高等数学课件D3-5极值与最值

二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值

第三章二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节1定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为2注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极3定理1

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)定理1(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“4例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令5定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则6例2.求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得7定理3

(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得定理3(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时8例如

,

例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~

定理3)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~9例如

,

例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~

定理3)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~10二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.11特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)特别:当在内只有一个12例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故13因此也可通过例3.求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.因此也可通过例3.求函数说明:求最值点.与最值点相同,14(k为某常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工

20解:

设则令得又所以为唯一的极小值点,故AD=15km时运费最省.总运费厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?km,公路,价之比为3:5,(k为某常数)例4.铁路上AB段的距离为10015例5.

把一根直径为

d

的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h

和

b

应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.例5.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高16存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例8.

设某工厂生产某产品x千件的成本是解:售出x千件产品的利润为问是否故在x2=3.414千件处达到最大利润,而在x1=0.586千件处发生局部最大亏损.存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出17说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上即边际收入＝边际成本（见右图）成本函数收入函数即收益最大亏损最大说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分18用开始移动,例6.

设有质量为5kg

的物体置于水平面上,受力F

作解:

克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.设摩擦系数问力F与水平面夹角

为多少时才可使力F的大小最小?用开始移动,例6.设有质量为5kg的物体置于水平面上19令解得而因而F

取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值问题.令解得而因而F取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值20清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例7.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:

设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m

处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例7.21内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广定理3内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为022最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.

设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判232.

设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B243.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B25作业P1623;4(2)

13;15;16作业P1623;4(2)26试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:

由题意应有又

1.求出该极值,并指出它是极大即试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应27试求解:2.

故所求最大值为试求解:2.故所求最大值为28二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值

第三章二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节29定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为30注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极31定理1

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)定理1(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“32例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令33定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则34例2.求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得35定理3

(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得定理3(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时36例如

,

例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~

定理3)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~37例如

,

例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~

定理3)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~38二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.39特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)特别:当在内只有一个40例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故41因此也可通过例3.求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.因此也可通过例3.求函数说明:求最值点.与最值点相同,42(k为某常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工

20解:

设则令得又所以为唯一的极小值点,故AD=15km时运费最省.总运费厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?km,公路,价之比为3:5,(k为某常数)例4.铁路上AB段的距离为10043例5.

把一根直径为

d

的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h

和

b

应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.例5.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高44存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例8.

设某工厂生产某产品x千件的成本是解:售出x千件产品的利润为问是否故在x2=3.414千件处达到最大利润,而在x1=0.586千件处发生局部最大亏损.存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出45说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上即边际收入＝边际成本（见右图）成本函数收入函数即收益最大亏损最大说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分46用开始移动,例6.

设有质量为5kg

的物体置于水平面上,受力F

作解:

克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.设摩擦系数问力F与水平面夹角

为多少时才可使力F的大小最小?用开始移动,例6.设有质量为5kg的物体置于水平面上47令解得而因而F

取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值问题.令解得而因而F取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值48清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例7.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:

设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m

处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例7.49内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点