传输原理-第十七章-质量传输的微分方程课件

第十七章质量传输的微分方程第十七章第17章质量传输的微分方程

17.1质量传输平衡方程式17.2质量传输过程的定解条件17.3模拟分子扩散过程的步骤17.4小结第17章质量传输的微分方程17.1质量传输平衡方程17.1质量传输平衡方程式对流体的质量传输，取微元体作为控制体，根据质守恒定律，有在微元体组分A的“收入”或“支出”中，应包括由流体流过微元体带入或带出的对流传质量和微元体界面上由分子扩散传入或逸出的分子扩散量。以图中y方向为例。

17.1质量传输平衡方程式对流体的质量传输，取微元体作为17.1质量传输平衡方程式

所以组分A沿y轴方向流出与流入微元体的质量流率差为：同理可知沿x轴及z轴方向的情况，最终得到从控制体流出的组分A的净质量流率G1组分A沿y轴方向从左侧流入微元体，从右侧流出，它们的质量流率分别为：17.1质量传输平衡方程式所以组分A沿y轴方向流出与流17.1质量传输平衡方程式假设控制体内组分A的化学反应生成速率为rA，化学反应对控制体内A的质量(贡献)速率G3为：根据质量守恒定律，代入，并除以dxdydz，可以得到质量传输平衡方程式

组分A在微元体内积蓄的质量流率G2为:

若系统仅由A和B组成时，则有:17.1质量传输平衡方程式假设控制体内组分A的化学反应生17.1质量传输平衡方程式

若用摩尔平均速度υm和摩尔浓度表示，则为：以上为二组分系统不可压缩流体的传质微分方程，或称为对流扩散方程。

根据随体导数的定义，可以分别写成

在不可压缩流体的情况下，可以得到17.1质量传输平衡方程式若用摩尔平均速度υm和摩尔17.1质量传输平衡方程式

写成柱坐标系或球坐标系的形式，如下：

如传质过程处于稳态，则可以进一步简化为：

如传质时，介质为静止的流体或固体时，并且控制体内无化学反应，则分别简化为：17.1质量传输平衡方程式写成柱坐标系或球坐标系的形17.1质量传输平衡方程式

写成柱坐标系或球坐标系的形式，如下：组分A传质一般形式的微分方程或连续方程，在直角坐标系中的形式为：17.1质量传输平衡方程式写成柱坐标系或球坐标系的形17.2质量传输过程的定解条件确定一个传质过程，需要解传质微分方程。解方程时，需要一些初始条件、边界条件。也就是说，需要具体的定解条件才能得到确定的传质过程。定解条件包括几何条件、初始条件、边界条件和物性条件几何条件就是系统的几何形状和尺寸，如无限大尺寸，半无限大尺寸，有限尺寸及形状。初始条件就是各扩散组分在初始时刻的浓度，它可以是质量浓度，也可以是摩尔浓度。它可以是空间变量的函数，也可以是情况简单的常数，如在t＝0时，cA＝cA0在t＝0时，ρA＝ρA017.2质量传输过程的定解条件确定一个传质过程，需要解传17.2质量传输过程的定解条件如果初始时刻的浓度分布是空间变量的函数，那么浓度的初始条件就比较复杂在t＝0时，cA＝f(M)在t＝0时，ρA＝f(M)传质过程常见的边界条件有：系统的表面浓度为已知：这个边界浓度有多种表示方法，可以用物质的量浓度cAs，也可以用质量浓度ρAs，对于气体可用摩尔分数yAs；对于液体和固体可用xAs。当该边界特指一相为纯组分、另一相为混合物的两相界面时，混合物中扩散组分A在边界上的浓度需满足化学势平衡要求。17.2质量传输过程的定解条件如果初始时刻的浓度分布是空17.2质量传输过程的定解条件对于纯液态或纯固态扩散到混合气体中的情况，混合气体中组分A在边界上的分压必须等于组分A的饱和蒸气压PA，即PAs=PA。同理，对于纯固态溶解到液体混合物中的情况，液体中组分A在边界上的浓度必须等于组分A的饱和浓度cA*，即cAs=cA*。对于组分A在气液两相中扩散的情况，有两种方法可以确定两相界面上组分A的浓度。①组分A在气液两相中含量均较高的情况下，拉乌尔(Raoult)定律给出了理想溶液在液面处的边界条件为

PAs=PAxA组分A的气体分压与摩尔分数有关

由理想气体状态方程，可得物质的量浓度CAs17.2质量传输过程的定解条件对于纯液态或纯固态扩散到混②组分A在液体中的溶解度较低时，其溶解度与气相平衡分压之间服从亨利(Henry)定律：PA=HxA同样，当气固两相平衡时：cA,solid=S·PA17.2质量传输过程的定解条件(2)系统表面的质量流密度为已知：它可以是时间的函数，也可以是常数，甚至为零。对于不同的界面反应，通常有三种情况：①某组分的反应流密度与其他组分的反应流密度符合化学计量数；②界面上存在某一限定的化学反应速率，该速率以梯度形式影响边界上的组分流密度；③当扩散组分经过一个瞬时反应而在边界上消失时，该组分浓度一般可假设为零。因此，组分A成为限制化学反应的物质。②组分A在液体中的溶解度较低时，其溶解度与气相平衡分压之间(3)给定边界条件上的对流速率：当流体流过有质量传输的表面时，对流传质作用决定了流密度，如在边界上，即z＝0处，扩散经过液体边界层的对流传质流密度为：17.2质量传输过程的定解条件(4)对于给定边界层上组分A的流动流密度等于零。工程技术感兴趣的是寻找因非渗透表面或中心对称可控体积而导致的零流密度的位置，或是其流密度值如下式所示的位置：(5)系统内各物性为已知。系统由参与传质过程的各物性来确定，如扩散系数、对流传质系数、浓度、密度、热容等物性。(3)给定边界条件上的对流速率：当流体流过有质量传输的表面[例题17-1]半导体扩散工艺中，包围硅片的气体中含有大量的杂质原子，杂质不断地通过硅片表面向内部扩散，在下述两种情况下确定该硅片的边界条件。①半导体的扩散工艺是恒定表面浓度扩散，即硅片表面的杂质浓度保持一定；②半导体的扩散工艺是限定源扩散，仅有硅表面已有的杂质向硅片内部深处扩散，没有外来的杂质通过硅片表面进入硅片内部。解：①半导体的扩散工艺是恒定表面浓度，边界在硅片表面上，即z=0和z=l。此时可看成一维问题，边界上杂质的浓度保持常数c0。此时边界条件可写为：c(z＝0，t)=c0，c(z＝l，t)=c0；②半导体的扩散工艺是限定源扩散，没有外来杂质通过硅片表面进入硅片，仅是硅表面已有的杂质向硅片内部深处扩散，因此通过硅片表面的扩散流强度为0：17.2质量传输过程的定解条件[例题17-1]半导体扩散工艺中，包围硅片的气体中含有大量模拟分子扩散的过程可依据费克定律和传质微分方程加以适当简化。通常，大部分涉及分子扩散的问题包含以下五个步骤。(1)画出物质系统图，标注重要参数(包括系统边界)，明确传质的来源和接收位置。(2)写出基于物质系统的一系列假设，列出式清单。在发展该模型并添加更多条件时，更新这些式。(3)选择描述该物质系统的最佳坐标系，依据费克定律和质量传输微分方程，写出包括该过程体积参数在内的、用于描述基于以上几何系统和这些假设的物料恒算微分形式。分析质量传输方程时，注意物质系统中不用的参数项。17.3模拟分子扩散过程的步骤模拟分子扩散的过程可依据费克定律和传质微分方程加以适当简化。如：稳态系统、在该体积的扩散系统内无化学反应，RA=0、按具体情况选择合适的坐标系，可以简化微分方程。另外，将过程的微分体积参数表示为一种宏观上的平衡。费克定律通过建立流密度与体积影响因素之间的关系得以简化。如，消除空间某一方向上二元气体混合物A、B组分的流密度。考虑相对于固定坐标的气体的摩尔流密度17.3模拟分子扩散过程的步骤如NAz=-NBz，则yA(NAz+NBz)＝0。如yA(NAz+NBz)≠0，由于NAz总等于cAυz，则减少cAυz即能够减少混合物中组分A的浓度。若该浓度分布需要列出微分方程，则费克定律的简化形式须由质量传输微分方程的简化如：稳态系统、在该体积的扩散系统内无化学反应，RA=0、按具17.3模拟分子扩散过程的步骤

形式来代替。若该浓度分布需要列出微分方程，则费克定律的简化形式须由质量传输微分方程的简化形式来代替。(4)识别和说明边界条件以及内部条件。如：①z＝0的表面或界面处组分A的浓度，假设为cA=cA0。该浓度可用某些平衡关系表示，如亨利定律。②扩散体系的中心对称条件，或者可以说，在z=0的表面或界面处组分A的净流密度NAz|z=0=dcA/dz。③表面或界面处组分A的对流流密度，设为NA=kC(cAs-cA∞)。④已知z=0的表面或界面处组分A的对流流密度，假设为NAz|z＝NA0。17.3模拟分子扩散过程的步骤形式来代替。17.3模拟分子扩散过程的步骤⑤已知表面或界面处的化学反应。若组分A在z=0界面上反应消耗的速率非常快，则假设为cAs=0。若反应速率较慢，对于有限的cAs，则假设NAz=k’cAs。其中，k’为一级反应的反应常数。(5)通过微分物料恒算方程以及边界内部条件的结果，解微分方程，求得浓度分布、流密度或其他工程上感兴趣的参数。若可行，首先考虑更复杂问题的渐进解答或限制条件。[例题17-2]在清洁的硅片表面上沉积钨薄层是制造固态微电子结构的重要步骤。金属钨是微电子结构与硅表层间的电流导体。在典型的生产过程中，钨薄层通过WF6在H2气氛中沉淀到硅表面而形成：17.3模拟分子扩散过程的步骤⑤已知表面或界面处的化学17.3模拟分子扩散过程的步骤3H2(g)+WF6(g)→W(s)+6HF(g)如图所示。试通过费克第一定律，求扩散到气固界面上WF6流密度。通常，在扩散空间中没反应，故RA＝0。由此，表面反应为W薄层通过WF6在氢气中沉积到硅表面。扩散区域的气体与外界不相混，由此可知分子扩散占主要地位。17.3模拟分子扩散过程的步骤3H2(g)+WF6(g)17.3模拟分子扩散过程的步骤流入气体提供WF6的量远远多于反应消耗的量，因此可以将扩散区域内的WF6浓度视作常数。WF6流密度的方向在空间沿着单一的z方向。硅薄片的厚度与z方向上扩散途径的长度δ几乎无关，即δ实质上为常数。扩散区域内的传质过程为稳态过程。WF6流密度(A组分)在z方向上呈线性，气相混合物中有4种组分。考虑相对于固定坐标空间的质量和摩尔流密度式可得：

式中，DA-mix是WF6在H2(组分B)、HF(组分C)和惰性气体He(组分D)的混合气体中的扩散系数，c为体系的总摩尔量。气体反应物流密度与气体生成物流密度的方向相反。17.3模拟分子扩散过程的步骤流入气体提供WF6的量远远17.3模拟分子扩散过程的步骤钨薄层表面上的化学反应计量数提供了WF6与各扩散组分之间的关系为：由于无传质沉淀，He流密度为零，即(ND=0)。于是将前面的代入可以得到扩散到表面上的WF6流密度受表面上扩散出去的HF流密度大小的阻碍。该费克方程只有在混合物中扩散系数取平均值时方可求积分。17.3模拟分子扩散过程的步骤钨薄层表面上的化学反应计量17.4小结本章采用类似质量传输和热量传输的方法，即通过微元控制体得到质量传输微分方程。讨论了质量微分方程的定解条件，着重分析了传质过程常见的边界。传质微分方程被发展用于描述混合物中扩散成分的物料平衡计算，提出了适应特殊情况的传质微分方程的特殊形式。通常情况下可能遇到的分子扩散的边界条件也都被列出了。最后介绍了由五步方法构成的分子扩散数学建模的全部过程。17.4小结本章采用类似质量传输和热量传输的方法，即通过第十七章质量传输的微分方程第十七章第17章质量传输的微分方程

17.1质量传输平衡方程式17.2质量传输过程的定解条件17.3模拟分子扩散过程的步骤17.4小结第17章质量传输的微分方程17.1质量传输平衡方程17.1质量传输平衡方程式对流体的质量传输，取微元体作为控制体，根据质守恒定律，有在微元体组分A的“收入”或“支出”中，应包括由流体流过微元体带入或带出的对流传质量和微元体界面上由分子扩散传入或逸出的分子扩散量。以图中y方向为例。

17.1质量传输平衡方程式对流体的质量传输，取微元体作为17.1质量传输平衡方程式

所以组分A沿y轴方向流出与流入微元体的质量流率差为：同理可知沿x轴及z轴方向的情况，最终得到从控制体流出的组分A的净质量流率G1组分A沿y轴方向从左侧流入微元体，从右侧流出，它们的质量流率分别为：17.1质量传输平衡方程式所以组分A沿y轴方向流出与流17.1质量传输平衡方程式假设控制体内组分A的化学反应生成速率为rA，化学反应对控制体内A的质量(贡献)速率G3为：根据质量守恒定律，代入，并除以dxdydz，可以得到质量传输平衡方程式

组分A在微元体内积蓄的质量流率G2为:

若系统仅由A和B组成时，则有:17.1质量传输平衡方程式假设控制体内组分A的化学反应生17.1质量传输平衡方程式

若用摩尔平均速度υm和摩尔浓度表示，则为：以上为二组分系统不可压缩流体的传质微分方程，或称为对流扩散方程。

根据随体导数的定义，可以分别写成

在不可压缩流体的情况下，可以得到17.1质量传输平衡方程式若用摩尔平均速度υm和摩尔17.1质量传输平衡方程式

写成柱坐标系或球坐标系的形式，如下：

如传质过程处于稳态，则可以进一步简化为：

如传质时，介质为静止的流体或固体时，并且控制体内无化学反应，则分别简化为：17.1质量传输平衡方程式写成柱坐标系或球坐标系的形17.1质量传输平衡方程式

写成柱坐标系或球坐标系的形式，如下：组分A传质一般形式的微分方程或连续方程，在直角坐标系中的形式为：17.1质量传输平衡方程式写成柱坐标系或球坐标系的形17.2质量传输过程的定解条件确定一个传质过程，需要解传质微分方程。解方程时，需要一些初始条件、边界条件。也就是说，需要具体的定解条件才能得到确定的传质过程。定解条件包括几何条件、初始条件、边界条件和物性条件几何条件就是系统的几何形状和尺寸，如无限大尺寸，半无限大尺寸，有限尺寸及形状。初始条件就是各扩散组分在初始时刻的浓度，它可以是质量浓度，也可以是摩尔浓度。它可以是空间变量的函数，也可以是情况简单的常数，如在t＝0时，cA＝cA0在t＝0时，ρA＝ρA017.2质量传输过程的定解条件确定一个传质过程，需要解传17.2质量传输过程的定解条件如果初始时刻的浓度分布是空间变量的函数，那么浓度的初始条件就比较复杂在t＝0时，cA＝f(M)在t＝0时，ρA＝f(M)传质过程常见的边界条件有：系统的表面浓度为已知：这个边界浓度有多种表示方法，可以用物质的量浓度cAs，也可以用质量浓度ρAs，对于气体可用摩尔分数yAs；对于液体和固体可用xAs。当该边界特指一相为纯组分、另一相为混合物的两相界面时，混合物中扩散组分A在边界上的浓度需满足化学势平衡要求。17.2质量传输过程的定解条件如果初始时刻的浓度分布是空17.2质量传输过程的定解条件对于纯液态或纯固态扩散到混合气体中的情况，混合气体中组分A在边界上的分压必须等于组分A的饱和蒸气压PA，即PAs=PA。同理，对于纯固态溶解到液体混合物中的情况，液体中组分A在边界上的浓度必须等于组分A的饱和浓度cA*，即cAs=cA*。对于组分A在气液两相中扩散的情况，有两种方法可以确定两相界面上组分A的浓度。①组分A在气液两相中含量均较高的情况下，拉乌尔(Raoult)定律给出了理想溶液在液面处的边界条件为

PAs=PAxA组分A的气体分压与摩尔分数有关

由理想气体状态方程，可得物质的量浓度CAs17.2质量传输过程的定解条件对于纯液态或纯固态扩散到混②组分A在液体中的溶解度较低时，其溶解度与气相平衡分压之间服从亨利(Henry)定律：PA=HxA同样，当气固两相平衡时：cA,solid=S·PA17.2质量传输过程的定解条件(2)系统表面的质量流密度为已知：它可以是时间的函数，也可以是常数，甚至为零。对于不同的界面反应，通常有三种情况：①某组分的反应流密度与其他组分的反应流密度符合化学计量数；②界面上存在某一限定的化学反应速率，该速率以梯度形式影响边界上的组分流密度；③当扩散组分经过一个瞬时反应而在边界上消失时，该组分浓度一般可假设为零。因此，组分A成为限制化学反应的物质。②组分A在液体中的溶解度较低时，其溶解度与气相平衡分压之间(3)给定边界条件上的对流速率：当流体流过有质量传输的表面时，对流传质作用决定了流密度，如在边界上，即z＝0处，扩散经过液体边界层的对流传质流密度为：17.2质量传输过程的定解条件(4)对于给定边界层上组分A的流动流密度等于零。工程技术感兴趣的是寻找因非渗透表面或中心对称可控体积而导致的零流密度的位置，或是其流密度值如下式所示的位置：(5)系统内各物性为已知。系统由参与传质过程的各物性来确定，如扩散系数、对流传质系数、浓度、密度、热容等物性。(3)给定边界条件上的对流速率：当流体流过有质量传输的表面[例题17-1]半导体扩散工艺中，包围硅片的气体中含有大量的杂质原子，杂质不断地通过硅片表面向内部扩散，在下述两种情况下确定该硅片的边界条件。①半导体的扩散工艺是恒定表面浓度扩散，即硅片表面的杂质浓度保持一定；②半导体的扩散工艺是限定源扩散，仅有硅表面已有的杂质向硅片内部深处扩散，没有外来的杂质通过硅片表面进入硅片内部。解：①半导体的扩散工艺是恒定表面浓度，边界在硅片表面上，即z=0和z=l。此时可看成一维问题，边界上杂质的浓度保持常数c0。此时边界条件可写为：c(z＝0，t)=c0，c(z＝l，t)=c0；②半导体的扩散工艺是限定源扩散，没有外来杂质通过硅片表面进入硅片，仅是硅表面已有的杂质向硅片内部深处扩散，因此通过硅片表面的扩散流强度为0：17.2质量传输过程的定解条件[例题17-1]半导体扩散工艺中，包围硅片的气体中含有大量模拟分子扩散的过程可依据费克定律和传质微分方程加以适当简化。通常，大部分涉及分子扩散的问题包含以下五个步骤。(1)画出物质系统图，标注重要参数(包括系统边界)，明确传质的来源和接收位置。(2)写出基于物质系统的一系列假设，列出式清单。在发展该模型并添加更多条件时，更新这些式。(3)选择描述该物质系统的最佳坐标系，依据费克定律和质量传输微分方程，写出包括该过程体积参数在内的、用于描述基于以上几何系统和这些假设的物料恒算微分形式。分析质量传输方程时，注意物质系统中不用的参数项。17.3模拟分子扩散过程的步骤模拟分子扩散的过程可依据费克定律和传质微分方程加以适当简化。如：稳态系统、在该体积的扩散系统内无化学反应，RA=0、按具体情况选择合适的坐标系，可以简化微分方程。另外，将过程的微分体积参数表示为一种宏观上的平衡。费克定律通过建立流密度与体积影响因素之间的关系得以简化。如，消除空间某一方向上二元气体混合物A、B组分的流密度。考虑相对于固定坐标的气体的摩尔流密度17.3模拟分子扩散过程的步骤如NAz=-NBz，则yA(NAz+NBz)＝0。如yA(NAz+NBz)≠0，由于NAz总等于cAυz，则减少cAυz即能够减少混合物中组分A的浓度。若该浓度分布需要列出微分方程，则费克定律的简化形式须由质量传输微分方程的简化如：稳态系统、在该体积的扩散系统内无化学反应，RA=0、按具17.3模拟分子扩散过程的步骤

形式来代替。若该浓度分布需要列出微分方程，则费克定律的简化形式须由质量传输微分方程的简化形式来代替。(4)识别和说明边界条件以及内部条件。如：①z＝0的表面或界面处组分A的浓度，假设为cA=cA0。该浓度可用某些平衡关系表示，如亨利定律。②扩散体系的中心对称条件，或者可以说，在z=0的表面或界面处组分A的净流密度NAz|z=0=dcA/dz。③表面或界面处组分A的对流流密度，设为NA=kC(cAs-cA∞)。④已知z=0的表面或界面处组分A的对流流密度，假设为NAz|z＝NA0。17.3模拟分子扩散过程的步骤形式来代替。17.3模拟分子扩散过程的步骤⑤已知表面或界面处的化学反应。若组分A在z=0界面上反应消耗的速率非常快，则假设为cAs=0。若反应速率较慢，对于有限的cAs，则假设NAz=k’cAs。其中，k’为一级反应的反应常数。(5)通过微分物料恒算方程以及边界内部条件的结果，解微分方程，求得浓度分布、流密度或其他工程上感兴趣的参数。若可行，首先考虑更复杂问题的渐进解答或限制条件。[例题17-2]在清洁的硅片表面上沉积