冀教版九年级上册数学课件(第25章-图形的相似)

第二十五章图形的相似25.1比例线段第二十五章图形的相似25.1比例线段1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升两条线段的比成比例线段比例的性质黄金分割1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升两条线段的比为了研究相似图形，我们先来探究成比例线段的有关概念及性质.为了研究相似图形，我们先来探究成比例线段的1知识点两条线段的比观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？知1－导两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比是否相等有关.为此，需要研究线段的比.

1知识点两条线段的比观察如图所示的三个长方形，你认为哪两归纳知1－导如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分别为m和n，我们就把m和n的比叫做线段a和b的比，记作a∶b＝m∶n，或例如，如果a＝2cm，b＝3cm，那么，a∶b＝2∶3.

归纳知1－导如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长知1－讲

1.线段的比没有单位；2.线段的比是一个正数；3.线段的比与所采用的长度单位无关；4.线段的比必须是在同一长度单位下进行的．知1－讲1.线段的比没有单位；知1－讲

若a＝0.2m，b＝8cm，则a∶b＝________.例1导引：a＝0.2m＝20cm，a∶b＝20∶8＝5∶2.5∶2知1－讲若a＝0.2m，b＝8cm，则a∶b＝___总结知1－讲求线段的比时，两条线段的长度单位应该统一．

总结知1－讲求线段的比时，两条线段的长度单位应该统一知1－练

1在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是(

)A．1250km B．125kmC．12.5km D．1.25km知1－练1在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、知1－练

2正方形的对角线的长与它的边长之比是(

)A．2∶1 B．1∶2 C．1∶ D．∶13已知线段AB＝20cm，AC＝10dm，则AB∶AC＝_____知1－练2正方形的对角线的长与它的边长之比是()32知识点成比例线段知2－导观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比是否相等有关.为此，需要研究成比例线段.

2知识点成比例线段知2－导观察如图所示的三个长方形，你认知2－讲

1.定义：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．2.要点精析：定义中四条线段a，b，c，d是有先后顺序的．3.易错提示：计算线段的比时切记不要忽略统一单位．知2－讲1.定义：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的知2－讲下列各组线段中，能成比例线段的是()A．1cm，3cm，4cm，6cmB．30cm，12cm，0.8cm，0.2cmC．0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cmD．12cm，16cm，45cm，60cm例2D知2－讲下列各组线段中，能成比例线段的是()例2D知2－讲导引：从比例线段的概念入手.作为选择题，可逐个排查.为了能迅速找到比例关系，可首先对数据按大小排序，以减少试验的次数.A中的它们不成比例；B中的它们不成比例；C中的它们不成比例；D中的它们成比例.故选D.知2－讲导引：从比例线段的概念入手.作为选择题，可逐个排查.知2－讲方法技巧：如果说四条线段a、b、c、d是成比例线段，则这四条线段的顺序就确定了，也就是说，只能写成这一种形式，而不能写成其它的形式.知2－讲方法技巧：如果说四条线段a、b、c、d是成比例线总结知2－讲判断线段是否成比例，其基本方法是先排序，后求比值，再看比值是否相等.总结知2－讲判断线段是否成比例，其基本方法是先排序，知2－练1下列四组不同长度的线段中，不是成比例线段的一组是(

)

A．1cm，2cm，3cm，6cmB．2cm，3cm，4cm，6cmC．1cm,D．1cm，2cm，3cm，5cm

知2－练1下列四组不同长度的线段中，不是成比例线段的一组是知2－练2下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是(

)A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，3

知2－练2下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是(知2－练3四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，d＝4cm，c＝6cm，则b等于(

)A．8cm B.cmC.cm D．2cm

知2－练3四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，3知识点比例的性质知3－导如果线段a，b，c，d成比例，那么ad和bc相等吗?为什么?反之，如果线段a，b，c，d满足ad＝bc,那么这四条线段成比例吗?为什么?

3知识点比例的性质知3－导如果线段a，b，c，d成比例归纳知3－导比例的基本性质

即b2＝ac，就把b叫做a，c的比例中项.归纳知3－导比例的基本性质知3－讲问题我们知道，由可以得到类似地，如果你认为会有怎样的结果?请说明理由.

知3－讲问题知3－讲事实上，若设则有a＝kb，c＝kd，···，m＝kn.所以a＋c＋···＋m＝kb＋kd＋···kn＋＝k(b＋d＋···＋n).因为b＋d＋···＋n≠0，所以即

知3－讲事实上，若设知3－讲若5x－4y＝0，则例3从比例线段的性质入手.根据比例的基本性质把5x－4y＝0变形为：然后利用合比性质变形即得.也可使用“设参数”的方式，代入后约分即可.分析：知3－讲若5x－4y＝0，则例3从比例线段的性质入手.知3－讲∵5x－4y＝0，∴∴令x＝4k，y＝5k，则解：知3－讲∵5x－4y＝0，解：总结知3－讲当有连等式时常用设参数的方法，实际上，当出现比例时，设参数也是非常奏效的方法.总结知3－讲当有连等式时常用设参数的方法，实际上知3－练1若，则等于(

)A. B.C. D.

知3－练1若，则2

【中考·东营】若＝的值为(

)A．1 B.C. D.知3－练

2【中考·东营】若知3－练3如果的值是(

)A. B.C. D.

知3－练3如果4知识点黄金分割知4－导如图，已知线段AB＝a，点C在AB上.

当时，线段AC的长是多少?在上述问题中，设AC＝x，建立关于x的方程x2＋ax—a2＝0，可解得x＝取其正根，得CBA4知识点黄金分割知4－导如图，已知线段AB＝a，点C在A知4－讲1.在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，称为黄金比．其比值是近似值是0.618.2.每条线段上的黄金分割点都有两个．

知4－讲1.在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线知4－讲已知线段AB＝6cm，点P为线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为___________________________．例4

一条线段有两个黄金分割点，∴要分两种情况计算．当AP＞PB时，∵AB＝6cm，∴AP＝当AP＜PB时，PB＝∴AP＝AB－PB＝(9－3)cm.错误答案：错解分析：知4－讲已知线段AB＝6cm，点P为线段AB的黄金分割点，总结知4－讲本题运用了分类讨论思想，分AP是较短线段和较长线段两种情况计算．

总结知4－讲本题运用了分类讨论思想，分AP是较短线段知4－练1如图，AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2＝BD·AB，求的值．

知4－练1如图，AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在A知4－练2如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且AC＞BC，下列说法错误的是(

)A．如果那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，则线段AC与AB的比叫做黄金比D．如果线段AB被点C黄金分割，则＝0.618

知4－练2如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC，BC，判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法1，判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方法2，判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等．若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线段．可简记为“一排(排顺序)、二算(算比值或乘积)、三判(判断是否是成比例线段)”．判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线1.比例的基本性质：如果那么ad＝bc.比例的基本性质反过来也成立，即：如果ad＝bc，那么(b，d≠0)，也可推得(c，d≠0)．2.比例中项：如果即b2＝ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．3.比例还有以下常用性质：(1)合比性质：如果那么(2)分比性质：如果那么1.比例的基本性质：如果那么a第二十五章图形的相似25.2平行线分线段成比例第1课时算平行线分线段成比例的基本事实及推论第二十五章图形的相似25.2平行线分线段成比例第1课1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的基本事实推论1平行线分线段成比例的基本事实推论21课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升平行线分线段成比例的1.什么是线段的比?2.什么是成比例线段?3.你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2∶3?1.什么是线段的比?1知识点平行线分线段成比例的基本事实问题1.在下图中，所有已知条件如前所述，结合下列条件回答：线段AB，BC之间具有什么关系?等于多少?

相等吗?请说明理由.(1)在图(1)中，d1＝1，d2＝2.(2)在图(2)中，d1＝2，d2＝3.知1－导1知识点平行线分线段成比例的基本事实问题知1－导知1－导

2.猜想：在图25-2-1中，相等吗?

事实上，经过观察、测量、验证等过程，我们发现：一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比，都等于它们所对应的两条平行线之间的距离之比.知1－导2.猜想：在图25-2-1中，归纳知1－导基本事实两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例.

归纳知1－导基本事实两条直线被一组平行线所截，截得的对知1－讲

1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例．数学表达式：如图，∵l3∥l4∥l5，∴可简记为：知1－讲1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平知1－讲

要点精析：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等．2.易错警示：当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线．知1－讲要点精析：知1－讲

如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是(

)A. B.C. D.例1C知1－讲如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列知1－讲

导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断．根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解．∵AB∥CD∥EF，∴故选项A，B，

D正确．∵CD∥EF，∴故选项C错误.知1－讲导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形总结知1－讲在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例．

总结知1－讲在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可知1－练1如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE=1，则EF的值为(

)A．B．C．6D．ACBDEFl3l1l2知1－练1如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3知1－练

2【中考·杭州】如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若等于(

)A.B.C.D．1知1－练2【中考·杭州】如图，已知直线a∥b∥c，直线知1－练

3【中考·舟山】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为(

)A.B．2C.D．知1－练3【中考·舟山】如图，直线l1∥l2∥l3，直2知识点平行线分线段成比例的基本事实推论1知2－导已知：如图25-2-3，直线EF平行于△ABC的边BC，与BA，CA(或它们的延长线)分别相交于点E，F.求证：

2知识点平行线分线段成比例的基本事实推论1知2－导已知：如图知2－导事实上，对于图25-2-3(1)的情形，如图25-2-4(1)，过点A作PQ∥EF，那么PQ//EF//BC.依据平行线分线段成比例的基本事实，即得

知2－导事实上，对于图25-2-3(1)的情形，如图25知2－导

因为所以对于图25-2-3(2)的情形，如图25-2-4(2)，同理可得知2－导因为所以归纳知2－导平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

归纳知2－导平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边知2－讲

1.数学表达式：如图，∵DE∥BC，∴

2.要点精析：(1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形一顶点，一条在三角形一边上的一种特殊情况．(2)成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段．知2－讲1.数学表达式：如图，知2－讲已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，EF与两边AB，AC分别相交于点E，F.求证：例2

知2－讲已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，EF与两边AB知2－讲证明：∵EF∥BC,∴如图，过点E作EG∥AC，EG与边BC相交于点G，则∵EF∥BC，EG∥AC，∴四边形EGCF为平行四边形，从而GC＝EF.

知2－讲证明：∵EF∥BC,总结知2－讲利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线段长时，关键要扣住由平行线截得的线段间的对应关系，相同位置的线段写在相同的位置上．

总结知2－讲利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求知2－练1如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6cm，CD＝9cm，BF＝7cm.则BC＝________．

知2－练1如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6cm，CD知2－练2

【中考·兰州】如图，在△ABC中，DE∥BC，若等于(

)A.B.C.D.

知2－练2【中考·兰州】如图，在△ABC中，DE∥BC，知2－练3如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例式中不成立的是(

)A．OC∶OD＝OA∶OBB．OC∶OD＝OB∶OAC．OC∶AC＝OD∶DBD．BD∶AC＝OD∶OC

知2－练3如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列3知识点平行线分线段成比例的基本事实推论2知3－导平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例．

3知识点平行线分线段成比例的基本事实推论2知3－导平行于知3－讲如图，在△ABC中，EF∥BC，BC＝9，则和EF分别是(

)A.，3B.，6C.，9D．无法确定例3

A知3－讲如图，在△ABC中，EF∥BC，知3－讲因为EF∥BC，所以

BC＝9，所以所以EF＝3.答案：A分析：

知3－讲因为EF∥BC，所以分析：总结知3－讲本题运用了方程思想解答，利用平行线分线段成比例基本事实的推论建立有关线段的比例式，通过比例式把线段的长代入，通过解方程求出线段的长．

总结知3－讲本题运用了方程思想解答，利用平行线分线段知3－练1【中考·雅安】如图，在ABCD中，E在AB上，CE，BD交于F，若AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，则DF＝______.

知3－练1【中考·雅安】如图，在ABCD中，2如图所示，在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF等于(

)A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．2∶5知3－练

2如图所示，在ABCD中，点E为AD的中点，连接平行线除了具备构成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例．利用平行线得线段成比例的基本思路：(1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“型”或“型”，得到相应的比例式；(2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线．平行线除了具备构成“三线八角”相等或互补的功第二十五章图形的相似第2课时平行线分线段成比例的应用习题课第二十五章图形的相似第2课时平行线分线段习题课名师点金利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行线为一组(两条以上)时，可直接利用平行线分线段成比例的基本事实证明；若平行线只有两条时，则利用平行线分线段成比例的基本事实的推论证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线段时，则利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进行论证．名师点金利用平行线证比例式或等积式的方法：1类型证比例式技巧1中间比代换法证比例式如图，已知在△ABC中，点D，

E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，

(1)求证：

(2)AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB的值．1类型证比例式技巧1中间比代换法证比例式如图，已知在∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB为平行四边形．∴DE＝BF.∵DE∥BC，∴∵EF∥AB，∴又∵DE＝BF，∴∴(1)证明：∵DE∥BC，EF∥AB，(1)证明：∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.(2)解：∵AD∶DB＝3∶5，(2)解：技巧2等积代换法证比例式如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，连接BF，求证：技巧2等积代换法证比例式如图，在△ABC中，D是AB上证明：∵DE∥BC，∴∴PD·PC＝PE·PB.∵DF∥AC，∴∴PD·PC＝PF·PA.∴PE·PB＝PF·PA.∴证明：∵DE∥BC，∴证明：∵EF∥CD，∴∵DE∥BC.∴∴技巧3等比代换法证比例中项如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.

求证：证明：∵EF∥CD，技巧3等比代换法证比例中项如图，在技巧4平行法证比例式4．如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD

交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接GF.

求证：(1)△ACE≌△BCD；

(2)技巧4平行法证比例式4．如图，已知B，C，E三点在同一(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS)．证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，证明：(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠AEC.

又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE

＝60°＝∠FCE，CD＝CE，∴△GCD≌△FCE(ASA)．∴CG＝CF.∴△CFG为等边三角形．∴∠CGF＝∠ACB＝60°.∴GF∥CE.∴(2)∵△ACE≌△BCD，2类型证线段相等技巧5等比例过渡法证线段相等(等比例过渡法)5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，

CF∥BA交DE的延长线于点F.

求证：DE＝EF.2类型证线段相等技巧5等比例过渡法证线段相等(等比例过证明：∵DE∥BC，∴∵点D为AB的中点，∴AD＝DB，即∵CF∥BA，∴∴DE＝EF.证明：∵DE∥BC，∴3类型证比例和为1技巧6同分母的中间比代换法6.如图，已知AC∥FE∥BD，求证：3类型证比例和为1技巧6同分母的中间比代换法6.如∵AC∥EF，∴①.又∵FE∥BD，∴②.①＋②，得即证明：∵AC∥EF，证明：第二十五章图形的相似25.3相似三角形第二十五章图形的相似25.3相似三角形1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升相似三角形平行线判定三角形相似相似三角形性质的应用1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升相似三角形对应角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三角形．相仿地，我们来学习相似三角形的有关知识．对应角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三1知识点相似三角形这两个三角形的形状相同，所以它们是相似三角形.知1－导BCAB′C′A′1知识点相似三角形这两个三角形的形状相同，所以它们归纳知1－导对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(similartriangles)．相似三角形对应边的比叫做它们的相似比(similarratio).

归纳知1－导对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做知1－导

如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，即△ABC与△A′B′C′相似.△ABC与△A′B′C′的相似比为k.△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”.知1－导如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A知1－讲

1.要点精析：(1)若两个三角形相似，则三个角分别相等，三条边成比例；(2)相似三角形具有传递性：即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″；(3)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形是相似比为1的相似三角形．知1－讲1.要点精析：知1－讲

2.易错警示：(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点的字母写在对应位置上．(2)顺序性：求两相似三角形的相似比时，要注意顺序性．若当△ABC∽△A′B′C′时，则△A′B′C′∽△ABC时，知1－讲2.易错警示：知1－讲

如图，△AEF∽△ABC.(1)若AE＝3，AB＝5，EF＝2.4，求BC的长.(2)求证：EF∥BC.(1)∵△AEF∽△ABC，∴又∵AE＝3，AB＝5，EF＝2.4，∴例1解：知1－讲如图，△AEF∽△ABC.例1解：知1－讲(2)∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF＝∠B.∴BF∥BC.

知1－讲(2)∵△AEF∽△ABC，总结知1－讲根据相似三角形的定义进行判断，即证出三个角分别相等，三条边成比例即可．

总结知1－讲根据相似三角形的定义进行判断，即证出三个知1－练1如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，AD＝6，DC＝2，AE＝4，EB＝8，则△ABC与△ADE的相似比是__________，△ADE与△ABC的相似比是__________．

知1－练1如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上知1－练

2如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于(

)A．40°B．60°C．80°D．100°知1－练2如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠知1－练

3如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC＝1，则EF的长是(

)A．1B．2C．3D．4知1－练3如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若B2知识点平行线判定三角形相似知2－导思考如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？2知识点平行线判定三角形相似知2－导思考知2－讲我们知道，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.进而可知，这样截得的三角形与原三角形相似.已知：如图,EF∥BC，与AB，AC(或它们的延长线)相交于点E，F.求证：△AEF∽△ABC.知2－讲我们知道，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交知2－导

证明：如图(1)，在△AEF和△ABC中，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，且又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC.同理可证其他情况.知2－导证明：如图(1)，在△AEF和△ABC中，归纳知2－导平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似.

归纳知2－导平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们知2－讲如图，在ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，连接AC，则图中与△DEF相似的三角形共有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个例2

B知2－讲如图，在ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接B知2－讲

证明：由于四边形ABCD是平行四边形，因此FD∥BC，DE∥AB.于是可从图中找出符合“A”型相似的△DEF与△CEB，符合“X”型相似的△DEF与△ABF.故选B.知2－讲证明：由于四边形ABCD是平行四边形，因此FD∥B总结知2－讲利用平行线寻找相似三角形的方法：在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，也是今后解本类题目的首要之选．

总结知2－讲利用平行线寻找相似三角形的方法：在线段较知2－练1如图，四边形ABCD的边AB，CD都平行于EF，BD交EF于点G，CG的延长线交AD于点H，则图中相似三角形有______对．

知2－练1如图，四边形ABCD的边AB，CD都平行于EF，知2－练2

【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③其中正确的有(

)A．3个B．2个C．1个D．0个

知2－练2【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别知2－练3如图，已知AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(

)A．0对B．3对C．2对D．1对

知2－练3如图，已知AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(3知识点相似三角形性质的应用知3－导如图所示，要测量一个池塘的长是多少，不能直接测量的距离，小明做了△ABC，取池塘的两个点D，E，使DE∥BC，测出BC，AD，AB的长就可以算出DE的长，你知道为什么吗？原来由DE∥BC可以得到△ABC∽△ADE，所以AD∶AB＝DE∶BC3知识点相似三角形性质的应用知3－导如图所示，要测量一个归纳知3－导通过建立相似三角形数学模型可以解决实际问题归纳知3－导通过建立相似三角形数学模型可以解决实际知3－讲【中考·宁德】如图，在ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC＝________．例3

4知3－讲【中考·宁德】如图，在ABCD中，AE＝EB，A知3－讲

导引：有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相似，就有对应边的比相等，就能求出FC的长．在ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，∴△AEF∽△CDF.∴∵AE＝EB，∴∴FC＝2AF＝4知3－讲导引：有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相总结知3－讲求线段的长的方法：对于三角形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，当所求的线段或已知线段在平行的边上时，通常考虑通过找三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段的长；当所求的线段或已知线段不在平行的边上时，则考虑直接用平行线截线段成比例求线段的长．

总结知3－讲求线段的长的方法：对于三角形被平行线所截知3－练1【中考·株洲】如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是(

)A.B.C.D.

知3－练1【中考·株洲】如图，已知AB，CD，EF都与2如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是(

)A.B.C.D.知3－练

2如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式3

【中考·毕节】如图，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，DE＝4，则BC等于(

)A．10B．8C．9D．6知3－练

3【中考·毕节】如图，在△ABC中，DE∥BC，AE∶1.相似三角形的定义具有两种功能：判定和性质，即对应边成比例、对应角相等⇔两个三角形相似，注意相似比具有顺序性．2.平行线截三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似．数学表达式：如图，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.1.相似三角形的定义具有两种功能：判定和性质，即对知3－讲要点精析：根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC∥DE，图(1)(2)很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图(3)很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”)．3.作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理：它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例.知3－讲要点精析：根据定第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定第1课时用角的关系判定两三角形相似第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定第1课时1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升相似三角形的判定定理1相似三角形的判定定理的应用1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升相似三角形的判定定理三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形1知识点相似三角形的判定定理11.如图(1)，这两个等腰直角三角形相似吗?说说理由.2.如图(1)，这两个等腰直角三角形相似吗?说说理由.3.如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？知1－导1知识点相似三角形的判定定理11.如图(1)，这两个等腰直知1－导问题如图，已知∠α，∠β(1)分别以∠α，∠β为两个内角，任意画出两个三角形.(2)量出这两个三角形各对应边的长，并计算出相应的比.这两个三角形相似吗？我们发现：有两个角对应相等的两个三角形相似.知1－导问题(1)分别以∠α，∠β为两个内角，任意画出两知1－导

已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.知1－导已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠知1－导证明：如图，在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上，分别截取AD＝A′B′，AE＝A′C′，连接DE.∵∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A'B'C'.∴∠ADE＝∠B′，∠AED＝∠C′，DE＝B′C′，又∵∠B＝∠B′，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC.∴△ADE∽△ABC.

知1－导证明：如图，在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线知1－导

∴△ADE∽△ABC.∴∴又∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′.∴△ABC∽△A′B′C′.若△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△A′′B′′C′′，则△ABC∽△A′′B′′C′′.知1－导∴△ADE∽△ABC.若△ABC≌△A′B′C′归纳知1－导两角对应相等的两个三角形相似.

归纳知1－导两角对应相等的两个三角形相似.知1－讲

已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF.例1证明：∵DE∥BC.∴∠ADE＝∠B.又∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDF.∴△ADE∽△DBF.知1－讲已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB总结知1－讲当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角(或补角)等．

总结知1－讲当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，知1－练1顶角相等的两个等腰三角形相似吗?有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似吗?请说出你的理由.2如图，已知三个三角形，相似的是(

)A．①和②B．②和③C．①和③D．①和②和③

知1－练1顶角相等的两个等腰三角形相似吗?有一个底角对应知1－练

3如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中的相似三角形共有(

)A．1对B．2对C．3对D．0对知1－练3如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥A2知识点相似三角形的判定定理的应用知2－讲

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于E，交CA的延长线于F.求证：DA2＝DE·DF.例2导引：如果把等积式DA2＝DE·DF转化为比例式可以看出这四条线段分别是△ADE与△ADF中的线段，若能证明△ADE∽△FDA，则能得到所要证明的结论．2知识点相似三角形的判定定理的应用知2－讲如图，在△ABC知2－讲

证明：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BC＝DB，∴∠B＝∠DAB.∵DF⊥BC于D，∴∠C＋∠F＝90°.∵∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠F.∴∠DAB＝∠F.又∵∠ADE＝∠FDA，∴△ADE∽△FDA，∴DA2＝DE·DF.知2－讲证明：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，D为BC的总结知2－讲用相似三角形证明等积式或者比例式的一般方法：把等积式或者比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．

总结知2－讲用相似三角形证明等积式或者比例式的一般方知2－练1已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为边AC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△AED∽△ABC.

知2－练1已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为知2－练2如图所示，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为(

)A．1B.C．2D.

知2－练2如图所示，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DB知2－练3如图所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠DAE＝∠ABC＝90°，AB＝AD，E为AB的中点，AC⊥DE于点O，则等于(

)A.B.C.D.

知2－练3如图所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠DA“三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出比例式或等积式(或变化后的式子)中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角形．通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中．“三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定第2课时用边角关系判定两三角形相似第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定第2课时1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升相似三角形的判定定理2相似三角形的判定定理的应用1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升相似三角形的判定定理今天是格格的生日，妈妈给她买了一块三角形蛋糕，格格看到蛋糕兴奋不已，但是妈妈提出来一个要求：把蛋糕切成两份，其中一份和原蛋糕一定要相似．格格知道妈妈想要培养自己运用数学知识的能力，思索了一会儿，就按妈妈的要求切好了蛋糕．你能按要求切好这份蛋糕吗？今天是格格的生日，妈妈给她买了一块三角形蛋糕，1知识点相似三角形的判定定理2利用刻度尺和量角器画△ABC与∆A1B1C1，使∠A＝∠A1，都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等?知1－导1知识点相似三角形的判定定理2利用刻度尺和量角器画△A知1－导学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.延伸问题：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论?(利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断.)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。知1－导学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边归纳知1－导两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

归纳知1－导两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似知1－讲

已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝60°，AB＝4cm，AC＝8cm，A′B′＝11cm，A′C′＝22cm.求证：△ABC∽△A′B′C′.例1证明：∵∴又∵∠A＝∠A′＝60°，∴△ABC∽△A′B′C′.知1－讲已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝总结知1－讲利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：首先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似．

总结知1－讲利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形知1－练1根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由:(1)∠A＝36°，AB＝2.5cm，AC＝7.5cm；∠A′＝36°，A′B′＝3cm，A′C′＝9cm.(2)AC＝2A′C′，BC＝2B′C′.

知1－练1根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相知1－练

2下列各组条件中，一定能推得△ABC与△EFD相似的是(

)A．∠A＝∠E且∠D＝∠FB．∠A＝∠B且∠D＝∠FC．∠A＝∠E且D．∠A＝∠E且知1－练2下列各组条件中，一定能推得△ABC与△EFD相知1－练

3【中考·河北】如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(

)知1－练3【中考·河北】如图，在△ABC中，∠A＝782知识点相似三角形的判定定理的应用知2－讲

如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8，在AC上取一点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长．例2导引：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，夹这对角的两边对应成比例．但两边的对应关系无法确定，所以应分两种情况考虑．2知识点相似三角形的判定定理的应用知2－讲如图，在△ABC知2－讲

证明：设AE的长为x.∠A是公共角，要使△ADE和△ABC相似，则有即解得x＝6或x＝1.5.所以AE的长为6或1.5.知2－讲证明：设AE的长为x.总结知2－讲要使两个三角形相似，若已知有一对角相等，则需夹这对角的两边对应成比例．当无法确定对应关系时，则夹这对角的两边的比就有两种情况的可能，因此必须进行分类讨论；否则就会因漏解而致错．

总结知2－讲要使两个三角形相似，若已知有一对角相等，知2－练1已知：如图，在△ABC和△EDC中，AE＝2，EC＝6，BD＝3，DC＝9.求证：△ABC∽△EDC.

知2－练1已知：如图，在△ABC和△EDC中，AE＝2，E知2－练2如图，已知，AD＝3cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则DE的长为________．

知2－练2如图，已知知2－练3【中考·黄冈】如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝________．

知2－练3【中考·黄冈】如图，已知△ABC，△DCE，△F1.要识别两个三角形相似，要找到这两个三角形有两边成比例，再找到上述两边的夹角相等，即可判定这两个三角形相似．2.当题目中告诉两个三角形某些边的长度，又有对顶角或公共角或告诉了某个角的度数时，我们要首先考虑这个判定方法．1.要识别两个三角形相似，要找到这两个三角形有两边第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定第3课时用三边比例关系判定两三角形相似第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定第3课时1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升三边成比例的两个三角形相似网格上相似三角形的判定直角三角形相似的条件1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升三边成比例的两个三角判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢?判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似1知识点三边成比例的两个三角形相似(1)如图，在半透明纸上画一个△ABC，使AB＝1.5cm，AC＝2.5cm，BC＝2cm.再画一个△A′B′C′使A′B′＝3cm，A′C′＝5cm，B′C′＝4cm.知1－导1知识点三边成比例的两个三角形相似(1)如图，在半透明纸上画知1－导(2)比较△ABC与△A′B′C′各个角，它们对应相等吗?这两个三角形相似吗?把你的结果与同学交流.我们猜想：三边对应成比例的两个三角形相似.

知1－导(2)比较△ABC与△A′B′C′各个角，它们对应相知1－导已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，求证：△ABC∽△A′B′C′.知1－导已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，知1－导证明：如图，在△ABC的边AB上截取AE＝A′B′，过点E作EF∥BC，交AC于点F，则△ABC∽△AEF，在△ABC和∽△AEF中，∵知1－导证明：如图，在△ABC的边AB上知1－导

∴又∵∴AF＝A′C′，EF＝B′C′，∴△AEF≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.知1－导∴归纳知1－导三条边对应成比例的两个三角形相似.

归纳知1－导三条边对应成比例的两个三角形相似.知1－讲在△ABC与△A′B′C′中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，A′B′＝9，B′C′＝12，A′C′＝15，试问△ABC与△A′B′C′相似吗?为什么?例1分析：先根据边的大小求出三边的比，确定三边是否成比例，从而判断△ABC与△A′B′C′是否相似.知道两三角形三边，只要求出“短∶短”“中∶中”“长∶长”，没有必要逐一尝试.知1－讲在△ABC与△A′B′C′中，AB＝6，BC＝8，A知1－讲解：∵∴∴△ABC∽△A′B′C′.知1－讲解：∵总结知1－讲这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定方法中的“三边”要求的是“比相等”.三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.总结知1－讲这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判知1－练1已知△ABC的三边AB＝5cm，AC＝10cm，BC＝12cm，△A′B′C′的三边A′B′＝3cm，A′C′＝6cm，B′C′＝7.2cm.判断△ABC与△A′B′C′是否相似.

知1－练1已知△ABC的三边AB＝5cm，AC＝10知1－练2已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似(

)A．2cm，3cm B．4cm，5cmC．5cm，6cm D．6cm，7cm

知1－练2已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9知1－练

3一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是(

)A．19 B．17 C．24 D．21知1－练3一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它2知识点网格上相似三角形的判定知2－讲

【中考·衢州】下图中小正方形的边长均为1，则图2­2中的哪一个三角形(阴影部分)与图2­1中的△ABC相似？例2导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似．2­22­12知识点网格上相似三角形的判定知2－讲【中考·衢州】下图中知2－讲

解：易知图(1)中，三角形的三边长分别为图(2)中，三角形的三边长分别为图(3)中，三角形的三边长分别为图(4)中，三角形的三边长分别为∵∴图(2)中的三角形与△ABC相似．知2－讲解：易知总结知2－讲利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比。最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等.总结知2－讲利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似知2－练1如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的(

)A．甲B．乙C．丙D．丁

知2－练1如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方3知识点直角三角形相似的条件知3－导思考我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么，满足斜边和另一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗?事实上，这两个直角三角形相似．下面我们给出证明．3知识点直角三角形相似的条件知3－导思考知3－讲如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证则只需证分析：知3－讲如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′知3－讲证明：∴

∴∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．知3－讲证明：∴总结知3－讲直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.

总结知3－讲直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相知3－讲已知：如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．例3

知3－讲已知：如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠∴∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．知3－讲证明：

∴总结知3－讲判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．

总结知3－讲判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应知3－练1如图，在△ABC与△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.当AB的长为多少时，△ABC与△ACD相似？

知3－练1如图，在△ABC与△ACD中，∠ACB＝∠ADC知3－练2在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，EF＝6，如果Rt△ABC和Rt△DEF相似，还需要添加条件，下列条件中不可能的是(

)A．∠A＝∠D＝90°B．∠B＝∠E＝90°C．D．∠A＝∠E＝90°

知3－练2在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知AB＝2，B1.学习时采