单元微积分还是多元微积分,其中所讨论的函数,最重要的一类就是连续函数.二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些;而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质,二者完全相同.§3二元函数的连续性数学分析

第十六章多元函数的极限与连续*点击以上标题可直接前往对应内容一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的定义11.连续性若只要,就有则称f关于集合D在点

连续.在不致误解的情形下,也称f在点

连续.若f在D上任何点都关于集合D连续,则称f为D

上的连续函数.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质二元函数的连续性概念设f为定义在点集上的二元函数,后退前进目录退出定义11.连续性若只要,就有则称f关由上述定义知道:若

是D的孤立点,则

必定是

若

是D的聚点,则f关于集合D在点连续等价于如果

是D的聚点,而(2)式不成立(其含义与一元函数的对应情形相同),则称

是f

的不连续点(或

特别当(2)式左边极限存在,但不等于是f的可去间断点.时,§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质f的连续点.称间断点).由上述定义知道:若是D的孤立点,则§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续又若把上述例3的函数改为上，其中m为固定实数,亦即函数f只定义在

因此f在原点沿着直线是连续的．§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质这时由于又若把上述例3的函数改为上，其中m为固定实数,亦即因此此时f

在原点连在坐标原点的连续性．例1讨论函数解

由于当而当不存在，

此时在原点间断．

§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质续;因此此时f在原点连在坐标原点的连续性．例1讨论函数2.全增量与偏增量设量形式来描述连续性,为函数f在点

的全增量.

时,f在点

连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质和一元函数一样,可用增即当2.全增量与偏增量设量形式来描述连续性,为函数f如果在全增量中取

则相应得到的

增量称为偏增量,一般说来,全增量并不等于相应的两个偏增量之和.若一个偏增量的极限为零,

如则表示当固定

时,

作为x的函数,它

固定时，在y0连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质分别记作则表示当

同理,在

x0连续.如果在全增量中取则相应得到的增量称为偏增量,一般说来容易证明:当f在其定义域的内点连续时,在x0与

在y0都连续.由二元函数对单个自变量都连续，函数的连续性(除非另外增加条件).在原点处显然不连续,因此它在原点处对x和对y分别都连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是反过来,例如二元函数一般不能保证该但由于f(0,y)=f(x,0)=0,容易证明:当f在其定义域的内点连续时,在x0与3.连续函数的局部性质以及相应的有理运算的各个法则.若二元函数在某一点连续,则与一元函数一样,可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性复合函数的连续性定理,其余留给读者自己去练习.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质下面只证明二元3.连续函数的局部性质以及相应的有理运算的各个法则.定理16.7（复合函数连续性）则复合函数

在点P0也连续.

使得当

的某邻域内有定义,并在点Q0连续,时,有§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数和

在点的某邻域内有定义,并在点连续;

f(u,v)在点证

由f在点Q0连续可知：其中

定理16.7（复合函数连续性）则复合函数又由、在点P0连续可知:对上述

使得当时,有综合起来,当

时,便有所以在点连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质时,有又由、在点P0连续可知:对上述使得当时定理16.8（复合函数连续性）本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.上有界且能取得最大值与最小值.倘若不然,则

存

使得在§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质有界闭域上连续函数的性质若二元函数f在有界闭域

上连续,证

先证明

f在D上有界.则f在D,

定理16.8（复合函数连续性）本段讨论有界闭域于是得到一个有界点列

,且能使中有无

由聚点定理的推论,

存在收敛

子列设又因f在D上连续,当然在点

也连续,这与不等式(3)矛盾，所以f

是D上的有界函数.下面证明f

在D上能取到最大、小值.

§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质穷多个不同的点.因D是闭域,从而为此设于是有可证必有一点,使(同理可证最小值)

于是得到一个有界点列,且能使中有无由聚点定理的如若不然,对任意都有由前面的证明知道,F在D上有界.上达到上确界M,使

.在D上有界的结论相矛盾,到最大值.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质考察D上的正值连续函数又因f

不能在D于是有这导致与F

所以存在收敛点列从而证得f

在D上能取

如若不然,对任意都有由前面的证明知道,F在D定理16.9（一致连续性定理）证本定理可参照第七章的方法,运用有限覆盖定理来证明.这里我们用聚点定理证明.

倘若f在D上连续而不一致连续,则存在某对于任意小的例如相应的,虽然,§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若函数f在有界闭域上连续,即存在只依赖于的必有

的点切满足致连续.则

f在D上一使得对一总有

定理16.9（一致连续性定理）证本定理可由于D为有界闭域,因此存在收敛子列并设再在中取出与下

标相同的子列

有.这与相矛盾,上一致连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是

则因最后,由f在P0连续,得所以f在D

由于D为有界闭域,因此存在收敛子列并设再在中取出与下定理16.10（介值性定理）任意两点,且则对任何满足不等式证作辅助函数的实数,必存在点易见F仍在D上连续,且由(4)式知道下面证明必存在,使§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数

f

在区域

上连续,若P1,P2为D中使得定理16.10（介值性定理）任意两点,且则对图16-18

由于D为区域,我们可以用有限段都在D中的折线连结P1和P2(如图16-18).的函数值为0,则定理得证.

否则从一端开始逐段检查,在它两