直线的交点坐标与距离公式优秀课件

(能用解方程组的方法求两直线的交点坐标/掌握两点间的距离公式/点到直线的距离公式/会求两条平行直线间的距离)8.3直线的交点坐标与距离公式(能用解方程组的方法求两直线的交点坐标/掌握两点间的距离公式11．两条直线是否相交的判断

两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解．因此只要将两条直线L1和L2的方程联立 (1)若方程组无解，则L1//L2； (2)若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交； (3)若方程组有无数解，则L1与L2重合．1．两条直线是否相交的判断22．点到直线距离公式

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：3．两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax＋By＋C1＝0，

l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为2．点到直线距离公式31．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为() A．6B.C．2D．不能确定 答案：B2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于() A.B．2－C.－1D.＋1 答案：C1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平43．直线l1经过点A(3,0)，直线l2经过点B(0,4)，且l1∥l2，用d表示l1，l2间的距离，则() A．d≥5 B．3≤d≤5 C．0≤d≤5 D．0<d≤5 答案：D4．直线l过点(2,1)，且原点到l的距离是1，那么l的方程是() A．x＝1或3x－4y＋5＝0 B．y＝1或3x－4y－5＝0 C．y＝1或4x－3y－5＝0 D．x＝1或4x－3y－5＝0 答案：C3．直线l1经过点A(3,0)，直线l2经过点B(0,4)，5直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点：1．可通过解方程组求得，若方程组有唯一解，则l1与l2相交；若方程组无解，则直线l1∥l2；若方程组有无数组解，则l1与l2重合．2．方程(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过l1与l2交点的直线，但不能表示直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如y－y0＝k(x－x0)不表示直线x－x0＝0.直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y6【例1】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程． 解答：解法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，则直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足 即 解得 因此直线l的方程为 ，即3x＋y＋1＝0.【例1】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－7解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由 得x＝由 得x＝则 ＝－2，解得k＝－3.因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.解法三：两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②①－②整理得3x＋y＋1＝0.解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k8变式1.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0， l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程． 解答：与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0. 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0， 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过A(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－ ∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.变式1.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l191.点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 在使用点到直线距离公式时，要注意将直线方程化为一般式， 利用点到直线的距离公式可求三角形的高线的长度等．2．使用两平行线间的距离公式时，直线方程要化为一般式，同时要使x、y前面的系数相等．1.点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离10求过点P(－1,2)且与点A(2,3)和B(－4,5)的距离相等的直线l的方程．解答：解法一：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，也适合题意．【例2】求过点P(－1,2)且与点A(2,3)和B(11解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，线段AB中点为(－1,4)．∴直线AB方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0，或x＝－1.解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为12变式2.如图所示，正方形的中心点为C(－1，0)，一条边所在的直线方程 是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程． 解答：设与x＋3y－5＝0平行的直线为x＋3y＋C1＝0， 由题意＝ ∴C1＝－5或C1＝7. 所求直线的方程为x＋3y＋7＝0.设与x＋3y－5＝0垂直的直线为 3x－y＋C2＝0，由题意＝ ∴C2＝9或C2＝－3. 所求直线的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.变式2.如图所示，正方形的中心点为C(－1，0)，一条边所13如直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，无论λ取任何实数直线l恒过一定点，定点坐标的求法大致有两种：(1)将直线方程转化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，通过解方程组(2)也可令λ＝0，λ＝1通过特殊情况求出定点的坐标，然后证明定点坐标满足方程(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0.如直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，14【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解答：(1)若a＝2，直线方程为3x＋y＝0； 显然a≠－1，当a≠2时直线方程可化为： 因此所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈15(2)由(a＋1)x＋y＋2－a＝0得a(x－1)＋(x＋y＋2)＝0.无论a取何值，直线l过A(1，－3)点，则直线l的斜率k≥0，即－(a＋1)≥0.解得a≤－1.(2)由(a＋1)x＋y＋2－a＝0得a(x－1)＋(x＋y16变式3.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d， 则d的取值范围是() 解析：本题考查数形结合思想，以及分析、转化能力．本题要直接解很困难，注意到本题的形式结构，符合直线系的形式，故可从几何意义的角度考虑问题．

变式3.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋217将直线l的方程变为：x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，它表示过直线l1：x＋y－2＝0，l2：3x＋2y－5＝0的交点且不包含第二条直线的所有直线．显然当直线过点P时距离最小为0，当直线过交点B(1,1)且与PB垂直时距离d最大为，但此时直线与已知直线l2重合，所以0≤d<.答案：A将直线l的方程变为：x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，它18【方法规律】1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题．2．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点． 特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l1：Ax＋By＋C1＝0，

l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．3．注意归纳题目类型．体会题目所蕴含的数学思想方法．如数形结合的思想；方程与函数的思想；分类讨论的思想.【方法规律】1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转19(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图所示)．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．(1)若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；(2)求折痕的长的最大值．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长20【答题模板】解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′，则折痕EF所在直线的斜率k≤0.当k＝0时，A′与D重合，EF所在直线方程为y＝当k＜0时，线段EF垂直平分OA′.故直线OA′的方程为y＝－x.则当A′与C重合时k＝－2，设OA′交EF于G点，则G点坐标为()，得EF所在直线的方程为y＝kx＋【答题模板】解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′，21(2)由(1)知线段EF的方程为y＝kx＋(－2≤k≤0)①当E与D重合时，E点坐标为(0,1)，由①式得k＝－1.当F与B重合时，F点坐标为(2,0)，由①式得k＝－2＋令f(k)＝|EF|2，则

(2)由(1)知线段EF的方程为y＝kx＋22当k∈[－2＋，0]时，f(k)递减，f(k)的最大值为f(－2＋)＝32－16；当k∈[－1，－2＋)时，可证f(k)在[－1，－]上递减；在[－，－2＋)上递增，f(－1)＝2<f(－2＋)＝32－16.当k∈[－2，－1)时，f(k)递增，f(k)<f(－1)＝2，综上可知f(k)的最大值为32－16则|EF|的最大值为当k∈[－2＋，0]时，f(k)递减，f(k23【分析点评】点击此处进入作业手册本题对直线方程，两点间的距离公式和分段函数问题进行了综合考查，在考查直线方程时是以折叠为背景，实质是考查对称问题．(1)点与点关于点对称，图形与图形关于点对称，主要利用中点坐标公式解决．(2)图形与图形对称问题可转化为点与点对称解决，对于点与点关于直线x＝0，y＝0，y＝x，y＝－x对称，要记忆对称点之间坐标的关系，对于点与点关于一般直线对称可通过解“垂直平分线”方程得到对称点坐标之间的关系．(3)对于光的反射，三角形的内角平分线和折叠等问题可考虑利用“对称”求解.

【分析点评】点击此处进入作业手册本题对直线方程，两点间的2479.性格写在脸上；人品刻在眼里；生活方式显现在身材；情绪起伏表露于声音；家教看站姿；审美看衣服；层次看鞋子。43.勤勉而顽强地钻研，永远可以使你百尺竿头更进一步。106.竹根即使被埋在地下无人得见，也决然不会停止探索而力争冒出新笋。91.有了成绩要马上忘掉，这样才不会自寻烦恼。52.成功和失败最大的差别在于想法。29.人生的成败往往就在于一念之差。30.路灯经过一夜的努力，才无愧地领受第一缕晨光的抚慰。16.当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。22.生命是属于你的，你应该根据自己的愿望去生活。4.自暴自弃便是命运的奴隶，自强不息是生命的天使；我不想用别人的汗水浇灌自己的心灵，我愿意用别人的棉袄，来温暖自己的躯体。我只想堂堂正正的做人，我只愿光明磊落做事，该记得的我不会遗忘，该遗忘的我不会存放。1.改变自我，挑战自我，从现在开始。99.一个人最可悲的就是为了别人的看法一味的改变自己，到了最后，做不成别人，也找不回自己。97.梦由自己来创造，路由自己来走好。93.鸡蛋从外打破，是食物；从内打破，是生命。人生，从外打破，是压力；从内打破，是成长。31.无论何时，都要做好独自生活的准备。102.只要有信心，人永远不会挫败。15.态度决定成功，而不是成功之后改变态度。42.要像溺水的人渴望呼吸一样渴望成功，一秒钟也不能松懈，不然你觉得你凭什么赢。21.在泪水中浸泡过的微笑最灿烂，从迷惘中走出来的灵魂最清醒。85.因为不想吃苦，所以我要努力。86.只要努力抬起你的双脚，胜利将属于你。50.太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。99.一个人最可悲的就是为了别人的看法一味的改变自己，到了最后，做不成别人，也找不回自己。119.青霄有路终须到，金榜无名誓不归。79.性格写在脸上；人品刻在眼里；生活方式显现在身材；情绪起25(能用解方程组的方法求两直线的交点坐标/掌握两点间的距离公式/点到直线的距离公式/会求两条平行直线间的距离)8.3直线的交点坐标与距离公式(能用解方程组的方法求两直线的交点坐标/掌握两点间的距离公式261．两条直线是否相交的判断

两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解．因此只要将两条直线L1和L2的方程联立 (1)若方程组无解，则L1//L2； (2)若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交； (3)若方程组有无数解，则L1与L2重合．1．两条直线是否相交的判断272．点到直线距离公式

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：3．两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax＋By＋C1＝0，

l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为2．点到直线距离公式281．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为() A．6B.C．2D．不能确定 答案：B2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于() A.B．2－C.－1D.＋1 答案：C1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平293．直线l1经过点A(3,0)，直线l2经过点B(0,4)，且l1∥l2，用d表示l1，l2间的距离，则() A．d≥5 B．3≤d≤5 C．0≤d≤5 D．0<d≤5 答案：D4．直线l过点(2,1)，且原点到l的距离是1，那么l的方程是() A．x＝1或3x－4y＋5＝0 B．y＝1或3x－4y－5＝0 C．y＝1或4x－3y－5＝0 D．x＝1或4x－3y－5＝0 答案：C3．直线l1经过点A(3,0)，直线l2经过点B(0,4)，30直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点：1．可通过解方程组求得，若方程组有唯一解，则l1与l2相交；若方程组无解，则直线l1∥l2；若方程组有无数组解，则l1与l2重合．2．方程(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过l1与l2交点的直线，但不能表示直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如y－y0＝k(x－x0)不表示直线x－x0＝0.直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y31【例1】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程． 解答：解法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，则直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足 即 解得 因此直线l的方程为 ，即3x＋y＋1＝0.【例1】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－32解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由 得x＝由 得x＝则 ＝－2，解得k＝－3.因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.解法三：两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②①－②整理得3x＋y＋1＝0.解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k33变式1.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0， l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程． 解答：与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0. 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0， 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过A(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－ ∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.变式1.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1341.点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 在使用点到直线距离公式时，要注意将直线方程化为一般式， 利用点到直线的距离公式可求三角形的高线的长度等．2．使用两平行线间的距离公式时，直线方程要化为一般式，同时要使x、y前面的系数相等．1.点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离35求过点P(－1,2)且与点A(2,3)和B(－4,5)的距离相等的直线l的方程．解答：解法一：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，也适合题意．【例2】求过点P(－1,2)且与点A(2,3)和B(36解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，线段AB中点为(－1,4)．∴直线AB方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0，或x＝－1.解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为37变式2.如图所示，正方形的中心点为C(－1，0)，一条边所在的直线方程 是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程． 解答：设与x＋3y－5＝0平行的直线为x＋3y＋C1＝0， 由题意＝ ∴C1＝－5或C1＝7. 所求直线的方程为x＋3y＋7＝0.设与x＋3y－5＝0垂直的直线为 3x－y＋C2＝0，由题意＝ ∴C2＝9或C2＝－3. 所求直线的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.变式2.如图所示，正方形的中心点为C(－1，0)，一条边所38如直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，无论λ取任何实数直线l恒过一定点，定点坐标的求法大致有两种：(1)将直线方程转化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，通过解方程组(2)也可令λ＝0，λ＝1通过特殊情况求出定点的坐标，然后证明定点坐标满足方程(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0.如直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，39【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解答：(1)若a＝2，直线方程为3x＋y＝0； 显然a≠－1，当a≠2时直线方程可化为： 因此所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈40(2)由(a＋1)x＋y＋2－a＝0得a(x－1)＋(x＋y＋2)＝0.无论a取何值，直线l过A(1，－3)点，则直线l的斜率k≥0，即－(a＋1)≥0.解得a≤－1.(2)由(a＋1)x＋y＋2－a＝0得a(x－1)＋(x＋y41变式3.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d， 则d的取值范围是() 解析：本题考查数形结合思想，以及分析、转化能力．本题要直接解很困难，注意到本题的形式结构，符合直线系的形式，故可从几何意义的角度考虑问题．

变式3.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋242将直线l的方程变为：x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，它表示过直线l1：x＋y－2＝0，l2：3x＋2y－5＝0的交点且不包含第二条直线的所有直线．显然当直线过点P时距离最小为0，当直线过交点B(1,1)且与PB垂直时距离d最大为，但此时直线与已知直线l2重合，所以0≤d<.答案：A将直线l的方程变为：x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0，它43【方法规律】1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题．2．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点． 特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l1：Ax＋By＋C1＝0，

l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．3．注意归纳题目类型．体会题目所蕴含的数学思想方法．如数形结合的思想；方程与函数的思想；分类讨论的思想.【方法规律】1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转44(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图所示)．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．(1)若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；(2)求折痕的长的最大值．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长45【答题模板】解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′，则折痕EF所在直线的斜率k≤0.当k＝0时，A′与D重合，EF所在直线方程为y＝当k＜0时，线段EF垂直平分OA′.故直线OA′的方程为y＝－x.则当A′与C重合时k＝－2，设OA′交EF于G点，则G点坐标为()，得EF所在直线的方程为y＝kx＋【答题模板】解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′，46(2)由(1)知线段EF的方程为y＝kx＋(－2≤k≤0)①当E与D重合时，E点坐标为(0,1)，由①式得k＝－1.当F与B重合时，F点坐标为(2,0)，由①式得k＝－2＋令f(k)＝|EF|2，则

(2)由(1)知线段EF的方程为y＝kx＋47当k∈[－2＋，0]时，f(k)递减，f(k)的最大值为f(－2＋)＝32－16；当k∈