不等式证明方法课件

不等式的证明不等式的证明1【例1】已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2.(课本P12例3)即a3+b3≥a2b+ab2.证明一：比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a>0，b>0，∴(a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b>0，而(a-b)2≥0.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)【例1】已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab22故a3+b3≥a2b+ab2.证明二：比较法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴又a>0，b>0，所以ab>0，故a3+b3≥a2b+ab2.证明二：比较法（作商）∵a2+3所以有a3+b3≥a2b+ab2.证明三：分析法欲证a3+b3≥a2b+ab2，只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).由于a>0，b>0，所以a+b>0，故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。即证明a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab显然是成立的所以有a3+b3≥a2b+ab2.证明三：分析法欲证a3+b4即a3+b3≥a2b+ab2.证明四：综合法∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a>0，b>0，∴a+b>0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).即a3+b3≥a2b+ab2.证明四：综合法∵a2+b2≥25【例2】已知a>0，b>0，求证：证明一：比较法（作差）【例2】已知a>0，b>0，求证：证明一：比较法（作差）6证明二：比较法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0.

证明二：比较法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0.7证明四:综合法证明四:综合法8a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn,

≥a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1.≥a1b2+a2b3+…+an-1bn+anb1则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbna1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn, ≥a19【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).证明一：(比较法)∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).=2abcd-a2d2-b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=-(ad-bc)2≤0.【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)10证明二：(分析法)证明三：(综合法)一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3,…,n),都有:(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.(柯西不等式)证明二：(分析法)证明三：(综合法)一般地,对任意实数ai,11【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证:.证明一:比较法(作差)【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证:证明一:比较法(12不等式证明方法课件13∵-1<a<1,-1<b<1,

∴(a-b)2≥0,(a-b)2(1+ab)≥0.1+ab>0，1-a2>0,1-b2>0,1-ab>0.所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,

∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0,(a14证明二:分析法证明三:综合法∵a2+b2≥2ab,∴-a2-b2≤-2ab.从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,

1-ab>0.证明二:分析法证明三:综合法∵a2+b2≥2ab,∴-a215证明四:换元法设a=sinα,b=sinβ,则证明四:换元法设a=sinα,b=sinβ,则16思考

≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+…)思考≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+17【例5】设a>0,b>0,且a+b=1,求证：证明一(分析法)(4a+1)(4b+1)≤916ab+4a+4b+1≤9

【例5】设a>0,b>0,且a+b=1,求证：证明一(分析法18证明二(综合法)

因为a>0,b>0,且a+b=1,所以

从而+≤.证明二(综合法) 因为a>0,b>0,且a+b=1,所以 从19【例6】已知m>0,求证:m+≥3.证明一(比较法)

∵m+-3=∴m+≥3【例6】已知m>0,求证:m+≥3.证明一(比较20证明二(综合法)m+=

证明三(函数思想)设f(x)=x+,则f’(x)=1-,令f’(x)=0,得:x=2.当0<x<2时,f’(x)<0.当x>2时,f’(x)>0.所以当x=2时,f(x)取到最大值3,

故当m>0时,有m+≥3.

=3证明二(综合法)m+=证明三(函数思想)设f21

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,方程f(x)-x=0的两根为x1,x2,且0<x1<x2<,求证:当x∈(0,x1)时,x<f(x)<x1.练习已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,方练习22谢谢大家再见谢谢大家再见23不等式的证明不等式的证明24【例1】已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2.(课本P12例3)即a3+b3≥a2b+ab2.证明一：比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a>0，b>0，∴(a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b>0，而(a-b)2≥0.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)【例1】已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab225故a3+b3≥a2b+ab2.证明二：比较法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴又a>0，b>0，所以ab>0，故a3+b3≥a2b+ab2.证明二：比较法（作商）∵a2+26所以有a3+b3≥a2b+ab2.证明三：分析法欲证a3+b3≥a2b+ab2，只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).由于a>0，b>0，所以a+b>0，故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。即证明a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab显然是成立的所以有a3+b3≥a2b+ab2.证明三：分析法欲证a3+b27即a3+b3≥a2b+ab2.证明四：综合法∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a>0，b>0，∴a+b>0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).即a3+b3≥a2b+ab2.证明四：综合法∵a2+b2≥228【例2】已知a>0，b>0，求证：证明一：比较法（作差）【例2】已知a>0，b>0，求证：证明一：比较法（作差）29证明二：比较法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0.

证明二：比较法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0.30证明四:综合法证明四:综合法31a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn,

≥a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1.≥a1b2+a2b3+…+an-1bn+anb1则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbna1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn, ≥a132【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).证明一：(比较法)∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).=2abcd-a2d2-b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=-(ad-bc)2≤0.【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)33证明二：(分析法)证明三：(综合法)一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3,…,n),都有:(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.(柯西不等式)证明二：(分析法)证明三：(综合法)一般地,对任意实数ai,34【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证:.证明一:比较法(作差)【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证:证明一:比较法(35不等式证明方法课件36∵-1<a<1,-1<b<1,

∴(a-b)2≥0,(a-b)2(1+ab)≥0.1+ab>0，1-a2>0,1-b2>0,1-ab>0.所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,

∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0,(a37证明二:分析法证明三:综合法∵a2+b2≥2ab,∴-a2-b2≤-2ab.从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,

1-ab>0.证明二:分析法证明三:综合法∵a2+b2≥2ab,∴-a238证明四:换元法设a=sinα,b=sinβ,则证明四:换元法设a=sinα,b=sinβ,则39思考

≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+…)思考≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+40【例5】设a>0,b>0,且a+b=1,求证：证明一(分析法)(4a+1)(4b+1)≤916ab+4a+4b+1≤9

【例5】设a>0,b>0,且a+b=1,求证：证明一(分析法41证明二(综合法)

因为a>0,b>0,且a+b=1,所以

从而+≤.证明二(综合法) 因为a>0,b>0,且a+b=1,所以 从42【例6】已知m>0,求证:m+≥3.证明一(比较法)

∵m+-3=∴m+≥3【例6】已知m>0,求证:m+≥3.证明一(比较43证明二(综合法)m+=

证明三(函数思想)设f(x)=x+,则f’(x)=1-,令f’(x)=0,得:x=2.当0<x<2时,