微积分考试及答案汇总

0202《微积分(下)》2015年12月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题3分)填空题(5道题，每题3分)计算题(6道题，平均每题8-9分)证明题(一般1道题，每题7分)。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、广义积分和定积分的应用广义积分知识范围广义积分的概念无穷积分的收敛性与判别法瑕积分的收敛性与判别法考核要求理解无穷积分和瑕积分的概念及几何意义掌握非负函数无穷积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法知道瑕积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法定积分的应用知识范围掌握定积分在几何计算平面图形的面积掌握定积分在几何计算旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用考核要求掌握定积分在几何计算平面图形的面积掌握旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积的计算掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用第二章、级数(一)数项级数知识范围数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基本知识级数收敛的必要条件正项级数敛散性判别法比较判别法比值判别法一般项级数交错级数绝对收敛条件收敛莱布尼兹判别法积分判别法阿贝尔判别法狄里克莱判别法考核要求掌握数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基本知识级数收敛的必要条件熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法掌握一般项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法、了解任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄里克莱判别法函数列与函数项级数知识范围函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法一致收敛函数列与函数项级数的性质考核要求掌握函数列及其一致收敛性概念掌握函数项级数及其一致收敛性概念掌握一致收敛性M-判别法，了解阿贝尔判别法和狄里克莱判别法掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质幂级数知识范围幂级数的概念幂级数的收敛区间和收敛半径幂级数的展开幂级数的性质，幂级数的运算幂级数的展开考核要求理解幂级数的概念熟练掌握幂级数的收敛区间和收敛半径掌握幂级数的性质会幂级数的运算掌握简单初等函数的幂级数的展开第三章、多元函数(一)多元函数的极限与连续知识范围多元函数与平面点集完备性定理二元函数的定义域二元函数的几何意义二元函数极限累次极限二元函数的连续性概念有界闭区域上连续函数的性质考核要求理解多元函数与平面点集知道上的完备性定理掌握二元函数的定义域理解二元函数的几何意义掌握二元函数极限的概念掌握累次极限的概念理解二元函数的连续性概念理解有界闭区域上连续函数的性质(二)多元函数微分学知识范围多元函数可微性与全微分的概念多元函数偏导数的概念可微性的几何意义与应用复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分方向导数与梯度高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题考核要求理解多元函数可微性与全微分的概念理解多元函数偏导数的概念了解可微性的几何意义与应用掌握复合函数微分法熟练掌握复合函数的求导法则掌握复合函数的全微分的求法掌握方向导数与梯度及计算掌握高阶偏导数的求法知道多元函数的微分中值定理和泰勒公式理解多元函数极值问题掌握二元函数自由极值求法第四章、隐函数知识范围隐函数概念隐函数存在性条件的分析隐函数定理隐函数的求导隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线条件极值考核要求了解隐函数概念了解隐函数存在性条件的分析了解隐函数定理掌握隐函数的求导运算了解隐函数组概念了解隐函数组定理了解反函数组与坐标变换掌握平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线的概念及计算掌握多元函数条件极值的拉格朗日乘数法第五章、重积分知识范围二重积分的概念二重积分的可积条件直角坐标系下的二重积分计算格林公式曲线积分与路线无关性二重积分的变量变换三重积分的概念三重积分的可积条件直角坐标系下三重积分计算三重积分的变量变换重积分的应用曲面的面积重积分在物理学上的应用考核要求理解二重积分的概念理解二重积分的可积条件熟练掌握直角坐标系下的二重积分计算熟练掌握极坐标系下的二重积分计算理解格林公式理解曲线积分与路线无关性的条件会二重积分的变量变换理解三重积分的概念理解三重积分的可积条件掌握直角坐标系下三重积分计算会三重积分的变量变换会柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算

掌握重积分在几何上的应用掌握曲面的面积的计算掌握重积分在物理学上的简单应用第六章、微分方程初步知识范围微分方程的概念，阶数判断一阶微分方程的解法可降阶的高阶微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法及其应用考核要求理解微分方程的概念，熟练掌握阶数判断的方法理解一阶微分方程的解法，会进行计算掌握可降阶的高阶微分方程及其解法了解二阶常系数线性微分方程，它的解法，和在实际问题中的应用三练习题单选题1.limu=0是级数£1.limu=0是级数£u收敛的()ns'n=1B、A、充分条件必要条件C、充要条件D、无关条件2.下列级数中发散的是(£-1n2

n=1c、£印3.下列级数中绝对收敛的是A、£-1n2

n=1c、£印3.下列级数中绝对收敛的是A、B、D、Y1—cos—nn=1£【2)£—<2n+1n=1C、£(-1)n-1』n=1Vn34.£L+1的收敛区间为(nn=1A、(-1,1)A、B、D、£(->ffn=1I27£(-1)心nn=1B、[-1,1]C、[-1,1)D、(-1,1]正项级数Yu收敛的充要条件为(B、A、limu=B、nnsC、limSC、limS存在，(S=u+u+…+u)D、nnsnT8un6.设z=z(x,y)是由方程ex-xyz=0所确定的隐函数，A、B、ex-A、B、ex-yzC、x(1+z)D、yx(1-z)x-y007.设函数f(x,y)的驻点为(x,y)，且f//(x,y)=A,f//(x,y)=B,f//(x,y)=x-y00yy00xx00yyA=B2-AC，则*y0)为极大值点充分条件是A、A>0,AA、A>0,A>0B、A>0,A<0C、A<0,A>0D、A<0,A<08.设D=lx,y)|12Wx2+y2W32｝，则jjdxdy=(DA、9kB、A、9kB、2kC、4kD、8k9.y=e2x是哪个微分方程的解()A、y'+yA、y'+y=0B、y'-y=0C、y'+2x=0D、y'-2y=010.方程y''-2y'+5y=0的通解是()A、eA、ex(Ccos2x+Csin2x)B、ex(Cx+C)C、qcos2x+Csin2xD、ex二、填空题1.幂级数Y(-1)"挡的和函数是2.二元函数y2.二元函数y=1v'x2+y2-1的定义域为.微分方程y”+2y，+y=0的解是.4.若z=f(u)可导，u=x2-y2，贝dxdy5.二兀函数f(x,y)=(x-1)2+(y-2)2的极小值点是

6、微分方程y”-7y'+12y=0的通解为7、二兀函数f(x,y)=(x-1)2+(y-2)2的极小值点是.8、微分方程xdx+ydy=0的通解为.三、计算题1.设x+y2+z=lnyx+y2+z，求色.1.dx2、计算二重积分jj；做，其中D是由圆周x2+y2=2x围成的闭区域."'4一x2一y23、计算积分I=j1dyfysinxdx的值.(提示：先改变积分次序)0yx4、判断级数Y—的收敛性.3〃n!n=15、将函数f(x)=一x一展成x的幂级数…x2一5x+66、求幂级数芝nxn-1的和.n=17、求函数z=xy(a-x-y)的极值(a>0).8、设z=x3+y3-3xy，求它的极值.9、求微分方程xdy+y=cosx的通解.dx10、求jj<x2+y2dxdy，其中D=Zx,y)|x2+y2W四、证明题1、设z=xy(x>0,x尹1)，证明x^z+1°z=2z.ydxInxdy四、习题答案一、单选题BBCCCBDDDA二、填空题3.xe-x4.-4xyf".5(1,2).6、y=Ce3x+Ce4x.7、(1,2).8、x2+y2=C.三、计算题1.提示：隐含数求导法色=-1.dx提示：ffdxdy=上def加―———dr=2上(2—2cos吨0=2兀—4.d,4-x2-y2-；o<4-r2-；提示：I=1-sin1.4、收敛.提示：应用比值法lim知=lim11+-、a、3

nT9n4、收敛.n5、提示：f(x)=x2-5x+6(x-3)(x-2)A7A7-3X-21一217+1-s3礼。上21一2>4Q¥I--L_^7-=O-一一--6、提示：利用幕级数逐项求积法:令sG)=znxn-i,逐项积分=EXn=工+尤2+・.・=.1-Xn=l0〃=1/、'[X所以sO)=—=7——,xe(-l,l).Enxn=xSM=-——,xe(-l,l).U-Z(if》,(1-^)2n=l7、提示：利用判定极值点的方法：渲**十'"°,解出驻点(0,0),V=x\a-x-y)-xy=0y'aa、0』zn=-2y,z"=a-2x-2y,z//=-2x.xxxyyy极大值点，其极大值为U3j（0,0）非极值点,8、提示:展27x=Qf/=3x2-3y=0,f/=3,2-3工=0n(i,y=0ix=12y=1i2fn=6x,f//=-3,///=6y，（0,0）非极值点，（1』）是极小值点，其极小值为-1.xxxyyyy=1（c+sinx）.10、提示：利用变量代换（极坐标变换）：JJ寸工2+yidx